山东省自学考试线性代数的(经管类)

1、实用标准线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184 ）一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设 D=M0，则 D1=(B) A. 2MB.2MC.6MD.6M2. 设 A、B、C为同阶方阵，若由 AB= AC 必能推出 B = C，则 A应满足( D )A.AO B.A= O C.|A|=0 D.|A| 03. 设 A，B 均为 n 阶方阵，则(A ) A.| A+AB|=0 ，则 | A|=0 或| E+B|=0B.( A+B) 2=A2+2AB+B

2、2C.当 AB=O时，有 A=O或 B=O D.(AB) -1 =B-1 A-14. 二阶矩阵 A，| A|=1 ，则 A-1=(B ) A.B.C.D.，则下列说法正确的是 ( B )A. 若两向量组等价，则s = t.文档实用标准B. 若两向量组等价，则r ()= r ()C.若 s = t ，则两向量组等价 .D.若 r ()= r () ，则两向量组等价 .6. 向量组线性相关的充分必要条件是(C)A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.可由线性表示7. 设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是 ( C )A.r 与 s 未

3、必相等B.r + s = mC. r= sD.r + s > m8. 对方程组 Ax = b 与其导出组 Ax = o，下列命题正确的是 ( D ) A. Ax = o 有解时， Ax = b 必有解 .B. Ax = o 有无穷多解时， Ax = b 有无穷多解 .C. Ax = b 无解时， Ax = o 也无解 .D. Ax = b 有惟一解时， Ax = o 只有零解 .9. 设方程组有非零解，则k = ( D )A.2B.3C.-1D.110. n 阶对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 ( D )文档实用标准A. | A|>0B.存在 n 阶方阵 C使 A=CTCC.负惯

4、性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 四阶行列式 D 中第 3 列元素依次为 -1 ，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7 ，4，则 D =-1512. 若方阵 A满足 A2 = A，且 AE，则 | A|=0.13. 若 A为 3 阶方阵，且，则|2 A|=414. 设矩阵的秩为 2，则 t = -315. 设向量(6 ，8，0) ，=(4 ，3，5) ，则(,)= 016. 设 n 元齐次线性方程组 Ax = o，r ( A)= r < n，则基础解系含有解

5、向量的个数为n- r个.17. 设(1 ，1，0) ，(0 ，1，1) ，=(0 ，0，1) 是 R3 的基，则=(1 ，2，3) 在此基下的坐标为 (1,1,2).18. 设 A 为三阶方阵，其特征值为1，-1 ， 2，则 A2的特征值为1,1,4.19.二次型的矩阵 A=220.231011文档实用标准20. 若矩阵 A与 B=相似，则 A的特征值为1,2,3.三、计算题（本大题共6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21. 求行列式1x1111+x解：11 x111=x11y111111 y01x 000x001100110xy01y1xy0y000011001的值 .111x0011

6、 y10yy00 x2 y2 .0122. 解矩阵方程：.1112解：令A211，B= 3.1116111100111100因为 ( AE)211010031210111001002101文档实用标准10001101133330 1 011 1,所以A1111 .2362360011011012222011332111 1由AX=B得：X A 1B33 .236621012223. 求向量组=(1,1,2,3)，=(1, 1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4, 2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.111411141114a1ra2

7、ra3r a4r11320026002621350313011331560426002611141007011301000013001.300000000所以， r (a1a2a3a4 )3,极大无关组为 a1a2a3; a4 7a1 3a3 .文档实用标准24. a 取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：211111214212142A=121420537305373.174 11 a0537a 200 00a 5若方程组有解，则 r ( A)r ( A) ，故 a=5.10164555当 a=5 时，继续施以初等

8、行变换得： A 01373，原方程55500000x141 x36 x4组的同解方程组为：555, x3, x4为自由未知量 ，令 x3x4 =0 ，337x2x3x4555文档实用标准45得原方程组的一个特解：3500x1 x6 x535437, x3, x4为自由未知量，令xx3x45516.与导出组同解的方程组为：x3 分别取 1 ，0 ，得到导出组的基x40155础解系：3， 7，所以，方程组的全部解为：551001416555v33c27c15, 其中, c1, , c2为任意常数 .5501000125. 已知, 求 A 的特征值及特征向量， 并判断 A能否对角化，若能，求可逆矩阵

