指数与指数函数

1、第七节指数与指数函数知识能否忆起一、根式1根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数±(a>0)负数没有偶次方根2两个重要公式(1)(2)()na(注意a必须使有意义)二、有理数指数幂1幂的有关概念(1)正分数指数幂：a(a>0，m，nN*，且n>1)；(2)负分数指数幂：a(a>0，m，nN*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的性质(1)

2、arasars(a>0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a>0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)三、指数函数的图象和性质函数yax(a>0，且a1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域R值域(0，)单调性减函数增函数函数值变化规律当x>0时，y>1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x0时，y1小题能否全取1(教材习题改编)化简(2)6(1)0的结果为()A9B7C10 D9解析：选B原式(26

3、)17.2(教材习题改编)函数f(x)的定义域是()A(，0 B0，)C(，0) D(，)解析：选A12x0，2x1，x0.3已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1,5) B(1,4)C(0,4) D(4,0)解析：选A当x1时，f(x)5.4若函数y(a23a3)·ax是指数函数，则实数a的值为_解析：a23a31，a2或a1(舍)答案：25若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知0<a21<1，即1<a2<2，得<a<1或1<a<.答案：(，1)(1，)1.分数指数幂与

4、根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程2指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论指数式的化简与求值典题导入例1化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)；(2)0.50.1230.自主解答(1)原式a·b.(2)原式31003100.由题悟法指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂对于化简结果，形式力求统一以题试法1计算：(

5、1)(0.027)2(1)0；(2)·.解：(1)原式(1)22149145.(2)原式·a·a·b·ba0·b0.指数函数的图象及应用典题导入例2 (2012·四川高考)函数yaxa(a>0，且a1)的图象可能是()自主解答法一：令yaxa0，得x1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a>1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，且过(1,0)，排除选项A、B；当0<a<1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，因为0<a<1，故排除选项D.答案C由题悟法1与指

6、数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解以题试法2(1)(2012·北京模拟)在同一坐标系中，函数y2x与yx的图象之间的关系是()A关于y轴对称B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称(2)方程2x2x的解的个数是_解析：(1)yx2x，它与函数y2x的图象关于y轴对称(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案：(1)A(2)1指数函数的性质及应用典题导入例3已知函

7、数f(x)|x|a.则函数f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_自主解答令t|x|a，则f(x)t，不论a取何值，t在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，又yt是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(，0，单调递减区间是0，)答案(，00，)在本例条件下，若f(x)的最大值等于，则a_.解析：由于f(x)的最大值是，且2，所以g(x)|x|a应该有最小值2，从而a2.答案：2由题悟法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内

8、层函数相关的问题加以解决以题试法3(1)(2012·福州质检)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则()Aa>b>cBa>c>bCc>a>b Db>c>a(2)(2012·上海高考)已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a20.2>1，b0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.(2)结合函数图象求

9、解因为yeu是R上的增函数，所以f(x)在1，)上单调递增，只需u|xa|在1，)上单调递增，由函数图象可知a1.答案：(1)A(2)(，1典例函数yxx1在x3,2上 的值域是_ 常规解法yxx12x12，因为x3,2，所以x8.当x时，ymin；当x8时，ymax57.所以函数y的值域为.答案高手支招1解答本题可利用换元法，即令tx，把函数化为yt2t1，其中t，然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域2对于含ax、a2x的表达式，通常可以令tax进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系巧思妙解因为x3,2，若令tx，则t.则y

10、t2t12.当t时ymin；当t8时，ymax57.答案为.针对训练若0<a<1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，则a的值为_解析：令tax(0<a<1)，则原函数化为y(t1)22(t>0)因为0<a<1，x1,1，所以tax，此时f(t)在上为增函数所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因为a>0，所以a.答案：1下列函数中值域为正实数集的是()Ay5xBy1xCy Dy解析：选B1xR，yx的值域是正实数集，y1x的值域是正实数集2已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)等于()A5 B7C9 D11

11、解析：选B由f(a)3得2a2a3，两边平方得22a22a29，即22a22a7，故f(2a)7.3函数f(x)2|x1|的图象是()解析：选Bf(x)根据分段函数即可画出函数图象4已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域()A9,81 B3,9C1,9 D1，)解析：选C由f(x)过定点(2,1)可知b2，因f(x)3x2在2,4上是增函数，可知C正确5(2012·深圳诊断)设函数f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，则()Af(2)>f(1) Bf(1)>f(2)Cf(1)>f(2) Df(2)>f(2

12、)解析：选Af(2)4，a|2|4，a，f(x)|x|2|x|，f(x)是偶函数，当x0时，f(x)2x是增函数，x<0时，f(x)是减函数，f(2)>f(1)6若(2m1)>(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.解析：选D因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m；解2m1>m2m1，即m2m2<0，得1<m<2.综上所述，m的取值范围是m<2.7.×08× _.解析：原式×12×22.答案：28已知正数a满足a

