《误差理论与大数据处理》费业泰-课后问题详解全

1、误差理论与数据处理练习题第一章绪论1-7用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活 塞压力计测量值的绝对误差=测得值一实际值=100.2 100.5 =- 0.3 ( Pa)。相对误差=03 100%0.3%100.52 21-9使用凯特摆时，g由公式g=4 n ( h1+h2) /T给定。今测出长度(h1+h2)为(1.04230 ±0.00005 ) m振动时间丁为(2.0480 ± 0.0005 ) s

2、。试求g及其最大相对误差。如果(h+)2测出为(1.04220 ± 0.0005 ) m为了使g的误差能小于0.001m/s , T的测量必须精确到多少？【解】测得(h1+h2)的平均值为1.04230 (m), T的平均值为2.0480 (s)。4 2由g亍(h h2), 得:g 怎 1.04230 9.81053m/s2)当(h)有微小变化t有T变化时，令g的变化量为:4 2T7寻5(h1h2)Th2)罕h2)gh2厂(hhTg的最大相对误差为:4 A h 2 TTh4 20.000051.04230T2(h h2)2 ( 0.0005) 2.04804 2 h 2 TTh 41

3、00%如果(h g)测出为(1.04220 ± 0.00050.001也即g ；2 (h h2)4 222.04800.0005求得:1-10.示值误差【解】T2h0.054%)m,为使 gh2)0.0010.0005 口 1.04222.0480T1.01778 T 0.00106的误差能小于0.001m/s 2，即:0.001T 0.00055( s)(即引用误差为 2.5%)的全量程为100V的电压表，发现 50V刻度点的检定2.5级2V为最大误差，问该电压表是否合格？引用误差=示值误差/测量围上限。所以该电压表的引用误差为:rm丛2 2%Um 100由于：2%<2.5%

4、所以该电压表合格。1- 13多级弹导火箭的射程为 10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为 2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？解：多级火箭的相对误差为：010.00001 0.001%10000射手的相对误差为：1cm 0.01m 0.0002 0.002%50m50m多级火箭的射击精度高。附加1 - 1测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：180o00 02 180o 2相对误差等于：2 2 2o=0.00000308641 0.000031%180o 1

5、80 60 60648000第二章误差的基本性质与处理，两者物理意义和实际用途有何x2-2.试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差 不同?【解】单次测量的标准差表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。算术平均值的标准差是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可x作为算术平均值不可靠性的评定标准在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的1二，当测i n量次数n愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。2-3.试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在, 迈 中的概率。【解】（1）误差服从正态分布

6、时_ 1P(2)亍(222)d2e (2 2)d引入新变量t: tt ,经变换上式成为:P（ V）厂 0t2?dt(t)2 0.41950.8484%（2 ）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为:J? ，所以区间, 42a, a ,故:L1 a1P( 72 )-(3)误差服从均匀分布时因其标准差为:，所以区间2322a2 2* 08282%2-4.测量某物体重量共8次，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。测得数据(单位为为 236.45，236.37，236.51，236.34，【解】选参考值Xq 236.00计算差值x X 236.00%和

7、残差比等列于表中。或依算术平均值计算公式,n=8，直接求得:- Xi8 i 1236.43(g)计算标准差：用贝塞尔公式计算:0.02518 10.06(g)序 号XiA A- iV?1236.450. 45+0. 020. 0004236.370. 37-0 060, 00363236.510. 51+0. 08D. 00644236,340* 34-0 09山 00815236.390. 39-0. 040. 00166236.4S0. 48+0. 050. 0025*7236. 470. 47+0. 040,0016823& 400. 40-0. 030, 0009工=心 + A

8、.ro = 236.43-i »心-T© =.g - 0-438 J-L乙=-0 03Jl8r； -0,02510.022-6 测量某电路电流共 5次，测得数据(单位为mA)为168.41 , 168.54 , 168.59 , 168.40 ,168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解：Iii 15168.49(mA0.085(Ii0.0850.04i 15I 0.080.05 R 0.67450.02x(Ii-0.0850.06 T 0.79790.03x2 7在立式测长仪上测量某校对量具,重复测量5次，测得数据（单位为mm为20.0015,20.0

