(选修2-1)第三章《空间向量与立体几何》单元测试2

1、12第三章空间向量与立体几何（B）（时间：120 分钟 满分：150 分）、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.空间四个点 0、A、B、C, 0A0B3（为空间的一个基底，贝 U 下列说法不正确的是（）A.0、A、B、C 四点不共线B.0、A、B、C 四点共面，但不共线C.0、A、B、C 四点中任意三点不共线D.0、A、B、C 四点不共面2.已知a a+ 3b b 与 7a a 5b b 垂直，且 a a 4b b 与 7a a 2b b 垂直，则a a, b b等于（）A. 30B. 60C. 90D. 453.已知 A（2, 5,1）, B（2, 2,4）, C

2、（1, 4,1），则向量ABT 勺夹角为（）A. 30B. 45C. 60D. 904.已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1的中心，若AE= AA+ xAByAD则 x,y 的值分别为()1A . x= 1, y= 1B . x= 1, y= 21 1D.x= 2，y=35.设 E, F 是正方体 AC1的棱 AB 和 D1C1的中点，在正方体的面 A1ECF 成 60。角的对角线的数目是（）6.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点， 如果AB=（2, 1， 4）,AD=（4,2,0） ,辰 （1,2, 1）.对于结论： APIAB :AP 丄

3、AD:AP是平面 ABCD 的法向量；AP/ BD.其中正确的个数是（）A . 1B . 2C. 3D. 47.已知 a a= （ 3,2,5）,b b= （1, x, 1）且 a a b b= 2,贝 U x 的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 6&设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足ABAC=0,ACAD=0,ABAD=0,则 BCD 是（）A .钝角三角形B .锐角三角形C.直角三角形D .不确定9.正三棱柱 ABC 一 A1B1C1中，右/ BAC = 90 AB = AC = AA1,则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于（）12 条面对角线中，与截1

4、211.已知0A= （1,2,3）,0B=（2,1,2）,0P=（1,1,2），点 Q 在直线 0P 上运动，则当OAQBX得最小值时，点 Q 的坐标为（）A. 30 10.若向量B. 45 C. 60 a a= (2,3,D . 90 当的夹角为 60,则入等于（A.2312C.23 612B-16D.23 61,CT题号i23456789i0iii2答案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)i3.若向量 a a = (i,i ,x),b b= (i,2,i) ,c,c= (i,i,i)，满足条件(c c a a) ( b b)= 2,则 x=_ .i4若 A 0,

5、2, i9 , B i, i, 5 , C 2 , i , 8 是平面a内的三点，设平面a的法向量 a a= (x , y , z),贝 U x : y : z=_ .i5.平面a的法向量为 m m = (i,0 , i),平面B的法向量为 n n= (0 , i,i),则平面a与 平面B所成二面角的大小为 _ .i6.在直三棱柱 ABC AiBiCi中，/ ABC = 90 AB= BC = AAi= 2,点 D 是 AiCi的中点, 则异面直线AD 和 BCi所成角的大小为 _.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)i7. (10 分)如图，已知 ABCD AiBiCiDi是平行六

6、面体.设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCCiBi对角线 BCi上的分点，设MN=片 朋，试求a B丫的值.A. 2i132，4，34 4 83，3B.2,D.4,33、，2，447)3，3C. 3，12.在正方体 ABCD AiBiCiDi中，平面 AiBD 与平面 CiBD 所成二面角的余弦值为()13A.2B2i318.(12 分)如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 2a 的菱形，且 SA= SC= 2a, SB= SD = ,2a，点 E 是 SC 上的点，且 SE=入 a(0疋 2).求证：对任意的 入 (0,2，都有 BD 丄 AE ;(2)若 SCX平面 BE

7、D，求直线 SA 与平面 BED 所成角的大小.19.(12 分)已知空间三点 A( - 2,0,2), B( - 1,1,2), C( - 3,0,4)，设 a a =ABb b=XC(1)求 a a 和 b b 的夹角B的余弦值；若向量 ka a + b b 与 ka a2b b 互相垂直，求 k 的值.20. （12 分）ec如图所示，在三棱锥SABC 中，SO 丄平面 ABC，侧面 SAB 与 SAC 均为等边三角形，/ BAC = 90 O 为 BC 的中点，求二面角 A SC B 的余弦值.21.（12 分）如图，在底面是矩形的四棱锥 P ABCD 中，PA丄平面 ABCD ,PA

8、 =AB = 2, BC =4,E 是 PD 的中点.求证：平面 PDC 丄平面 PAD;求点 B 到平面 PCD 的距离.22. (12 分)如图，四棱锥 S ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD 上的点.求证：AC 丄 SD;若 SD 丄平面 PAC,求二面角 PAC D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE/平面 PAC.若存在，求 EC 的值；若不存在，试说明理由.SE:建系如图，设 AB = 1,贝 V B(1,0,0), A1(0,0,1), C1(0,1,1).BA= (1,0,1),AC= (0,1,1)

9、 cosBA,ACBA * AG心齐勺1=2 =2BA,AG=60即异面直线 BA1与 AC1所成的角等于 601. B2. B由已知第三章空间向量与立体几何( (B)a a+ 3b b 7a a- 5b b = 0a a 4b b 7a a 2b b = 07a a2+ 16a a b b 15b b2= 07a a2 30a a b b+ 8b b2= 0 由一可得 a a b b= 1 b b2,代入可得 a a2= b b2,. cos a a b b a a, b b= 6012.3. C AB=(0,3,3),AG=( 1,1,0), cosAB AC0.B 为锐角，同理，/ C,

