怎样的三角形才能一刀分割成两个等腰三角形.

1、怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校郑建元 (315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一 图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究如图 1： D 为 ABC 中 BC 上一点 , 问：当 ABC 满足怎样的条件? ABD 与 ADC 均为等腰三角形A我们不妨倒过来研究：假定ABD 与 ADC 均为等腰三角形不失一般性，我们作如下分类讨论:B若 ADBD ，我们再分三种情形讨论：D

2、C(1)若 ADBDDC ,则有BBAD ,CDAC ，图 1又BBADDACCBBACC180，（2BAD+ DAC）=180BAC90 故 ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷）(2) 若 ADBD , AC DC ,则有BBAD ,DACADC ，BACBADDACBADADCBADBBAD 3 B故 ABC中存在两内角满足3 倍关系；(3) 若 ADBD AC ,显然BBAD ,CADC ,CADCBBAD2B 故 ABC中存在两内角满足2 倍关系；2若 ABAD ,我们再分两种情形讨论：(1)若 ADDC ，类同 1(3

3、)可证，故ABC 中两内角仍满足 2 倍关系；( )若 ADAC ，显然 ADB ， CADC ， BAC + B+ + = ADB+ ADC=18 0，这与定理“三角形内角和等于180”矛盾，因此 AD AC 不成立；( )若 ACDC ，显然 ADB ， DAC ADC ， BAC+ B+ + DA = ADB+ ADC=18 0，这与定理“三角形内角和等于180”矛盾，因此ACDC 不成立若 ABBD ,我们再分三种情形讨论：(1)若ADDC，类同1(2)，可证BAC=3 C，故ABC中存在两内角满足3 倍关系；( )若ADAC类同2(3)，可证B+ BAC+ BA +AD+ = BDA

4、+ ADC=18 0，这与定理“三角形内角和等于180”矛盾，因此ADAC不成立；( )若ACDC,AB+AC=BD+DC=BC，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此 ACDC 不成立综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（ 1）直角三角形； （ 2）其中两内角有 3 倍关系；（ 3）其中两内角有 2 倍关系那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立如图 2，在 RTABC 中， BAC=RT ， 设 B= ， C= ，在 BC 上取一点D，使 BAD= ，易

5、证 DAC= ，从而 DA=DB ， DA=DC ，即 ABD 与 ADC 均为等腰三角形ABDC图 2其次，满足条件（2）时亦成立如图 3，在 ABC 中， BAC=3 B ，设 B= ，则 BAC=3 ，在 BC 上取一点D，使BAD= ，易证 DAC= ADC=2 ，从而 DA=DB ， AC=DC ，即 ABD 与 ADC 均为等腰三角形AA2B2CBDCD图 3图 4若满足条件（3），则不一定成立如图 4，在 ABC 中， C=2 B，设 B= ，则 C=2 再分三种情况讨论： BAC ；在 BC 上取一点 D，使 BAD= ，易证 ADC= C =2 ，从而 DA=DB ， AD=

6、AC ，即ABD 与 ADC 均为等腰三角形，但此时2 必小于 90BCBAC180 ，2BAC180 又 BAC ，21 8 045 290 BAC= ； B+ BAC+ C=180， 4=180 2=90 此时 ABC 为直角三角形，从锐角顶点 A 出发不能把 ABC 分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发 C，仍能把 ABC 分成二个等腰三角形 BAC ； B+ BAC+ C=180， + +2 180 4 180， 2 90， C=2 90此时 ABC 为钝角三角形 , 从最小角顶点 A 出发不能把 ABC 截成二个等腰三角形，但当B=3 BAC ，或 B=2 BAC ，或 C=3 BA

7、C 时分别从顶点B、顶点 C、顶点 C 出发仍能把ABC分成二个等腰三角形由此可见，当三角形有两内角满足2 倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2 倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形综上研究， 有如下 定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3 倍关系（从有3 倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（ 3）两锐角有2 倍关系（从有2 倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例1已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：( , ,90)，(,2),(,3)(,3,3)，(,2,2)，中的一种根据三角形内角和等于。90 、 36 、108 或 180四种情况180 ，从而得顶角的度数为72如何把一个正三角形分割成四个等腰三角形？60606060606030303030306060603060图 5图 63030402020403030