《线性代数》B组题

1、第四章矩阵的特征值和特征向量习题四（B）1、判断下述结论是否正确（1）实数域上的n阶矩阵A 一定有n个特征向量； 解：错。n阶矩阵A的特征多项式在实数域上不一定有n个根。（2）A与A有相同的特征值和特征向量；解：错。若A与A有相同的特征值和特征向量，设是A的属于'o的特征向量（0）则A： - : , AT :：二（A-AT）a=0,”A = At，而只有当A是对称矩阵时才有 A = A。（3） 若'o是 A的一个特征值，则齐次线性方程组（ °E - A）X =0的非零解就是A的属于'o的特征向量；解： 错。齐次线性方程组（ ° E - A）X =0的

2、基础解系的线性组合才是 A的属于 o 的特征向量（4） A的一个特征向量：可以属于A的不同特征值、，-2 ；解： 错。若A的一个特征向量可以属于A的不同特征值'!，'2，则Aa=Z , A° =、申，二（-1 - 上2） a =0,二打=入2与题设矛盾。（5）若'0不是A的一个特征值，则（0E -A）可逆。解： 对。 若（，0EA）不可逆 则det（，0EA）=0与若 0不是A的特征值矛盾。r-1 0 2、设A =12-1，求A的对应于其特征值的特征子空间的基。J 3解：矩阵A的特征多项式为:0 -22 丸-21=(人+1)(丸一1)。3 九丸+1det (扎

3、E A) = -1-1由det （工-E A） = 0可得A的特征值 汩=匕=1,冷3 = -1 ，对于'1= '2 =1，解齐次线性方程组（ E - A）X=0，可得方程组的一个基础解系：1 二（1,0,1）T，对于= -1，解齐次线性方程组（- E - A）X=0，可得方程组的一个基础解系.v . ,v .的特征子空间的基为：1 =（1,0,1）T,.v的特征子空间的基为】2 （一 3,1,0）.3.00，求A的特征值为1, 2, 3。试求x的值。解：矩阵A的特征多项式为:1 0det (扎E -A )=-2-42-x 0 (' -1)(x1)' x 2)又

4、-2 -1A的特征值为1, 2, 3几九=1,2,3时，det （扎E A） =0由此解得x=4 。，Z2-12 '4、已知a =(1,1,-1)T是矩阵A =5a3的一个特征向量。试确定a, bb-2丿值和a所对应的特征值，并判断 A是否可对角化？广212、解：a =（1,1,1）T是矩阵A= 5 a 3的一个特征向量,厂1b-2、2 1 2 ” 1、©（丸EA）a=0 ,即-5 九一a -3 |1=011-b丸+2丿L1解此线性方程组可得- 1,a = -3,b = 0。 则矩阵A的特征多项式为k-21-2det）（EA）= 5 九+3-3 =（九+1）3。10 k +

5、2由 det（ - E-A） = 0可得 A 的特征值= '2 =，3 - -1，对于，1 = 2二 3 = -1，解齐次线性方程组（- E - A） X=0，可得方程组的一个基；对应于1='2二3 =-1的线性无关的特征向量只有一个，.A不能对角化。5、已知三阶矩阵 A的特征值为 -1，1，2，矩阵B=A-3A2。试求B的特征 值和det B。2解： B 二 A 3A，.2E B =（ E -A）（ 2E 3A），4E B=（ E A ）（ 4E -3A ），10E B=（ 2E - A ）（ 5E 3A ），又A的特征值为-1，1，2，det（ 2E B） =det（ E

6、A ） （ 2E 3A） =0，det（ 4E B ） =det（ E A ） （ 4E - 3 A） =0，det（ 10E B ） =det （ 2 E A） （ 5E 3A） =0，A的特征值为一1, 1, 2,-B的特征值为一2, 4, 10,-detB= （ 2 ）（-4） （-10） 一80。6、试证：1） 果A为奇数阶正交矩阵，且 det A =1，则1是A的一个特征值。证明： 由A为奇数阶正交矩阵，知 ATA = E，且At= A。det(E - A)二det(AAT - A)二detAdet(AT- E )=det A det (AT E)T =det(A - E)= (-1