9、P，使 P 1AP =（对角形矩阵）解：矩阵 A 的特征多项式为：200E A121(2)2(1) ,101所以， A的特征值为： 122, 31.对于 122 ，求齐次线性方程组(2 E A) x o的基础解系 ，文档实用标准000101012EA101000, 得基础解系 :1, 0, 从10100001而矩阵 A 的对应于特征值 1 22 的全部特征向量为 :01C1C20,C ,C不全为零 .11201对于3 =1，求齐次线性方程组 ( EA) o 的基础解系 ,1011000EA111011 , 得基础解系 : 1 , 从而矩阵10000010A 的对应于特征值31的全部特征向量为:

10、 c 1 (c0).1010因为三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量 1，0，1，011010200所以， A相似于对角矩阵，且 P= 101，A= 020 .01100126. 用配方法将下列二次型化为标准形：解： f x x x3x22x2x34x x24x x34x2x31212311=x124x1 (x2x3 ) 4( x2x3 )24 x2 x322x32x324x2 x32x22x12x2 2x324x2 x35x322x22=22 x222x2 x3 x323x3222 x2 x32x1 2x2 2x3= x1 2x2 2x33x32.文档实用标准y1 x12x22 x3x1y

11、12 y2令y2x2x3 ,即 x2y2y3 ,y3x3x3y3得二次型的标准形为：y122 y223y32.四、证明题（本大题共6 分）27. 设向量，证明向量组是 R3 空间中的一个基 .110110证：因为 110 = 020 =2 0，所以 a1，a2，a3线性无关，111001所以向量组 a1, a2 ,a3是 R3空间中的一个基 .文档实用标准线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184 ）一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.若 三阶行

12、 列式=0,则 k=(C ).A1B0C-1D-22.设 A、B 为 n 阶方阵 , 则成立的充要条件是 ( D ).AA可逆BB可逆C| A|=| B| DAB=BA3.设 A是 n 阶可逆矩阵 , A* 是 A的伴随矩阵 , 则(A ).ABCD4.矩 阵的秩为 2， 则 =(B).A2B1C0D5.设 3×4 矩阵 A 的秩 r ( A)=1，是齐次线性方程组 Ax=o 的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D).AB文档实用标准CD6.向 量线性相关, 则(C ).Ak =-4Bk = 4 C k =-3 D k = 37.设 u ,u 是非齐次线性方程组 Ax=b

13、的两个解 ,若是其12导出组 Ax=o 的解 ,则有(B ).Ac+c=1 B c = cC c + c = 0 D c = 2 c212121218.设 A 为 n( n 2) 阶 方 阵 ， 且 A2 =E ， 则 必 有(B ).AA 的行列式等于1 BA 的秩等于 nCA 的逆矩阵等于 E DA 的特征值均为 19.设三阶矩阵A 的特征值为2, 1, 1 ， 则 A-1 的特征值为(D ).A1, 2B2, 1, 1C , 1D ,1,110.二次型是(A ).A正定的B半正定的C负定的D不定的二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答

14、案。错填、不填均无分。文档实用标准11.=_5_12. 设 A 为三阶方阵 , 且| A|=4 ，则 |2 A|=_32_13.设A=, B =,则ATB110=_ 110_041014.设 A =, 则 A-1=_21_5215.向量表示为向量组的线性组合式为_123 _16. 如 果 方 程 组有 非 零 解 ,则k=_-1_17. 设向量与正交，则 a =_2_18. 已知实对称矩阵 A=, 写出矩阵 A 对应的二次型_ ( x1 , x2 , x3 ) x122x223x32x1 x2 3x1x3 文档实用标准19.已知矩阵A 与对角矩阵=相似，则A2=_E_20. 设实二次型的矩阵

