立体几何中添加辅助线的策略

1、立体几何中添加辅助线的策略王留廷立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整； 二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中， 这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。、添加垂线策略。因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理， 正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理， 就需要把没有的垂线补上。 尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才

2、能使用三垂线 定理或其逆定理。例1.在三棱锥 O ABC中，三条棱 OA、OB、OC两两互相垂直，且 OA=OB=OC，M 是AB边的中点，则 OM与平面ABC所成的角的大小是 （用反三角函数表示）。解：如图1，由题意可设OA的射影D为底面 ABC的中心，面ABC所成角的正切值是tana，则 AB BC CA . 2a,V° abc -a3，O 点在底面6OD Vo abc 3 a。又 DM -MC a，OM 与平1336S ABC3,3a36a62，所以二面角大小是arcta n 2。点评：本题添加面 ABC的垂线OD,正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正 三棱锥里面的 R

3、t ODM，Rt ODC，另一方面也构造出了 OM与平面ABC所成的角。、添加平行线策略。其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱 形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所 需要的平行线。A b例2.如图2，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，B1E1 D1F ，则BE1与DF所成4角的余弦值是（）A.1517B.-C.17_2"2"D.图2A B解析：取A1G - 1,易得四边形ADFG是平行四边形，则AG/DF ,再作E-E/AG , 4四边形GE1EA也是平行四边形，BE1E就是BE1与D

4、F所成角，由余弦定理，算出结果，选A。点评：求异面直线所成角常采用平移法。三、向中心对称图形对称中心添加连线策略。这主要是因为对称中心是整个图形的“交通”枢纽，它可以与周围的点、线、面关联起来，常见的有对平行四边形连对角线，对圆的 问题向圆心连线，对球体问题向球心连线。例3.如图3，O是半径为1的球的球心，点 A、B、C在球面上，0A、OB、OC两两垂 直，E、F分别是大圆弧 AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）D.B图3解析：添加辅助线 0E、 知条件更好地联系起来，过OF，连结EF，构成 OEF，关键是求 EOF。为了使EF与已 E作EG AO，垂足为G,连结FG,构造

5、GEF，在图3中,EG 1 sinFG, EGF 。422EF . EG2 FG21 OE OF, EOF -3点e、f在该球面上的球面距离为3 1 3，故选B。点评：本题抓住了球心，抓住了弧中点，禾U用这些特殊点作辅助线是解题的关键。四、名线策略。即添加常用的、重要的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对 角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。尤 其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点， 并且中位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移，使已知和未知集中在一个三角形中。例4.如图4,正三

6、棱柱ABC 则EF的长是（AiBiCi的各棱长都为2, E、F分别是AB、A1C1的中点,A图4C. “5A. 3B. 4C. 3、3D. 6A. 2解析：如图4所示，取AC的中点G,连结EG、FG,贝煬得FG 2,EG 1，故EF . 5， 选C。点评：本题充分体现了中位线的重要性。五、割补策略。分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。例5. 一个四面体的所有棱长都为.2，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为（）解析：把这个正四面体 A BCD补成正方体，如图5,正四面体A BCD可看成是由正 方体的面对角线构成的，这个正四面体和这个正方体有相同的外接球面。因为四面体A BCD的棱长为 2，所以正方体棱