9、016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值nlix i 120.0015mmn用贝塞尔公式计算:42.55 10 mmnVi用别捷尔斯公式计算:1.253 厶 1 Jn(n 1)1.2530.0008V5 42.24 10 4mm求测量列单次测量的标准差求算术平均值的标准差2.55 1054- = 1.14 10 4 mm2.24 10 4=0.00014L x|imx20.0015 5.24 10 mm做法2 :现自由度为：v= n 1 = 4;a= 1 0.99 = 0.01 ,查t分布表有：

10、t=4.60单次测量的极限误差：limxt4.602.55 104 1.173 103 1.17 103mm算术平均值的极限误差：lim xt x4.60 1.14 104 5.24 104mm求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差做法1 :因n = 5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。写出最后测量结果因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2(t)=99%，则(t)=0.495 ，查正态分布积分表，得置信系数t 2.6单次测量的极限误差：limxt2.60 2.55 1046.63 1040.00066算术平均值的极限误差：limxt x2.60 1.14 1042.964 1

11、040.0003写出最后测量结果L x limx 20.0015 0.0003 mm2- 10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差=0.001mm,若要求测量的允许极限误差为土 0.0015mm,而置信概率 P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有t x t0.0015、；'n根据题目给定得已知条件，有皿1.5n0.001查教材附录表3有若 n = 5, v= 4,a= 0.05，有 t = 2.78 ,t 2.78.n 52.782.2361.24若 n = 4, v= 3 ,a= 0.05，有 t = 3.18 ,即要达题意要求，必须至少测量t3.183.18

12、1.59'一 n425次。2-11已知某仪器测量的标准差为0.5卩若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm,试写出测量结果。若重复测量10次，测得值(单位为 mr)为26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025， 26.2026，26.2022，试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由 中10次重复测量的测量值，写出上述、的测量结果。解： 单次测量的极限误差以3b计算：limx 33 0.51.5( m) 0.0015mm所以测量结果可表示为：26.2025 ±

13、; 0.0015 (mm)10重复测量10次，计算其算术平均值为：xXi 26.2025(mm)i 10.0005-4取与相同的置信度，算术平均值的标准差一 =1.58 10 mmJ0_-4-4-4limX3 x 3 1.58 104.74 105 10 mm则测量结果为：X 3 x 26.2025 0.0005(mm) 若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值xq 26.202计算差值 X x 26.202 x0和残差vi等列于表中。序号XiA .Yi3<7126.20250. 000500226.20280. 0008+0.00039X10

14、326.20280. 0008K). 00039X10-*420 20250. 000500526.20260. 0006旳 00011X 10'8626.20220* 0002-0.0003gxKT720.20250. 0003-0. 00024X10-5826.20250. 000500926.20260. 0006+O. 00011X1O-*1026.20220.0002-o. 00039X10x = Xq 4- A,ro = 26.20251 mA.vo - V = 0.0005 10台SVr=0v/ = 42xl0-s用贝塞尔公式计算:nv2i 1n 142 10 82.2

15、10 4mm10 1算术平均值的标准差:2.2 10 410=0.00007 mm取与相同的置信度,则测量结果为:此时的测量结果为26.2025 3 0.00022 26.2025 的测量结果为0.0006626.2025 0.0007(mm)；26.2025 3 0.00007 26.20250.0002126.2025 0.0002 (mm).2-13测量某角度共两次，测得值为a1=24° 13' 36”，a 2=24° 13' 24”，其标准差分别为63.1”， 2=13.8 ”，试求加权算术平均值及其标准差。【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权

16、。1111112 : 2 2 - 219044:961123.113.89.61190.44P1 : P2取:19044P2 961选取2413'36''，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差:Pi ii 1o mPii 124 13'354'24 13'36''19044 0 961 (12'')19044 961加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差:v1 0.6''v211.4''m2PiVxii 1m(m 1)Pii 1算术平均值的标准差为:6.6'

17、'19044 0.62 961 ( 11.4)2 V (2 1)(19044 961)2-15.试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。【证明】因为等精度测量，可设n个测得值的标准差均为，且其算术平均值的标准差为:又设各测量值的权相等，即: 口 P2PP0。n个相等精度测得值的平均值的权为PX，则：n个相等精度测得值的平均值的权Px与各测得值的权P（i 1,2.n）1 1 n 1的比为 Px : Pi2 : 2:n :1xiPx np2-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5， 14.6，14.9，14.8，15.1，

