圆锥曲线基础知识与典型例题_图文

1、圆锥曲线 |+|MF 2|=6,则M 点的轨迹(D线段则动点的轨迹方程是( (D0(1251622=+y y x 例 1. D 数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线答案 例 2. B 例 3. C 先考虑 M+m=2a，然后用验证法. 例 4. B 提示：e= 4 ,P 点到左准线的距离为 2.5，它到左焦点的距离是 2， 2a=10, P 点到右焦 5 解得 PF1 = n + 2 + n , PF2 = n + 2 - n 而 F1F2 = 2 n + 1 由勾股定理得 SV PF F = 1 PF1 × PF2 = 1 2 点评考查双曲线定义和方程思想. 1 2 点的距离是

2、8，P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 4 : 1; 1 6. 2a 例 5. B | PF1 | = | PF2 | = 2c = | PF1 | + | PF2 | = ， 2c = e = = sin15° sin 75° 1 sin15° + sin 75° sin15° + cos15° 2a 2 sin 60° 3 例 6. C 提示：椭圆 3x24y2=48 中，a=4, c=2, e= 1 , 设椭圆上的 P 点到右准线的距离为 d，则 2 | PF | 1 = , |AP|2|PF|=|AP|d,

3、当 AP 平行于 x 轴且 P 点在 A 点与右准线之间时，|AP| 2 d d 为一直线段，距离最小，此时 P 点纵坐标等于 3 ，P 点坐标是(2 3 , 例 7. (3, ± 4 或(-3, ± 4 例 8. (1 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 + = 1或 + = 1; + = 1; (2 25 16 16 25 6 3 x2 x2 y2 x2 x2 y2 2 2 + y = 1或 + y = 1或 + = 1; + = 1. (3 (4 9 4 9 81 4 16 | PF1 | + | PF2 | 2 = a2 = 4 例 9. | PF1 | 

4、15; | PF2 | ( 2 x2 y2 例 10. 解:设椭圆方程为 2 + 2 =1,(a>b>0 a b b2 b2 PQx 轴时，F(-c,0，|FP|= ，又|FQ|=|FP|且 OPOQ，|OF|=|FP|,即 c= ac=a2-c2, a a 5 -1 3 e2+e-1=0,e= 与题设 e= 不符,所以 PQ 不垂直 x 轴. 2 2 4 1 3 PQy=k(x+c,P(x1,y1,Q(x2,y2,e= ,a2= c2,b2= c2, 3 3 2 所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将 PQ 方程代入， 得(3+12k2x2+24k2cx+12k2c

5、2-4c2=0,x1+x2= 由|PQ|= x2 y2 1 - = 1( x < -2 例 18. 2 4 12 2 2 2 1 x y (-3 (2 3 2 - = l ( 0, 例 19.设双曲线方程为 - =l l = , 4 9 16 9 16 2 2 2 2 æ1 6- k > 0 ö x y x y - =1 ; 设 双 曲 线 方 程 为 - =1 ç 双曲线方程为 ÷ 9 4 16 - k 4 + k è4+ k > 0 ø 4 2 2 x2 y 2 (3 2 2 =1 - = 1 ,解之得 k=4,

6、 双曲线方程为 - 12 8 16 - k 4 + k x2 y 2 x2 y2 评注：与双曲线 2 - 2 = 1 共渐近线的双曲线方程为 2 - 2 = l ( 0，当 >0 时，焦 a b a b x2 y 2 点 在 x 轴 上 ； 当 <0 时 ， 焦 点 在 y 轴 上 。 与 双 曲 线 2 - 2 = 1 共 焦 点 的 双 曲 线 为 a b 2 2 x y - 2 = 1 (a2+k>0，b2-k>0。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解 2 a +k b -k 例 17. 题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几

