函数零点问题典例(含问题详解)

1、实用文档函数零点问题典例(含答案)1、(1)求函数f(x)=2x 2的零点；(2)已知a, b是实数，1和1是函数f (x) =x3+ax2+bx的两个极值占八、求实数a和b的值；设函数g(x)的与函数g' (x)=f(x)+2,求函数g(x)的极值点.2、(1)判断函数f(x)=2xlg(x+1)的零点个数；2e(2)已知函数 f(x) = -x2+2ex+t-15 g(x)=x+一(x>0).x若函数g(x)m有零点，求实数m的取值范围；确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x)f(x)=0有两个文案大全相异实根3、已知函数f(x)=2x+ln(1 x),讨论函数f(x)

2、在定义域内的零点个数.4、已知函数 f(x)=x2+2m肝 2mp 1.(1)若函数f(x)的两个零点xi, x2满足xiW( 1,0) , x2W(1,2),求 实数m的取值范围；(2)若关于x的方程f (x)=0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取 值范围.,-21、一5、已知函数 f(x)=-x + 5? h(x)=R (1)设函数 F(x)=18f(x) 321x2h(x) 2,求函数F(x)的单调区间与极值；3x, x>0,x , x<0.(2)设 aWR,斛关于 x 的方程 log412f x 1 - =log2h(ax) log 2h(4 x).，xln6、已知函

3、数f(x) = xln(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求函数f(x)的单调区问；(3)若关于x的方程kf (x) =1恰有3个不同的根，求实数k的取值范1、分析1 一(1)求函数的零点，即求万程2x万一2=0的根.(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点.极值点一定是导函数的零 点.【解析】人x 1(1)令 2x2x2=0,由2x>0,方程两边同时乘以2x,得(2x)22X2x1 = 0.由一元二次方程的求根公式，得2x= 1 ±J2.由 2x>0,知 2x= 1+V2.,1函数 f (x) = 2x歹一2 的零点是 x= log 2(1 +V2) 由题设，知

4、 f' (x) =3x2+2ax+ b 且 f' ( -1) =3-2a+b=0,f' (1) =3 + 2a+b=0.解得 a=0, b=- 3.由(1),得函数 f(x) =x33x. .f(x) + 2=(x1)2(x+2).方程 g (x)=0 的根是 Xi = X2=1, X3= - 2.，函数g(x)的极值点只可能是1或一2.当 x< 2 时，g' (x)<0,当一2<x<1 时，g' (x)>0,. 2是极值点.又当2<x<1或x>1时，g' (x)>0 ,故1不是极值点.，函数

5、g(x)的极值点是一2.【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式.注意导数的零点的意义.2、分析(1)直接解方程f(x)=0有困难，可以作由函数y = 2x及y=lg(x+1)的图象, 还可以用判定定理.(2)画由函数图象，结合最值与交点情况求解.【解析】(1)方法一：令 f(x)=0,得 2一x=lg(x+1),作由函数 y = 2-x及 y=lg(x+1) 的图象(如图2161),可知有一个交点.，函数f(x)的零点有且只有一个.方法二：首先x>1,在区间(一1, +0° )上2一x是减函数，一lg (x+1)也是减函

6、数, ，函数f (x)在区间(一1, + 00 )上为减函数且连续.nq1. f(0)=20lg 1 =1>0, f(9) =2 -lg 10 =51V0,.f(0) f (9) <0.函数f(X)在区间(一1, +°°)上有唯一零点.2x>0, . g(x)=x + eXn2V?= 2e.当且仅当x=e时取等号.函数g(x)的值域是2e, 十°°),要使函数g(x)m有零点，则只需 m> 2e.若关于x的方程g(x) f (x) = 0有两个互异的实根，即函数g(x)与f(x)的2e图象有两个不同的交点，作由g(x) =x+(x