18、15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。解：先计算算术平均值： x 14.96。各测量数据的残余误差分别为：v10.26v20.04v30.24v40.16v50.54v60.36v70.06v80.16v90.14v100.04 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。 采用不同公式计算标准差比较法。按贝塞尔公式:n2Vii 11°6240.26310 1用别捷尔斯法计算:nVi1.253i -Jn(n 1)1 2532-0.26410 9令：丄竺410.2631.004因为：20.6670.004,故无根

19、据怀疑测量列存在系统误差。 （马利科夫准则）按残余误差校核法：前 5个残余误差和与后 5个残余误差的差值 为5Vii 110Vj0.4 ( 0.4) 0.8j 6两部分之差显著不为 0，则有理由认为测量列中含有系统误差。n 1uViVi 1i 1阿卑-赫梅特准则0.260.040.040.240.240.160.160.540.540.360.360.060.060.160.160.140.14 0.00.30560.3、孑7 2,9 0.263 0.21u n 1 2 0.21所以测量列中含有周期性系统误差（为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差-这就提醒我们在判断是

20、否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）2-18、对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后4次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH：50.82，50.83，50.87，50.89 ；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81试判断前4次和后6次测量中是否存在系统误差。【解】 将两组数据混合排列，用秩和检验法有:n1 4,n2 6,T 5.5 7 9 10 31.5:T 14,T30,T T所以有根据怀疑存在系统误差2-19等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为 V）为25.94，25.97，25.98，

21、26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接 触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为 25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90 ,25.93 , 26.04 , 25.94 , 26.02。试用t检验法（取a =0.05 ）判断两组测量值之间是否有 系统误差。1Xx 26.001y10s：1(xi X)20.0015510【解】计算两组测量结果的算术平均值:1y 25.9711021_ 2s：(yi y)2 0.002151

22、0(26.00125.971)10 10(10 10 2)(10 10)(10 0.00155 10 0.00215)1.48由 V =10+10-2=18 及取 a =0.05，查 t 分布表，得 t 2.1因t 1.48 t2.1，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。2-20.对某量进行了 12次测量，测得数据为 20.06 , 20.07 , 20.06 , 20.08 , 20.10 , 20.12 ,20.11 , 20.14 , 20.18 , 20.18 , 20.21 , 20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误12【解】先计算算术平均值：x Xi 20.125

23、。各测量数据的残余误差分别为:i 1V 0.065 v 0.055 V30.015 V8 0.015 v9 0.055V0 0.055% 0.085址 0.0650.065 V40.045 V50.025 V60.005 根据残余误差观察法： 计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。 （马利科夫准则）按残余误差校核法：前 6个残余误差和与后 6个残余误差的差值为612ViVi 0.26 0.260.52i=1i=7两部分之差显著不为 0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。 采用不同公式计算标准差比较法。按贝塞尔公式:0.032112

24、10.054用别捷尔斯法计算:1.253丄Jn(n 1)0 551.2530.06J12 110.060.0541 0.110.60312 10.11，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 阿卑-赫梅特准则因为:1ViVi 110.02211 0.054 0.01u 、n 1 2，所以测量列中含有周期性系统误差（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）2-21对某量进行两组测量，测得数据如下:x0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57y0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.59

25、1.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表:T123456789101112131415xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30yi0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930xi1.341.391.411.57yi1.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174因n, n2

26、 15 10,秩和t近似服从正态分布，N（n 1（" 2 1 Jn，n2（nn2 1）n1 (n1 n21)由 a (12)232.5 ；2(n1n2(n1 n2(：121)24.11 求出：T a小ct2.43选取概率2 （t）0.95，即（t）0.475，查教材附表1有t1.96。由于11，因此，可以认为两组数据间有系统误差。选取置信概率99%（显著度0.01），即取(t)0.495，由附录表1查得:t2.60由于t 2.43 t 2.60，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。2- 22 对某量进行 15 次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53

27、，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消 除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有 粗大误差的测量值。【解】将有关计算数据：平均值、残差Vi等列于表中:庁号Xt片j片V；叩F."f123. 53-0. 040.030" 000928. 52-0. 050+ 00250.020. 0004328, 50070,004900429. 520,950.9025528. 53-0. 040.00160.030. 0009S28. 53-0. 040