13、22a30，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为_解析：a22a30，a3或a1(舍)函数f(x)ax在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.答案：m>n9若函数f(x)a|2x4|(a>0，a1)且f(1)9.则f(x)的单调递减区间是_解析：由f(1)9得a29，a3.因此f(x)3|2x4|，又g(x)|2x4|的递减区间为(，2，f(x)的单调递减区间是(，2答案：(，210求下列函数的定义域和值域(1)y2xx2；(2)y .解：(1)显然定义域为R.2xx2(x1)211，且yx为减函数2xx21.故函数y2x

14、x2的值域为.(2)由32x10，得32x132，y3x为增函数，2x12，即x，此函数的定义域为，由上可知32x10，y0.即函数的值域为0，)11函数f(x)ax(a>0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，求a的值解：当a>1时，f(x)ax为增函数，在x1,2上，f(x)最大f(2)a2，f(x)最小f(1)a.a2a.即a(2a3)0.a0(舍)或a>1.a.当0<a<1时，f(x)ax为减函数，在x1,2上，f(x)最大f(1)a，f(x)最小f(2)a2.aa2.a(2a1)0，a0(舍)或a.a. 综上可知，a或a.12函数ylg(34xx2

15、)的定义域为M，当xM时，求f(x)2x23×4x的最值解：由34xx20，得x3或x1，Mx|x3，或x1，f(x)3×(2x)22x232.x3或x1，2x8或02x2，当2x，即xlog2时，f(x)最大，最大值为，f(x)没有最小值1(2013·绍兴一中模拟)函数f(x)a|x1|(a>0，a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的关系是()Af(4)>f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)<f(1) D不能确定解析：选A由题意知a>1，又f(4)a3，f(1)a2，由单调性知a3>a2，f(4)>f(1)2(2012

16、·衡水模拟)已知函数f(x)|2x1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是_a<0，b<0，c<0；a<0，b0，c>0；2a<2c；2a2c<2.解析：画出函数f(x)|2x1|的图象(如图)，由图象可知，a<0，b的符号不确定，c>0.故错；f(a)|2a1|，f(c)|2c1|，|2a1|>|2c1|，即12a>2c1，故2a2c<2，成立；又2a2c>2，2ac<1，ac<0，a>c，2a>2c，不成立答案：3已知函

17、数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值解：(1)当a1时，f(x)x24x3，令tx24x3，由于t(x)在(，2)上单调递增，在2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在2，)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是2，)，递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，f(x)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.1已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式：0<b<a；a<b<0；0<a&l

18、t;b；b<a<0；ab其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选B函数y1x与y2x的图象如图，由ab得a<b<0或0<b<a或ab0.2求函数ya2x2ax1(a>0，a1)的单调区间和值域解：y(ax1)22(a>0，a1)，设uax.y(u1)22在u1，)时是关于u的增函数，在u(，1)时是关于u的减函数，当ax1时，原函数的单调性与uax的单调性相同；当ax<1时，原函数的单调性与uax的单调性相反若a>1，ax1x0；ax<1x<0，在0，)上，函数ya2x2ax1是增函数；在(，0)上

19、，函数ya2x2ax1是减函数若0<a<1，ax1x0；ax<1x>0，在(0，)上，函数ya2x2ax1是增函数；在(，0上，函数ya2x2ax1是减函数ax>0，函数值域是2，)第八节对数与对数函数知识能否忆起1对数的概念(1)对数的定义：如果axN(a>0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数当a10时叫常用对数记作xlg_N，当ae时叫自然对数，记作xln_N.(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：loga10.logaa1.对数恒等式：alogaNN.换底公式：logab.推

20、广logab，logab·logbc·logcdlogad.(3)对数的运算法则：如果a>0，且a1，M >0，N>0，那么：loga(M·N)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnlogaM.2对数函数的概念(1)把ylogax(a>0，a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)函数ylogax(a>0，a1)是指数函数yax的反函数，函数yax与ylogax(a>0，a1)的图象关于yx对称3对数函数的图象与性质ylogaxa>10&

21、lt;a<1图象性质定义域：(0，)值域：R过点(1,0)，即x1时，y0当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数小题能否全取1(教材习题改编)设Ay|ylog2x，x>1，B，则AB为()A.B.C. D(0,2)解析：选CAy|y>0，B，AB.2函数yloga(3x2)(a>0，a1)的图象经过定点A，则A点坐标是()A. B.C(1,0) D(0,1)解析：选C当x1时y0.3函数ylg |x|()A是偶函数，在区间(，0)

22、上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：选Bylg |x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增4(2012·江苏高考)函数f(x) 的定义域为_解析：由12log6x0，解得log6x0x，故所求定义域为(0， 答案：(0， 5(2012·北京高考)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_.解析：由f(ab)1得ab10，于是f(a2)f(b2)lg a2lg b22(lg alg b)2lg(ab)2lg 102.答案：21.在运用性质lo

23、gaMnnlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*，且n为偶数) 2对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0. 3对数函数的定义域及单调性： 在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x>0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论对数式的化简与求

24、值典题导入例1求解下列各题(1)lg lglg_；(2)若2a5bm，且2，则m_.自主解答(1)lg lglg×(5lg 22lg 7)×lg 2(lg 52lg 7)lg 2lg 72lg 2lg 5lg 7lg 2lg 5lg(2×5).(2)由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2，logm102，即m210.解得m(m>0)答案(1)(2)由题悟法对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并(2)先将对数式化为同底数对数