15、A 是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为 3，则其规范形为 _ y12y22y32y42 _三、计算题（本大题共6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21. 计算行列式的值 .x3 y原式 = x 3 y x 3 yx3 y=( x3y)( xy y y1y y y1yyyx y y1x y y0x y00yx( x3 y)yxy( x 3y)0x y0y10yyx1yyx000x yy)322. 设矩阵 A=，B=，求矩阵 A-1 B .110431431A1211 A531,A11A 5312226406414311129所以， A1B5310231064121413文档实用标准23. 设

16、矩阵，求 k 的值，使 A 的秩 r ( A) 分别等于 1，2，3.123k123k解：对矩阵 A 施行初等变换： A12k302k23k3k2302k233k2123k123k02k 23k 30k 1k 1.006 3k 3k 200(k2)( k1)123当 k1时， A0 00, 矩阵 A 的秩 r ( A) 1;000126当 k2时，A033 ,矩阵 A的秩 r ( A) 2;000123k当 k1且 k2时,A011, 矩阵 A的秩 r ( A) 3.00124. 求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.文档实用标准解：将所给列向量构成矩阵A，

17、然后实施初等行变换：11121112( a a a a )123401224123137100268141320031218111211121000122012201020024001200，21001200000000所以，向量组的秩，向量组的一个极大无关组为：a1, a2 , a3 , 且有 a42a12a22a3 .25. 求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解 .解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：1223122312231045A23120134013401343357013500000000与原方程组同解的方程组为 : x14x35x4 , 其中 x3 , x

18、4为自由未知量 .x23x34x445令 x3分别取 1,0得基础解系 : v13, v24.x401100145方程组的通解为：c1v1 c2 v3c13c24.(c1c2为任意常数 )1001文档实用标准26. 已知矩阵，求正交矩阵 P 和对角矩阵 ，使 P-1 AP=.111解：矩阵 A 的特征多项式为：EA1112 (3),111得矩阵 A 的所有特征值为：120, 33.对于 120求方程组 (0 EA)xo 的基础解系 .11111111因为： 111000，得基础解系为 a11, a20,11100001将此线性无关的特征向量正交化，得：11112261111 =1，再标准化，得

19、：1=，2=2 =.26021026对于3 =3解方程组 (3EA) xo .2111011因为121011 ，方程组的基础解系为a3 1 ,112000113将其单位化，得：13 =.313文档实用标准111263000111,A 000,令P (1, 2,3)6320032106 3则 P 是正交矩阵，且 P 1AP 1四、证明题（本大题共6 分）27. 设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关 .证：令k1a1k2 (a1a2 )k3 (a1a2a3 ).ks (a1a2.a3 )o,整理得：( k1k2.ks) a1(k2k3.ks) a2.( ks 1ks )as 1ksaso因为a

20、1 , a2 ,., as 线性无关，所以k1k2.ks1ks0k10k2 k3.ks0k20. ,解得 :.,ks1ks0ks 10ks0ks0故 a1 , a1a2 ,a1a2a3 ,., a1a2. as线性无关 .文档实用标准线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184 ）一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 当( D )成立时，阶行列式的值为零 .A. 行列式主对角线上的元素全为零B. 行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行

21、列式所有阶子式全为零2. 已知均为 n 阶矩阵， E 为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是( B).A. ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3. 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( D).A. ( AB) -1 =A-1 B-1B.( A+B) -1 =A-1 +B-1C. ( AB) T=ATBTD.4. 下列矩阵不是初等矩阵的是 ( B).A.B.C.D.文档实用标准5.设是4维向量组，则( D).A. 线性无关B. 至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6. 设 A为 m&

22、#215;n 矩阵，且 m<n，则齐次线性方程组Ax = o 必(C ).A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定7. 已知 4 元线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A的秩为 3，又是 Ax=b 的两个解 , 则 Ax=b 的通解是( D).A.B.C.D.8. 如果矩阵 A与 B满足( D ) ，则矩阵 A与 B相似.A. 有相同的行列式B. 有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值 , 且这些特征值各不相同9. 设 A是 n 阶实对称矩阵，则 A是正定矩阵的充要条件是(D ).A. | A|>0B.A 的每一个元素都大于零文档实用标准C.D.A 的正惯性指数为