28、.00160.030” 0009728. 50-0.070. 004900828. 49-0. 080.0064010. 0001929. 40-0. 080.0064-010” 00011028.51HX 060.00360.016 00011128, 53-0 040.00160.030. 00091228. 52-0.050. 00250.020. 00041328. 49-0. 080.0064010. 00011428. 40-0. 170+ 0289-0. 16 011528. 50TX 070.009007=： 28.5715Y 片= 0.01J-9VvJr = 0.9S03&#

29、163;片-0.04»：=D*O14BM直接求得15个数据的算术平均值及其标准差:1 1515 i i Xi28.57用莱以特准则判别粗大误差因 v 0.95 30.795,故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。再对剩余的14个测得值重新计算，得:1 1414 i 128.500.014814 10.03373 '3 0.03370.1011由表知第14个测得值的残余误差:V'(14)0.1730.1011，故也含粗大误差，应剔除。再重复验算，剩下的 13个测得值已不包含粗大误差。 用格罗布斯准则判别已经计算出15个测量数据的统计特征量：x 28.57,0.265。将

30、测得的数据按从小到大的顺序排列，有：x 28.40,X x28.57 28.4 0.17x(15)29.52, x(15)x 29.52 28.57 0.95悴先判别打国是杏含有粗人误差：ga,. = 29,52-28.57 =酮 <70,265查表 2-13 得：g/15. 0.05) = 2.41则；g(IJ) = 3.585 >g(15. 0.05) 241故第4个测得数据包含和大误差，应当剔除.再对剩下的1斗个测得值计算.刿断是否含有粗大课差。已知：7 = 28.50. cr =0.05428.50 28.400.03-1OU4.0.05 - 2.3 7Sfiy = 2-夕

31、目 a 宫©£14-O.O5> = 2.27故第14个测扫教抓也©含*H人逞建.丿匹出剔除q 再心豆椅骑*上L七各测I符怕不再也含料I人愎找“ 用狄克松淮则判別将测得的数据按从小到大的顺序排列.有：X= 28=40 (2)- = p(3)= 28,49', 耳U)二 X。曲=2853, (15) = 29-52判断最小值工与最大值珀习是否包含粗人误差。因n=1以统计量冷和血"计算29.2-28 4928.40- 28.4928.40- 28.53=0.692査表 2斗得心g 0.05) = 0.525 t 因;rH =1.04 >(1

32、5, 0.05)和 rn =0.692> r0(15, 0.05) 故S：和习(即衍测的第4和第Z个测吊值血含甜大误差.应于别除匸再晅复检验剩余的13个测得債，己不再血含粗大误墨口2.18,4x2.90，其权分别为 5:1:1 ,2-26对某被测量x进行间接测量得：2x 1.44,3x试求x的测量结果及其标准差?【解】x.1.440.72,x22.180.727,x32.9040.725,选取 P15, P21,P31可由公式直接计算加权算术平均值和标准差:x 0.7250 1 0.007 1 0.0050.7225 1 1加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差：*X1 x0.002

33、, v% 0.005, Vx3 0.003算术平均值的标准差为:2Pivxii 15 0.00221 0.0052 1 0.00320.002(3 1)(5 1 1)limx 3 x 3 0.0020.006x 0.722 0.0062-28测量圆盘的直径 D (72.003 0.052)mm,按公式计算圆盘面积 S D2/4，由 于选取 的有效数字位数不同，将对面积 S计算带来系统误差，为保证 S的计算精度与直 径测量精度相同，试确定的有效数字位数？【解】测得D的平均值为72.003mm(m 1)i 1PiD242.048021.0423029.81053(m/s )当D有微小变化 D有变化

34、时，S的变化量为:fD2卫D D2 40.0523.1416 72.0032(0.052)72.003240.055.881372.003240.00450.004取4位有效数字第三章误差的合成与分配3-2为求长方体体积 V,直接测量其各边长为：a 161.6mm,b 44.5mm,c 11.2mm,0.8mm, b【解】立方体体积:已知测量的系统误差为a 1.2mm, b0.8mm, c 0.5mm，测量的极限误差为0.5mm, c0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差V abc，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：V。abc 161.6 44.5 11.2 80541.44(m