25、的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算以题试法1化简：(1)lglg 70lg 3；(2)345×211.解：(1)原式lglg 101|lg 31|lg 3.(2)原式3210×211321.对数函数的图象及应用典题导入例2(1)(2012·烟台调研)函数yln(1x)的图象大致为()(2)(2012·新课标全国卷)当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是()A.B.C(1，) D(，2)自主解答(1)由1x>0，知x<1，排除选项A、B；设t1x(x<1)，因为t1x为减函

26、数，而yln t为增函数，所以yln(1x)为减函数，可排除D选C.(2)法一：构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，可知，f<g，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为.法二：0<x，1<4x2，logax>4x>1，0<a<1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4x<logax不成立，排除选项A.答案(1)C(2)B若本例(2)变为：若不等式(x1)2<logax在x(1,2)内恒成立，实数a的取值范围为_解析：设f1(x

27、)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2<logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x(1,2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即loga21.所以1<a2，即实数a的取值范围是(1,2答案：(1,2由题悟法1对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解2一些对数型方程、

28、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解以题试法2已知函数f(x)则yf(1x)的大致图象是()解析：选C由题意可得f(1x)因此当x0时，yf(1x)为减函数，且y>0；当x<0时，yf(1x)为增函数，且y<0.对数函数的性质及应用典题导入例3已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；(2)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由自主解答(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax22x3>0对任意xR恒成立显然a0时不合题意，

29、从而必有即解得a>.即a的取值范围是.(2)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x3>0得1<x<3，即函数定义域为(1,3)令g(x)x22x3.则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)(3)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.由题悟法研究复合函数ylogaf(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域，

30、分析复合的特点，结合函数uf(x)及ylogau的单调性(最值)情况确定函数ylogaf(x)的单调性(最值)(其中a>0，且a1)以题试法3已知f(x)loga(ax1)(a>0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性解：(1)由ax1>0得ax>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.当a>1时，f(x)的定义域为(0，)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(，0)(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax11<ax21

31、，loga(ax11)<loga(ax21)f(x1)<f(x2)故当a>1时，f(x)在(0，)上是增函数类似地，当0<a<1时，f(x)在(，0)上为增函数1函数y的定义域为()A(0,8B(2,8C(2,8 D8，)解析：选C由题意可知，1lg(x2)0，整理得lg(x2)lg 10，则解得2<x8，故函数y的定义域为(2,82(2012·安徽高考)(log29)·(log34)()A. B.C2 D4解析：选D(log29)·(log34)××4.3若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数

32、，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B.Clogx D2x2解析：选Af(x)logax，f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x.4(2011·天津高考)已知alog23.6，blog43.2，clog43.6，则()Aabc BacbCbac Dcab解析：选Balog23.6log43.62log412.96，ylog4x(x0)是单调增函数，而3.23.612.96，acb.5(2013·安徽名校模拟)函数y的大致图象是()解析：选C由于，所以函数y是奇函数，其图象关于原点对称当x>0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.6已

33、知函数f(x)log|x1|，则下列结论正确的是()Af<f(0)<f(3)Bf(0)<f<f(3)Cf(3)<f<f(0)Df(3)<f(0)<f解析：选C依题意得f(3)log21<0，log2<flog<log1，即1<f<0，又f(0)log10，因此有f(3)<f<f(0)7(2012·长安一中质检)对任意的非零实数a，b，若ab则lg 10 0002_.解析：lg 10 000lg 1044，24，lg 10 0002.答案：8函数ylog(x26x17)的值域是_解析：令tx26x

34、17(x3)288，ylogt为减函数，所以有logtlog83.答案：(，39函数f(x)logax(a>1)在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a等于_解析：a1，f(x)logax在a,2a上为增函数loga2alogaa，解得a4.答案：410计算下列各式(1)lg 25lg 2·lg 50(lg 2)2；(2).解：(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.11说明函数ylog2|x1|的图象，可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到并由图

35、象指出函数的单调区间解：作出函数ylog2x的图象，再作其关于y轴对称的图形得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的递减区间为(，1)，递增区间为(1，)12若f(x)x2xb，且f(log2a)b，log2f(a)2(a1)(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)f(1)解：(1)f(x)x2xb，f(log2a)(log2a)2log2ab.由已知得(log2a)2log2abb，log2a(log2a1)0.a1，l

36、og2a1，即a2.又log2f(a)2，f(a)4.a2ab4.b4a2a2.故f(x)x2x2.从而f(log2x)(log2x)2log2x22.当log2x，即x时，f(log2x)有最小值.(2)由题意0x1.1(2012·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(3)的值为()A1 B2C2 D3解析：选D依题意得f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log283.2已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)lg x设af，bf，cf，则()Aa<b<c Bb<a<cCc<b<a Dc<a<b解析：选D已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)lg x，则affflg>0，bffflg>0，cfflg<0.又因为lg>lg，所以0<lg<lg.所以c<a<b.3若函数f(x)loga(x2ax3)(a>0且a1)，满足对任意的x1，x2，