23、 n10. 设 A，B 为同阶方阵，且 r ( A) = r ( B) ，则(C ).A. A与B相似B.A与B合同C. A 与 B 等价D.|A|=| B|二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 行列式24.12. 设 A 为三阶矩阵， | A|=-2 ，将矩阵 A 按列分块为，其中是 A的第 j列，, 则| B|=6 .13.已知矩阵方程 AX=B，其中 A=，B=，则 X=1112.14.已知向量组的秩为2，则 k = -2.15.向量的长度=15.16.向量在基下的坐标为 (3,-4,3).文档实用标准17

24、. 设是 4 元齐次线性方程组 Ax=o 的基础解系，则矩阵 A的秩 r ( A)=1.18. 设是三阶矩阵 A的特征值，则 a = 1 .19.若是正定二次型，则满足5.20.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3 ，矩阵B=A2+2A, 则 | B|=360 .三、计算题（本大题共6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.设三阶矩阵 A=，E 为三阶单位矩阵 .求： (1) 矩阵 A-2 E 及| A-2 E| ；(2).300200100解：（1）A 2E 110020110123002121A2E1（2）因为100100100100100100110010010110010110121

25、001021101001121100( A2E) 111012122. 已知向量组文档实用标准求： (1) 向量组的秩；(2) 向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示 .解： (1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换：121012101202240400240012 .243200120000所以，向量组的秩r ( a1 , a2 , a3, a4 ,)2（2）向量组的一个极大无关组为：a1, a3 ，且有 a22a1 ,a42a12a3 .23. 讨论 a 为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：

26、122221222212222011110111101111A13a0111a 2000 0a 11 111151033330000010040011110000a100000若方程组有解，则r ( A)r ( A)2 ，从而 a1文档实用标准当 a1 时，原方程组的通解方程组为：x14x4, x3 x4为自由未知量 .x2 1x3 x4令 x3 x4 0,得原方程组的一个特解： (0,1,0 ,0)T .导出组的同解方程组为：x14x4x2, x3 , x4为自由未知量 .x3 x4令 x3 分别取 1 0 得导出组的基础解系： (0,1,1,0)T ,( 4,1,0,1)T .x401所以

27、，方程组的通解为：TTT（0，1，0，0）+c1 (0,1,1,0)c2 ( 4,1,0,1) , 其中， c1，c2为任意常数 .24. 已知向量组，讨论该向量组的线性相关性 .121121解：因为 1a1= 0a 22(a 2)( a 6)24a08a2当 a 2或 a 6时，向量组相性相关；当 a 2且 a 6时，向量组线性无关 .25. 已知矩阵 A=，(1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量；文档实用标准(2) 判断 A 可否与对角矩阵相似， 若可以，求一可逆矩阵 P及相应的对角形矩阵 .解：矩阵 A 的特征多项式为：110E A430( 2)( 1)2 ,102所以， A的特征值为：

28、1 = 2 =1， 3 =2对于1 = 2 =1， 求齐次线性方程组(EA) xo的基础解系，2101011E A420012,得基础解系：2,10100011从而矩阵 A 的对应于特征值 1 21c=2 ,( c 0)的全部特征向量为：1对于3 =2 ，求齐次线性方程组(2 EA)xo的基础解系，31010002EA410010,得基础解系 : 0(c 0).1000001因为三阶矩阵 A 只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相似于对角矩阵 .26. 设二次型(1) 将二次型化为标准形；(2) 求二次型的秩和正惯性指数 .文档实用标准解： (1) 利用配方法，将二次型化为标准形：f ( xxx)x122 x1 x2x122x1( x2x3 )(x1x2x3 )2x22(x1x2x3 )2(x22(x1x2x3 )2(x22x1x32x224x2 x3 3x32(x2x3 )2( x2 x3 )22x224 x2 x3 3x322x2 x3 4x32222x2 x3x3 )5x3y1 x1x2x3x1y1y2令y2x2x3,即 x2y2y3 ,y3x3x3y3得二次型的标准形为： y2y 25 y2 .123（ 2）由上述标准形知：二次型的秩为 3，正惯性指数为 2.四、证明题（本大题共6 分）27. 已知 A是 n 阶方阵，且，证