35、m3)体积V勺系统误差为:(nmi5)考虑测量系统误差后的立方体体积:又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：V = VQ - AF = 80541.44 - 2745.744 = 77795.696 豊 77795.70 (nun3)P = 士J+(賦+("$)=±7(44.5 x 11 2 x (±0.8)2 + l6l.6xllt2x(±0.5)3 + 161.6 x 44.5 x (±0.5)2二 土J398/7” + 904 96 + 359工卅=3729.1 (imnJ)故测量结果为：VlimV 77795.70

36、3729.1(mm3)3 3长方体的边长分别为a 1 ,a 2, a 3测量时：标准差均为b；标准差各为b 2、b 3。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为：V a1 a2 a3体积的标准差应为:21V 2()2a2a3)2现可求出:Va1Va2 a3 ；a2Va1 a3;a3a1 a 2若:则有:V)2 2( V)2 2( V)2 2)1()2()3 a1a?V 2 V 2 V 2 ()2 ()2 ()2a1 a?若:(a2a3)2(aa3)2 (a®?)2则有:(a2a3)1(a1a3)2(a1a2)33-4 测量某电路的电流I 22.5mA ,电压U 12.6V ,测量

37、的标准差分别为I 0.5mA, u 0.1V，求所耗功率 P UI及其标准差【解】若不考虑测得值的误差,则计算所耗功率为:UI12.6 22.510 30.2835W322.5 10P U 12.6I38.55 10 (W)若电压、电流的测量结果相互独立，则所耗功率标准差为36.69 500625 10 36.69 10 3(W)3-6已知x与y的相关系数xy 1，试求u x2 ay的方差U【解】属于函数随机误差合成问题。=(2x)2 cr d'b： - 2 x 2.v x <7 x (l)csQj = (2xcrx - trv)23-e如图丸所示闻孜碌法测屋扎的直径D.其翎傑直

38、軽分别为久，爲，测曲更离分别为爲.试童抽测扎径D舄各直整测量昱的函裁羌蛊0=住”心#損其溟筮儒递系裁.【坤；由几诃关乘爲求植剧孔胫D产押-吗山+詁+=細 +血）十网T耳-厢石-场+為） £各直揍测垦屋的糕豊传递币数如下:&D谀D1（/| -心 +2/（ =2/冠一亍ja +陌凤）凤一爲+臥）S3-63D _ 1 £二饥+ 2H| -2凤 _ aD臥 T兩诵一凤花 丽一疽3-12 按公式V=n r2h求圆柱体体积，若已知 r约为2cm, h约为20cm,要使体积的相对 误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少？解：若不考虑测量误差，圆柱体积为V r2 h 3.14

39、22 20 251.2cm3根据题意，体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为：-1%V即 V 1%251.2 1%2.51现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r的误差应为：1r 2 V / r2.5110.007 cm1.41 2 hr测定h的误差应为:2.511h 2 V/ h1.41 r20.142cm3-10假定从支点到重心的长度为 L的单摆 振动周期为T ,重力加速度可由公式T 2 g给 出。若要求测量9的相对标准差才0.1%，试问按等作用原则分配误差时，测量 L和T的相对标准差应该是多少?解：由重力加速度公式，T 2 L得，T24 2LT2因为，T28 2LT3因为测量项

40、目有两个，所以 用原理分配误差，得1_9 Tn _928 2L 2 8 2L 2482T 19 g 111 90.1t 2怎 g(n2g9199T2 TTn42L T92,2 29按等作I 99T1 9l综上所述，测量L和T的相对标准差分别是。.”會聖。呼36%如072%第四章测量不确定度评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为1）分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量。2） 评定标注不确定度分量，并给出其数值Ui和自由度Vi。3） 分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数p ij。4） 求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度Uc及自由度V .5） 若需要给出

41、展伸不确定度，则将合成标准不确定度Uc乘以包含因子k，得展伸不确定 度 U=kUc。6） 给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值y及合成标准不确定度或展伸不确定度U,并说明获得它们的细节。 根据以上测量不确定度计算步骤。4 1 某圆球的半径为r,若重复10次测量得r ±c r =（3.132 ± 0.005）cm，试求该圆球 最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%。【解】求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D 2 r0.0052其标准不确定度应为：u J -D2厂了J4 3.1415921 r=0.031

