初三数学暑期标准课讲义(教师版)

1、入门才测:1.一次函数 y 2x 1的图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为. <2分钟>1 0【答案】(2,)，(0，1)2.已知一次函数y=kx+b , y随着x的增大而减小，且kb>0,则这个函数的大致图象是 ()<2分钟>【答案】B3.将正比例函数y=3x的图象向下平移 4个单位长度后，所得函数图象的解析式为().<2分钟>A.y3x 4B.y 3x 4C.y3(x 4)D. y 3(x4)4.如图,直线 AB与x轴交于点 A (1, 0),与y轴交于点B (0, 2).(1)求直线AB的解析式;(2)若点C是第一象限内的直线上的一个点，

2、且 ABOC的面积为2,求点C的坐标.yC<5分钟>【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y kx b (k 0),直线 AB 经过点 A (1, 0),点 B (0, 2),b 0,2,解得2,2.AB的解析式为y 2x 2.(2) BOC的面积为2,过点C作CD，y轴于点D,CD=2.又.点C在第一象限内，点C的横坐标是2.代入y 2x 2 ,得到点C的纵坐标是2.点C的坐标是(2, 2).5.已知等腰三角形周长为12,其底边长为(1)写出y关于x的函数解析式及自变量V,腰长为x.x的取值范围;(2)在给出的平面直角坐标系中，画出1)中函数的图象.<5分钟>【答案】

3、解：(1)依题意y 2x 12,yAy 2x 12.故有y 02x2x12代入,-7 -6 -5 -4 -3 -2(2)解不等式组得7654321 I-1 o-1-2-3-4-5-6-7第一讲二次函数的概念与解析式对称1.1 二次函数的定义及图像二次函数的定义一般地，形如y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)的函数，叫做二次函数，其中，!x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.2例1已知函数y= (m+2) x 是关于x的二次函数，则满足条件的m值为【答案】m=1【练习1.1若y= (m3) xm23m2是二次函数，求 m的值.【答案】m=0k2 2例2右y= (

4、k3) x+x2 x+1是二次函数，求吊数 k的值.【答案】 分情况讨论：当k 3=0,即k=3时，y=x2 x+1是二次函数；当 k22=2 且 k3+1W0,即 k= 2 时，y= 4x2 x+1 是二次函数;当 k22=1 时，即 k=± J3 时，y=x2+(J34) x+1 ,或 y=x2一( 73+4) x+1均是二次函数，还有 k22=0时综合上知k=3或2或± J3或±J2_一.一一k2 2【练习2.1若y= (k 2) x+4x2x+1是二次函数，求常数 k的值.【答案】21.2 二次函数的性质与a有关的性质一函数形式：y ax2(a 0)Ij开

5、口： a 0,开口向上；a 0,开口向下.忖相同抛物线的形状大小相同 |a|越大开口越K |a|越小开口越工.i对称轴：y轴(x 0)顶点：原点(0, 0)I【例3】二次函数y= ax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.(1)y = 2x2 如图()；1 2 ,(2)y x2如图()；2(3)y = x2 如图()；1 2 ,(4)y x2如图()；3y lx2如图()；9(6)y 1x2 如图().9【答案】(1)D, (2)C, (3)A, (4)B, (5)F, (6)E.【练习3.1若函数y= ax-6是二次函数且图象开口向上，则a=()A. 2B. 4C. 4 或2

6、D. 4或 3与a有关的性质二，增减性：a 0,在对称轴左侧工!L，y随x的增大而遮人；在对称轴右侧上左，y随x的，II!增大而一.!:I a 0 ,在对称轴左侧 上升，y随x的增大而增大；在对称轴右侧 下降，y随x的增大而减I / / iii2,i (函数形式y ax (a 0)IIij最值：a 0,当x 0时，y有最小值是o； a 0,当x 0时，y有最大值是o. j 【例4】已知a<1,点(a1, yi), (a, y2), (a+1, y3)都在函数y=x2的图象上，则()A. y1<y2<y3 B. y1<y3<y2 C. y3<y2<y1

7、D. y2<y1<y3【练习4.1】若二次函数y 2x2 3的图象上有两个点A( 3,m)、B(2,n),则m与a、b有关的性质；MWi歪y葡云面，a,bSj号；对称葡箱 y ii7悯，a,b异号.(云向石异)j对称轴在y轴上，b=o.【例5】判断下列二次函数的对称轴的位置y =x2 + 6x+ 10(2)y = 3x2 2x(3)y = 100-5x2(4)y = (x2)(2x +1)(5)y = ax2 6bx + 10 (a<0,b<0)【答案】左，右，0,右，右【练习5.1】已知二次函数V ax2 bx c缶金。的图象如右图所示，则下列结论：a、b同号；当x=