7、何的基本思想. 例 20. 解题思路分析： - 24k 2 c 12k 2 c 2 - 4c 2 , x x = 1 2 3 + 12k 2 3 + 12k 2 20 24k 2 c 2 4(12k 2 c 2 - 4c 2 20 2 得 1+ k · ( = - 9 9 3 + 12k 2 3 + 12k 2 y y OPOQ, 1 · 2 = -1 即 x1x2+y1y2=0,(1+k2x1x2+k2c(x1+x2+c2k2=0 x2 x1 4 4 2 2 2 把 x1 + x2 ， x1 x2 代入，解得 k = ，把 k = 代入解得 c =3 11 11 2 x

8、a2=4,b2=1，则所求椭圆方程为 +y2=1. 4 例 11. B 例 12. C 例 13. D 例 14. C 例 15. C 例 16. A 假设 PF , 1 > PF 2 ,由双曲线定义 PF 1 - PF2 = 2 n 且 PF 1 + PF2 = 2 n + 2 第 11 页 ì y = kx + 2 - k ï 法一： 显然 AB 斜率存在设 AB： y-2=k(x-1 由 í 得： (2-k2x2-2k(2-kx-k2+4k-6=0 y2 2 =1 ïx - î 2 x + x k (2 - k 当>0 时，

9、设A （x1,y1） ， B （x2,y2） 则 l = 1 2 = k=1， 满足>0 直线 AB： y=x+1 2 2 - k2 ì 2 y12 x - =1 ï ï 1 1 2 法二：设 A（x1,y1） ，B（x2,y2）则 í 两式相减得：(x1-x2(x1+x2= (y1-y2(y1+y2 2 2 ï x 2 - y2 = 1 2 ï î 2 y2 2 ´1 y1 - y2 2( x1 + x2 2 = 1 AB：y=x+1 代入 x - = 1得：>0 x1x2 k AB = = 2 2

10、x1 - x2 y1 + y2 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。 在利用点差法时，必须检验条件>0 是否成立。 （2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有 条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心 设 A、B、C、D 共圆于OM，因 AB 为弦，故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上；又 CD 为弦， 故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD| ì y = x +1 ï 由í 得：A（-1，0

11、） ，B（3，4）又 CD 方程：y=-x+3 y2 2 =1 ïx - î 2 第 12 页 ì y = -x + 3 ï 由í 得：x2+6x-11=0 设 C（x3,y3） ，D（x4,y4） ，CD 中点 M（x0,y0） y2 2 x - = 1 ï î 2 x + x4 = -3, y0 = - x0 + 3 = 6 M（-3，6） 则 x0 = 3 2 1 |CD|= 2 10 又|MA|=|MB|= 2 10 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2 A、B、C、D 在以 CD 中点，M（-3，6）为圆心，

12、 2 10 为半径的圆上 评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视. p 例 21. B( = -2, p = -4即x 2 = 2 py = -8 y 例 22. B 2 例 23. B(过 P 可作抛物线的切线两条，还有一条与 x 轴平行的直线也满足要求。 例 24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于 对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为 p,q， 注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程， 必须讨论二次项系数和判别式，利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系求解 有时借助图形的几何性质

13、更为简洁 此题设直线方程为 x=ky+2p； 因为直线过 x 轴上是点 Q(2p， 0，通常可以这样设，可避免对直线的斜率是否存在讨论2凡涉及弦的中点及中点弦问题， 利用平方差法；涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算3在引入点参数 (本题中以 AB 弦的两个端点的坐标作为主参数时，应尽量减少参数的个数，以便减少运算 量由 OAOB 得 x1x2+y1y2=O 这个关系对于解决此类问题十分有用4列出目标函数， |OH|= k 4 + 5k 2 + 4 P，运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思 路，也可利用基本不等式 a2+b22ab 当且仅当 a=b 时“=”

14、成立求解 例 31. B 例 32. D 例 33. C 例 37. y 8x |MC|=|MD|= 例 34. A 例 35. B 例 36. 9x+16y=0 (椭圆内部分 则 p=q=|FK| 而 | FK |= 1 , 2a x2 y 2 + =1 例 38. 25 9 例 39. 解析：SAFB=2SAOF，当点 A 位于短轴顶点处面积最大.答案：D 例 40. D41. B 42. B 数形结合估算出 D 例 43. D 例 26. 1 1 2 2 + = = = 4a 1 p q p ( 2a 例 25. 解析：运用抛物线的准线性质.答案：B x2=8y 例 27. p2 例 2