7、)n det(E A),又因为A为奇数阶矩阵。所以 det(E - A)二_det(E - A)。即：det(E - A) =0,.1是A的一个特征值。2)果A为n阶正交矩阵，且 det A =-1，则-1是A的一个特征值。证明：由A为n阶正交矩阵，知= E，且At = Aodet( -E - A) =det( -AAt - A) =det Adet(-AT - E) = - det( _ E _ A),即 det( _E _ A) = 0 ,.-1是A的一个特征值。7、判断下述结论是否正确，并简述理由。(1) 如果A B，则存在对角矩阵 A ,使A , B都相似于A ;解：错。由A B不能得

8、出存在对角矩阵 A,使A, B都相似于A,由A B不能得出A,B都能对角化，因此也不能保证A , B都相似于A o(2) 如果A B，则A, B有相同的特征值和特征向量；解： 错。若A B，则代B有相同的特征值，但未必有相同的特征向量，设A的属于的特征向量为= 0),由于A B ,则存在可逆矩阵P ,使得 PAP=B,所以 A=PBP，于是 PBP二 ，即 B( P ) = ' ( P_k ) 由此可知 矩阵B的属于的特征向量为Po(3) 如果AB,则对任意的常数 ，有，E-A=，E-B ;解：错。若，E-A= E-B，则A = B，而由A B不能得出A = B(4) 如果AB，则对任

9、意的常数，有o解：对。由于AB，则存在可逆矩阵P,使得PAP二B ,E B =?；E P"*AP ,P ( E B)P"* = P('E P斗 AP)P 斗,P ( E -B)P，= E - A ,，EB=P（EA）P ,.如果AB，则对任意的常数，有E_A 'E-B。8、设n阶矩阵A=(1)求A的特征值和特征向量;(2)A是否可以对角化？若可以，试求出可逆矩阵P,使P'AP为对角矩阵。解：（1）A的特征多项式为-a-a-a-a-a-a-a-a-aa-aa - aa-aa-a-a_a- adet (z-E - A)=丸na-aa-a九一n a 丸一a

10、a -a丸naa-a 人-a-a-aa丸na-aa丸一a1-a-a-a1人a-a-a(丸na)1-aa丸aa-a1-a-a- a1-a-a-a=C - na)由det （入E A） 0可得a的特征值 人=0（n 1重），爲=na。对于=0,解齐次线性方程组（0E- A） X=0 ,可得方程组的一个基础解系 (-1,1,0,0)12 =(-1,0,1,0,o)T, n=(-1,0,0,0,1)T ,对于-2 = na ,解齐次线性方程组（naE A） X=0 ,可得方程组的一个基础解系:n = (1,1,1,1)T。（2） A可以对角化。P=(>12,/ n)即P=-1110-10-10时

11、,则PAP为对角矩阵。设向量：= (a，a2，a.),:=（b1,b2,bn）都是非零向量，且满足条件记n阶矩阵(1)A2及其特征值;解:=(a1,a2,an)b2n八k=1aibi =0,” PTOt =0。而ab-a1bna2b1a2 b2a2bnA=a9lanb1anb1anbn2A :=(aPT)(aPT)=a(叭A2的特征多项式为厂=（）（: ' T）=0,4 .丿det（E A2） = ?.n ,由此可得A2的特征值为=0（n重）。（2）利用（1）的结论, 解：设为A的特征值,求A的特征值和特征向量；X为与之应的A的特征向量，即八1A 2Ax= 1 x, A x_ 2 2

12、. _ 2=，Ax =，x 由于 A =0，因此'x = 0，又 x = 0 ,，” 人=0,.A的全部特征值为0。由题设知-0J -0不妨设ai =0,4 =0解方程（A OE ） X=0由A-0E =06a2b1a訥2a?b2 a1bn 'a2bnaT'ab0-訥20 -aibnA0，06andanbn j'、00 0x3得到同解方程组 耳（0捲+b2x2 +bnxn） = 0 。 令：分别取则Xib2 b：bn于是得到A的属于特征值 =0的全部特征向量为叮叮叮X1b1b1b1X2100X3a0a-*21+也0a< 0< 0丿< 1ki （

13、i =1,2,，心）为不全等于零的任意常数。（3 ）是否可以对角化解：；对应于 - 0（ n重）的特征向量只有n-1个，.A不能对角化。10、A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5。试求行列式det（ £ - 2E）的值，其中A*是A的伴随矩阵解：detA= 23=1 3 5=15，A*对应的特征值为det A= 15,det A=5,det A而矩阵A* -2E对于的特征值为1 - 2,2 - 23 - 2，det（ A* -2E）=13 3 1 = 39。11、设矩阵AB，其中-11、°A =24-2B =2C3-3a（1）求a,b的值；解：矩阵A的特征多项式为九-11-