8、1和x=3时，函数值相等； 4a+b=0;当y= - 2时，x的值只能取0.其 中正确的个数是()A.l个 B. 2个 C.3个 D.4个【答案】B与c有关的性质抛物线与y轴正半轴相交，c °；负半轴相交，c 0.I抛物线经过原点，c=0【例6】判断下列二次函数与y轴的交点的位置(1)y = 2x2 + 3x+ 10(2)y = - 3x2-2x- 3(3)y = 100x- 5x2(4)y = (x3)(2x+1)(5)y=x2 6x + a2+2a+3【答案】正，负，原点，负，正.A. a>0, b>0, c>0B. a>0, b>0, c<0

9、C. a>0, b<0, c>0D. a>0, b<0, c<0【练习6.2】已知二次函数y ax bx c (a 0)的图象如图所示，有下列结论：abc>0；a+b+c>0 ;a-b+c<0;其中正确的结论有(A . 0个C. 2个B. 1个D. 3个1.3二次函数的解析式的求法x=112I通常把已知 三点的坐标代入一般式 y ax bx c中，可得关于a、b、c的三元一次 方程i I组，解此方程组求得 a、b、c的值.Ij【例7】已知抛物线y x2 bx c经过点(1, -4)和(-1, 2).求抛物线解析式.【答案】解：设抛物线解析式

10、为：c b 5由题意知：c b 1i练习6彳丁窠三次窗薮"y=ax2+bx+c ”而i山而丽不丽痣汨!福血12解得：b 32抛物线解析式为y x 3x 。【答案】解：设这个二次函数的关系式为y a(x 1)2【练习7.1】已知：如图，二次函数 yax2 bx 2的图象经过A、B两点，求出这个二次函数解析式【答案】 解：(1)由图可知A (1, 1) , B ( 1, 1)a b 21,依题意，得 a b 2 1a 2,解得b 1.y= 2x2 + x 2.顶点式!当已知顶点坐标、对称轴或极值时，可设其解析式为y a(x h)2 k(a 0)例8以直线x 1为对称轴的抛物线过点A (3

11、, 0)和点B(0, 3),求此抛物线的解析式2,【答案】解：设抛物线的解析式为 y a(x 1) b:抛物线过点A (3, 0)和B(0, 3).4a b 0, a b 3.a 1,解得b 4.2抛物线的解析式为y x 2x 3【练习8.1】已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1, 2),求这个二次函数的关系式.得：0 a(0 1)2 2解得：a 22 c这个二次函数的关系式是y 2(x 1)22即 y 2x 4x .双根式j若直接或间接已知二次函数图像与x轴的两交点坐标(Xi ,0),口(X2,0),则可以I用 y a(x Xi)(x X2)(a 0)【例9】已知抛物线与x轴相交

12、于两点 A(1 , 0), B(-3 , 0),与y轴相交于点C(0 , 3).(1)求此抛物线的函数表达式；3(2)如果点D ,m 是抛物线上的一点，求 那BD的面积.2【答案】 解：(1)二抛物线与y轴相交于点C(0, 3),.设抛物线的解析式为y ax bx 3,抛物线与x轴相交于两点A(1,0), B( 3,0),a b 3 0, 9a 3b 3 0.a 1, 解得：b 2.抛物线的函数表达式为:2_4y x2x3(2) 点D(3,m)是抛物线上一点,23、23m (2)2 2 3一 119S ABD -AB|yD 2 4-【练习9.1】已知抛物线过点 A(2,0),B(1,0)，与y

13、轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式是() 22A. y x x 2 B. y x x 22222C. yx *2或丫 x x2D. y x x2或 yx x2【答案】C1.4二次函数与图形变换平移I W：王笳下嬴无加若源.I-， 一，一一2【例10】将函数y x 3x 4向左平移3个单位，向下平移 2个单位后的解析式为.【练习10.1】将抛物线y 5x2先向左平移2个单位，再向上平移 3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是()_ ._、2 一一，一、2 一A.y5(x2)3B. y5(x 2)3C.y5(x2)23D. y5(x 2)23【答案】A【练习10.2】把抛物线y=

14、x2+4x3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是()A . y= (x+3)22B. y=(x+1)2 1C. y=x2+x5D.前三个答案都不正确【答案】B对称2X 2X 2X a a a2bx c关于x轴对称：y ax bx c2bx c关于y轴对称：y ax bx cbx c关于原点对称：y ax2 bx c【例11】抛物线y x 【练习12.1】将抛物线y 2x 4绕原点O旋转180。，则旋转后的抛物线的解析式为 3x 4关于x轴对称的图像解析式为， 关于y轴对称的图像解析式为，关于原点对称的图像解析式为.222答案y x 3x 4 . y x 3x 4 .