7、>0)的图象(如图2162).x3、【解析】函数f(x)的定义域为x|x<1且函数f(x)在定义域内的图象是连 续的.11 2xff (x)=2 + ; - = -(x1).1 x 1 x1 令 f(x)=0,得 x=2.-1 t 1 11 J山 ",1内为减函数.2)当 x<5时，f (x)>0;当2vxv1 时，f (x)<0一， 一、1-、函数f(x)在区间一8,彳内为增函数，在区间2一 1- 一 一_ 1. 1.二当 x=2时，函数 f(x)有最大值 f 2 =1 + ln3=1 ln 2 >0.又 f ( -2) =- 4+ln 3 &l

8、t;0,，f(2)f0.、"c 1a 一11函数f(x)在区间一2, 2内有唯一零点，即在区间8, 内有唯一零点.<2)22)又 f(1 -e1化间，得一"<mx -. 2 5、【解析】 (1)函数 F(x) = 18f(x)-x2h(x) 2=-x3+12x+9(x>0) ,，F' (x) =- 3x2 + 12. 令 F' (x) =0,得 x=2(x= 2 舍去).) =2(1 -e10) + ln (1 1 + e10) = 82e10v 0,“1 f(1 -e 10)f k <0.1 Q h)，函数f (x)在区间12，1

9、e内有唯一的零点，即在区间|-5 1内有唯一零点.，函数 “乂)在区间(一°°, 1)内有且只有两个零点.4、【解析】(1)根据函数f(x)的图象，f f 0 =2rr 1<0,f -1 =2>0,彳日J寸 f 1=4nn 2c 0,I-if 2 =6rr 5>0.当 x6(0,2)时，F' (x)>0;当 x6(2, +00)时，F' (x)<0.故当x 0,2)时，函数F(x)为增函数；当x62, +8)时，函数F(x)为减函故x= 2为函数F(x)的极大值点且 F(2) =- 8+ 24+ 9= 25.(2)方法一：原方程

10、可化为 log 4(x- 1) log 勾 a- x - log 2/4-x log 话且x<a,i1<x<4.当aw 1时，方程无意义，即方程无解.当 1<aW4 时，1<x<a,由 x1=ax, 得 x26x+a+ 4=0.4-x_ 一八 6±J20-4a 二A= 36-4(a+4) =204a>0, x = = 3±45a.此时方程仅有一解 x=3-5-a.若4<a<5,则A>0,方程有两解x=3±45-a；若a=5,则4=0,方程有一解x = 3；若a>5,则 <0,方程无解.综上，当

11、aw 1或a>5时，方程无解；当1<a&4时，方程有一解 x= 3-，5-a；当4<a<5时，方程有两解 x=3±寸5-a；当a=5时，方程有一解x= 3.当 a>4 时，1<x<4,由 x-1 =ax,得 x2-6x+a+4=0.4-xA= 36-4(a+4) =20-4a.6、【解析】函数f(x)的定义域为(s, 0)U(0, +s).(1)当 x>0 时，x< 0,. f(x)=xln x, f( x) = xln x, . f( x) = f(x).当 x<0 时，一x>0,f (x) =xln ( x

12、), f ( x) = xln ( x), . f( x) = f(x). f(x)是奇函数.(2)当 x>0 时,f(x)=xln x,f' (x)=ln x+x=ln x+1. x令f'(x) <0,得 0cx<e.,.当 x o, e，寸，f(x)为减函数.令 f ' (x) >0,得 x> 1. .,当 x !-, +oo 时f(x)为增函数.e © J又f(x)为奇函数，.,.当x61, 0时，f(x)为减函数；当x -oo 时，f(x)为增函数.I e JJ e，、，函数f(x)的单调减区间为f-, 0和0,',I e e '1i单调增区间为8, £和£, +OO (3)原万程等价于f(x)=，考祭函数f(x)的图象变 <e) eJk化，由(2),知当x6 0,e时, e,i1f(x)由0递减到f - e1 e'xGxG1.-koo7 1oo时,1, Ji 、乂f (x)由f -递增到十 °°, ejM时