14、132det）（EA）= 2 人一42=、* （5 + a）扎 + （5a+3）九 + 6 6a ,33 人 - a矩阵AB . A, B有相同的特征值。.A的特征值为2，2，b，_ 2,b 时，det（ E - A） = 0，由此解得 a = 5, b = 6。（2）求可逆矩阵P，使PAP二B。解：由（1）知：A的特征值为2，2，6，对于、v2 =2，解齐次线性方程组（2E- A） X=0，可得方程组的一个基础解系为J =（1,-1,0）丁2 =（1,0,1）丁。对于3=6，解齐次线性方程组（6E- A） X=0，可得方程组的一个基础解系3 = （1, -2,3）丁。广1令卩=（口102,。

15、3）=-1<01 10-2,则 P，AP = B。13丿0 1，已知A的一个特征值为3,1 012、设矩阵A=0 02 0（1）求y的值；（2）求矩阵P。使（AP）t（AP）为对角矩阵; 解（1） ； 3为A的一个特征值，.det(3E - A)二-3101-3000y -31-1-3=-11-3y-2(2)AT 二 A，.（ap）t（ap）二 pta2p。要使（AP）t（AP）为对角矩阵,只需pta2p为对角矩阵即可,0 10 0、0 10 0、'1 0 0 0、1 0 0 0|10 0 00 10 00 0 2 10 0 2 10 0 5 4卫 0 1 2 1卫0 1 2卫0

16、 4 5则A2 = AA =A2的特征多项式d为t E - A2）=-100 -1-5-4-4丸一5=c -1)3C -9)由 det( E A2) = 0,可得A的特征值为，1 =，2 = ' 3 = 1,4=9。对于1 = 2 = 3 =1，解齐次线性方程组（E - A2）X =0可得方程组的一个基础解系为：1 =(1,0,0,0)T,： 2 =(0,1,0,0) 3 =(0,0,-1,，)T，将向量组 r，2，3正交化单位化得1 ",0”，2 诃0", 3 "2对于=9，解齐次线性方程组（9E - a2）X =0，可得方程组的一个基础解系:-3二（0

17、,0,1,1）T。将：3单位化得4 =（0,0,；，'1 00 1令 P= 0 00 0000011迈迈11<272r1 0 0 0APtA2P =(AP)t(AP)0 10 00 0 10卫0 0 9丿13、设代B为同阶矩阵。(1) 如果A可逆，证明AB与BA相似；证明：；A可逆，故A存在。.A(AB) A = BA，ab与ba相似。(2) 如果A不可逆，试问 AB与BA是否相似？证明你的结论。证明：相似。用反证法。设 AB与BA不相似，则对任意的可逆矩阵P，都有1p abp=ba,上式两边取行列式，得1 det(P ABP)=det(BA),即det(AB) -det(BA)

18、,矛盾，所以假设不成立，于是AB与BA相似。14、如果实对称矩阵 A的特征值的绝对值均为1,证明A是正交矩阵。证明：设A的属于的特征向量为:- 0)，贝U A :=:。二 A(Aa 卜 A( ?心)，即 A2g =扎Ag，又 A a =九 口 ,A2： = 2：。又 at =人 2 =1 ,.ata：-：，又二产0 ,.ATA 二 E ,A是正交矩阵。15设代B是两个实对称矩阵，试证：存在正交矩阵Q，使Q AQ二B的充分必要条件是A,B有相同的特征值。证明：充分性；设实对称矩阵 a, B有相同的特征值 ,一,，n，贝V存在正交矩阵Q1 ,Q2使得QAQiq2 bq2于是 QiAQi = Q BQ2，又 Q?"1 存在，所以有：QzQiAQiQ?-1 二 B即：QAQ =B (其中 Q1Q2 J)。必要性：设有QAQ二B，即A , B相似，从而A,B有相同的特征值。综合上面的证明知：命题成立。16、设A为n阶实对称矩阵，且 A2 =A,试证：存在正交矩阵 Q，使 Q，AQ =diag(1, ,1,00)。证明： 设A的属于的特征向量为(： =0)，贝U A 一 = 一 。又A2二A,九 a = A ot = A2«=A( A ® = A© 用)=，：,又由于A为n阶实对称