双曲线及其标准方程(一)(二)

1、课题：双曲线及其标准方程（一）教学目标 1.掌握双曲线定义、标准方程及其求法； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；3.认识双曲线的变化规律.教学重点 双曲线的定义及标准方程教学难点 双曲线标准方程的推导教学过程1、设置情境我们已经知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？（用双曲线演示模板画出双曲线）下面我们给出双曲线的定义，并研究双曲线的方程.2、探索研究双曲线的定义：（1）      绘图演示（2）      分析原理（3

2、）      归纳定义（注意与椭圆比较）我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线.说明常数小于 ；这两个定点叫做双曲线的焦点；这两焦点的距离叫双曲线的焦距.双曲线的标准方程：（1）双曲线的标准方程的推导推导过程：参见课本如图812，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.设M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.由定义可知，双

3、曲线就是集合 将方程化简得(c2a2)x2a2y2=a2(c2a2).由双曲线的定义可知，2c>2a，即c>a，所以c2a2>0，令c2a2=b2，其中b>0，代入上式得 (a>0,b>0).（2）双曲线的标准方程的形式形式一： （a>0,b>0）说明：此方程表示焦点在x轴上的双曲线.焦点是F1(c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2.形式二： （a>0,b>0）说明：此方程表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F1(0，c)、F2(0， c)，这里c2=a2+b2.3、反思应用例1求适合下列条件的双曲线的标准方程（1） 

4、      a=4, c=5, 焦点在x轴上；（2）       焦点为（-5，0），（5，0），且b =3（3）       a=4, 经过点 ；（4）       焦点在y轴上，且过点 分析 根据已知条件求出双曲线的标准方程中的a, b 即可，注意标准方程的形式例2（课本例） 已知双曲线两个焦点的坐标为F1（5，0）、F2（5，0），双曲线上一点P到F1、F2的距

5、离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： (a>0,b>0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16所以所求双曲线的标准方程为说明：例1、2目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式.例3、证明椭圆x2/25y2/191与双曲线x215y215的焦点相同。 分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可例4、已知方程 表示焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围随堂练习(课本P107 2, 4) 已知方程 表示双曲线，则实数m的取值范围是。求适合下列条件的双曲线的标准方程a=4,b=3，焦点在x轴上；焦点为(0,6),

6、(0,6)，经过点(2,5)焦点在x轴上，经过点 4、归纳总结数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.5、课后作业习题 1、2、3双曲线及其标准方程（二）教学目标 1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是用定义法和待定系数法；2.了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用.教学重点 双曲线的定义及其标准方程教学难点 双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用教学过程1、复习回顾（1）双曲线定义（2）两种形式的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程过点P(3,15/4),Q(16/3,5)，且焦点在坐

7、标轴上； 经过点(5,2)，且焦点在x轴上；与双曲线x2/16y2/41有相同的焦点，且经过点 。分析：设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，则解得 所求方程为x2/16y2/91小结：“巧设”方程为“为mx2ny21(mn0)”避免分两种情况进行讨论。 且焦点在x轴上，设标准方程为x2/my2/(6m)1（0m6）双曲线经过(5,2)，25/m4/(m6)1，解得m5或m30（舍去）所求方程为x2/5y21与双曲线x2/16y2/41有相同的焦点，设所求双曲线的标准方程为 双曲线经过点 ， ，解得4或1(舍去)所求方程为x2/12y2/81小结：注意到了与双曲线 x2/16y2/41共焦点

8、的双曲线系方程为 后，便有了上述巧妙的设法。已知双曲线x2/a2y2/b21（a>0,b>0）, 求过它的焦点且垂直于x 轴的弦长分析：设双曲线的一个焦点为F（c,0），过F且垂直于x轴的弦为AB，要求AB的长，只需确定弦的一个端点A或B的纵坐标即可|AB|2a2/c变：双曲线x2/4y2/121上的点P到左焦点的距离为6，这样的点有个。一动圆P过定点M（4，0），且与已知圆N：(x4)2y216相切，求动圆圆心P的轨迹。分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|PM|4，外切时，

9、有|PC|PM|4，故点P的轨迹是双曲线x2/4y2/121。已知动圆P与定圆C1：(x5)2y249,C2：(x5)2y21 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有|PC1|7r, |PC2|1r，|PC1|PC2|6，内切有|PC1|r7, |PC2|r 1，|PC2|PC1|6故点P的轨迹是双曲线x2/9y2/1612、探索研究：例（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差

10、，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图814，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（x,y），则即2a=680,a=340.又 2c=800,c=400, b2=c2a2=44400. x>0.所求双曲线的方程为： (x>0).说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组