15、 y x 3x 4【练习11.1】某抛物线先沿x轴翻折，再沿y轴翻折得到新的解析式为 y 2x2 3x,则原 抛物线解析式为.【答案】y2x2 3x旋转!抛物线y a(x h)2 k绕顶点旋转18。°后的解析式为y a(x h)2 k. |绕某一定点旋转180。，a变为相反数，结合顶点求坐标.【例12】填空(1)将抛物线y1绕原点。旋转180。，则旋转后抛物线的解析式为(2)将抛物线y2x 3绕点(1,1)旋转180。，则旋转后的抛物线解析式为2,2 八 -x 1 y x 6x 9_2_2_2_2.A. y 2x B. y 2x 4C. y 2x 4 D. y 2x 4【答案】C课后

16、作业:1.把抛物线y=x +1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（2a y x 31A. y2C. y x 312c y x 33B. y2D. y x 332 .二次函数y ax bx c的图象如图所示，则下列结论中错误.的是（）A.函数有最小值B.当一1 <x < 2时，y 0一1C.abc0 D.当x, y随x的增大而减小23 .已知抛物线y=x2-4x+5,求出它的对称轴和顶点坐标【答案】解：y=x24x+5=x2 4x+4+1=（x 2）2+1.抛物线的对称轴为 x=2.顶点坐标为（2, 1）.B（2,3）,求平移后的抛物线的表达式.【答案】解：设平移后抛物

17、线的表达式为y 2x2 bx c1,又因为抛物开口向上，对称轴为yy2平移后的抛物线经过点A（0，3） , B（2,3）,3 c,b 4,.3 8 2b c.解得 c 3.2所以平移后抛物线的表达式为y 2x 4x 3.解二：平移后的抛物线经过点A（0，3） , B（2,3）,平移后的抛物线的对称轴为直线x 1.2设平移后抛物线的表达式为y 2 x 1 k23 2 2 1 k.k 1.2所以平移后抛物线的表达式为y 2 x 11 .5.已知：二次函数y ax bx c（a 0）中的x，y满足下表:x10123y0343m（1） m的值为；若A（P，y1）, B（P 1，y2）两点都在该函数的图

18、象上，且P °,试比较与力的大小.【答案】解：（1） m = 0 .11 I P 0, P P6.已知直线y=mx+n经过抛物线y=ax2+bx+c的顶点P（1,7）,与抛物线的另一个交点为M （0,6）,求直线和抛物线的解析式【答案】解：（1） 直线y mx n经过点p（1, 7）、m（0, 6）,m n 7,n 6.m 1, 解得n 6.直线的解析式为y x 6.一抛物线y ax bx c的顶点为P (1, 7),、2_.y a(x i) 7.抛物线经过点 M (0, 6),2 r -. a(0 1)7 6 ,解得 a 1抛物线的解析式为yx2 2x 6.27.抛物线y x bx

19、 c (b,c均为常数)与x轴交于A(1, 0), B两点，与y轴交于点C(0,3). (1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)若P是抛物线上一点，且点P到抛物线的对称轴的距离为3,请直接写出点P的坐标.2【答案】解:(1)二.抛物线y x bx c与y轴交于点C(0,3),c=3 .y x2 bx 3 .2又.抛物线y x bx c与x轴交于点A(1, 0),2b=-4 . y x4x 3.点P的坐标为(5,8)或(1,8).入门才测：1.下列各式中，y是x的二次函数的个数为()y="/2x2+2x+ 5; y=5+8xx2;y=(3x+ 2)(4x3) 12x2; y=ax2+bx+c； y=mx2 + x; y= bx2+1(b 为常数，bw 0) <1 分钟A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A2.已知二次函数y2 axbx c,且a 0,a b c 0,则一定有（）2分钟.222A.