42、4cm确定包含因子。查 t分布表to.99 （ 9）= 3.25，及K= 3.25故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：U= Ku= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圆球的体积的测量不确定度43圆球体积为：Vr33其标准不确定度应为：2 rr22 r2J6 3.141592 3.1324 0.0052 0.616确定包含因子。查 t分布表t0.0i （ 9）= 3.25，及K= 3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.0024-3测量某电路电阻R两端的电压U,由公式| UR算出电路电流|。若测得U U （16.50I的标准不确

43、定度。【解】I U /R0.05)V、RI 丄U RR (4.260.02)IU-RR2,相关系数UR0.36，试求电流【解】（1）测量误差由B类评定，根据且2V量程测量误差4-6某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年，其2V量程的测量误差不超过土（14 X 10-6读数+1X 10-6 X量程）V，相对标准差为20%，若按均匀分布，求1V测量时电压表的标准不确定度；设在该表校准一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量，得观测值的平均值为 0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为0.000036V，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确

44、定度分量，说 明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。根据相对标准差为 20%112.5, V服从均匀分布，2（）2uUx14 10 6 1 10 6 2 16 10 61.6 10 59.24 101.6 10（14 106读数 1 10 6量程），所以在区间（x-a,x+a ）中一年后，对标称值为 1V的电压进行16次重复测量X 0.92857V x 0.000036V(2) 不确定度评定影响测量结果不确定度的主要来源:A 16次重复测量误差B电压表的示值误差C电压表的稳定度A测量重复误差引起的不确定度V 0.92857V0.000036VV0.000009/.16Ux1

45、属于A类评定 自由度：电压重复性引起的标准不确定度uxV 9 10 6 9 VB标准电压表的示值误差引起的标准不确定度1=16-1=15示值误差按均匀分布计算，属于 B类评定614 101 c cc xc 6七+由Ux 8.08 10自由度:x.322(-)2u11=12.5 2 (20%)C稳定度引起的标准不确定度 ux3电压表稳定度按均匀分布，属B类评定Ux31 豊 2 8.0810 6自由度:3 = 12.5合成标准不确定度2 x12 2Ux2 Ux3(9 106)2 (8.08 106)2 (1.15 106)228.010 628.0 V4自由度:28.0 10 628.0 VUc4

46、44Ux1Ux2 Ux34-9用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的泄漏电流，5次测量的平均值为 0.320mA,平均值的标准差为 0.001mA;已知漏电测量仪的示值误差围为5%,按均匀分布，取相对标准差为 10% ;测量时环境温度和湿度的影响围为2% ,按三角分布，其相对标准差为99% )。25%;试给出泄漏电流测量的不确定度报告（置信概率为【解】（1）不确定度评定对泄漏电流测量不确定度影响显著的因素有：A泄漏电流测量重复性引起的不确定度比B示值误差引起的不确定度u2C环境温度与湿度引起的不确定度求5、吐、U3 A测量重复误差引起的不确定度Ui0.001mA 1 AV示值误差（均匀分布）5

47、 mA 9.24 AU2 x 22(12 (10%)250环境温度（三角分布）2.61 AU3 x 2 °.3202% 2.61 10 3mA6 、6（2）不确定度合成因不确定度各个分量相互独立，即ij 0，合成的不确定度为:uc.U12 U22 U321 9.242 2.612 9.65 V 0.00965mA4自由度：c 厂弋r 57.1U1U2U3123根据“三分之一准则”，对标准不确定度进行修约得uc 0.010mA10 A（3）展伸不确定度 取置信概率 P 99%， =57，查 t 分布表，得 t0.99(57) 2.68 ，泄漏电流测量的展伸不确定度为U kuc 2.68

48、 9.65 25.862 0.025862mA 根据“三分之一准则” ，对展伸不确定度进行修约得 U 0.026mA 26 A(4) 不确定度报告1)用合成标准不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：I 0.320mAuc 10 A 57.12)用展伸不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：57I (0.320mA 0.026)mA P 0.99第五章最小二乘法原理参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾： 由误差方程V L AXT且要求V V最小，则：VTV (L AX )T(L AX) (lt xtat)(l AX) ltl ltax xtatl xtatax令其等于f( X),要f( X)最小，需其对应偏导为0：所以：f( X)ltadXlta xtata理论基础：lta (atax)t xtata 0atl ataxX (ATA) 1atlf(X)= dXf(X)软(X)g(X)円(X