15、8. x + ( y + = 9 2 2 a2 = 4 , a2 = 4 , 例 40. C由已知得曲线 C1 的准线为 x = 4 ,焦点在 x 轴上且 c 2 a = 2, c = 1 , k = b = 3 6 6 U p - arctan ,p 2 2 例 30. 解：由题意，直线 AB 不能是水平线， 故可设直线方程为： ky = x - 2 p . ìky = x - 2 p, 2 2 又设 A( x A , y A , B( x B , y B ，则其坐标满足 í 2 消去 x 得 y - 2 pky - 4 p = 0 y = 2 px . î 例

16、 29. 0, arctan y A + y B = 2 pk, ì x A + x B = 4 p + k ( y A + y B = (4 + 2k 2 p, 由此得 ì ï í 2 í ( y A yB 2 î y A y B = -4 p . = 4 p2 ïx A xB = 2 î uuu r uuu r 因此 OA × OB = xA xB + yA yB = 0 ,即 OA OB . (2 p 3 4 例 45.k< - 2 3 2 3 或k > 3 3 例 46. 3 2 例

17、47. (0， 3 2 例 48. 解：设 AB：y=- 1 x+m,代入双曲线方程得 11x2+4mx-4(m2+1=0, 2 这里=(4m2-4×11-4(m2+1=16(2m2+110 恒成立， 故 O 必在圆 H 的圆周上. 又由题意圆心 H（ xH , y H ）是 AB 的中点， x + xB ì xH = A = ( 2 + k 2 p, ï ï 2 故í 由前已证 y + y A B ïy = = kp. B ï 2 î OH 应是圆 H 的半径， 且 | OH |= 2m 1 12 m 4m ，x

18、0=- ,y0=- x0+m= , 2 11 11 11 若 A、B 关于直线 y=2x 对称，则 M 必在直线 y=2x 上， 设 A(x1,y1,B(x2,y2,AB 的中点为 M(x0,y0,则 x1+x2=- 12 m 4m 1 =- 得 m=1，由双曲线的对称性知，直线 y=- x 与双曲线的交点的 A、B 必关于 11 2 11 直线 y=2x 对称. 存在 A、B 且求得 A( 2 11 ，- 1 11 ，B(- 2 11 ， 1 11 x +y 2 H 2 H = k + 5k + 4 p .从而当 k=0 时，圆 H 的半径最小，亦使圆 H 的面 4 2 积最小.此时，直线

19、AB 的方程为：x=2p. 第 13 页 第 14 页 8、当你想“超越对手”时，请“疯狂地运用智慧”吧！ 疯狂代表着人类超越自我的精神； 代表着对理想的执着追求； 代表着对事业忘我的全情投入； 代表着不达目的绝不罢休的激情。 “Crazy” stands for the human spirit of transcending oneself. stands for the single-minded pursuit of dreams. stands for the total devotion to your work. stands for the passion of commitm

20、ent to reach the goal. Once you have this craziness, 有些人误以为李阳发起的 “疯狂英语” ， 只是大声地苦熬意志， 狂喊地锻炼胆量。 其实， “疯狂”的最高境界是智慧， “疯狂”的最高境界是了解人性后的觉悟！ 我从来坚信： “成功一定有方法！成功一定有简单而实用的方法！ ” 刘翔为什么会成为中国第一个 110 米跨栏的世界奥运冠军？为什么他能比一般 队员节省很多时间取得突破？除了努力和天分外，科学而实用的训练，才是成功 的关键。 世界跨栏飞人刘翔背后，站着一位神奇而有超级智慧的教练孙海平。有人 笑说： “刘翔的成绩越好，教练孙海平的头发就越少。 ” 当刘翔刚试训的时候，动作僵硬，孙教练差点准备放弃他了，只因为孙海平发 现刘翔的领悟能力很强，才留了下来。体育天赋分两种，一种是先天的，另一种 是后天领悟获得的。孙教练