10、ZD均为锐角，二 BCD 为锐角三角形.9. C10.Ca a=(2,3, R,b b= 1,1, |a a|= R+13,|b b|=26,b 入 +11a a b b_ 3_ 1丽=启 13236= cosa, b b=11. C Q 在 OP 上, 可设 Q(x, x,2x)，则Q片(1x,2 x,32x),QB=(2 x,1 x,2 2x).-QAQB=6x2 16x+ 10,.x= 3 时，3A6B最小，这时 Q4343,12. C z 轴建立空间直角坐标系，设DA、DC、DD1以点 D 为原点，正方体的棱长为 1,则AC=(1,1, 1),AC=(1,1,1). 可以证明 A1C

11、丄平面 BC1D, AC平面 A1BD.又 cosAC, Ab = 结合图形可知平面 A1BD 与平面 C1BD 所成二面角的余弦值为 右3313.2解析/ a a= (1,1 , x), b b= (1,2,1), c c= (1,1,1), c c a a= (0,0,1 x), 2b b= (2,4,2).(c c a a) (2b b)= 2(1 x) = 2, x= 2.14.2 : 3 : ( 4)解析辰 1, 3,7,民-2，1，- 4,2x=3y由 a aAB=0, a aAC= 0，得4z=3y4 3y2x : y : z= 3丫：y : =2 : 3 : ( 4).15.

12、60。或 120 mnmn1解析 cos n n= mnmn 厂 2 2=2， m m, n n= 120即平面a与B所成二面角的大小为60或 120n16.6解析建立如图所示坐标系，则Ab= (- 1,1, 2),n6.=1(AB-XD+3(CG-6E)=1(AB-尺D+3(AA+AD)=AB-AD3AA+3AD2244由底面是菱形，得 BD 丄 AC. SB= SD, O 为 BD 中点， BD 丄 SO.又ACnSO=O, BD 丄面 SAC.又 AE?面 SAC,. BD 丄 AE. 解由(1)知 BD 丄 SO,取 AC 和 BD 的交点 O 为原点建立如图所示的坐标系，设则 OA

13、=寸 4a2 x2, OB =寸 2a2 x2./ OA 丄 OB, AB = 2a,(4a2 x2)+ (2a2 x2) = 4a2，解得 x= a. OA= _3a,则 A( ,3a,0,0), C( . 3a,0,0), S(0,0, a)/ SC 丄平面 EBD , SC1平面 EBD 的法向量.SC=( 3a,0 , a) ,SA=( . 3a,0 , a).BBC= (0,2, 2),/ cosAD, BC2；6T，ADBCn6.18. (1)证明连结 BD , AC,设 BD 与 AC 交于 O.SO =x ,即异面直线 AD 和BC1所成角的大小为3 .21.设 SA 与平面

14、BED 所成角为a,2 2| 3a + a |_ i:3 + 1a 3+ 1a2n即 SA 与平面 BED 所成的角为-.619.解a a=AB=( 1,1,2) ( 2,0,2) = (1,1,0),b b= AC=(3,0,4)(2,0,2)=(1,0,2).a a b b 1+0+VT0(1)COS9=丽厂 2X. 5=而， a a 与 b b 的夹角9的余弦值为一共(2)ka a + b b= (k, k,0) + ( 1,0,2) = (k 1, k,2), ka a 2b b= (k, k,0) ( 2,0,4) = (k+ 2, k, 4), (k 1, k,2) (k+ 2,

15、k, 4)=(k 1)(k+ 2) + k2 8 = 0.即 2k2+ k 10= 0,. k =5或 k= 2.20.解以 O 为坐标原点，射线 OB, OA, OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示 的空间直角坐标系Oxyz.设 B(1,0,0)，贝 U C( 1,0,0) , A(0,1,0) , S(0,0,1) , SC 的中点M-2,0,1.故MO=g, 0, 2:-MA=(2, 1, 2 j,SC= ( 1,0, 1)，所以MC8C=0,|MASC=0.即 MO 丄 SC, MA 丄 SC.故iM。MA为二面角 A sc B 的平面角.cosMO,MA即二面角

16、 ASC B 的余弦值为贝Usina=点 B 到平面 PCD 的距离为誓.522. (1)证明连结 BD，设 AC 交 标原点，OBOC3资别为 x 轴、 所示.(1)证明如图，以 A 为原点， 间直角坐标系，则依题意可知C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2). PD=(4,0， 2)，CD=(0， 2,0)，PA= (0,0， 2).设平面 PDC 的一个法向量为 n n = (x，y,1)，F.rrCD =0%cAD、AB、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、A(0,0,0)，B(0,2,0),z 轴建立空4x 2= 0y= 01x= 2，口 0 J0，1丿/ PA 丄平

17、面 ABCD， PA 丄 AB，又 AB 丄 AD，PAAAD = A， AB 丄平面PAD.平面 PAD 的法向量为AB=(0,2,0).Tn nAB=0， n n _L_LAB平面 PDC 丄平面 PAD.所以平面 PCD 的一个法向量为(2)解 由(1)知平面 PCD 的一个单位法向量为 谕4, 0, 0，0,晋=誓，_62 a.(曇2a，设底面边长为 a，则高 SO=于是 S(0,0，26a)，DB,0, 0，BD 于点 O,由题意知 SO 丄平面 ABCD ,y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系以 O 点为坐Oxyz 如图张 0，孑 a, 0 ,SD -#a, 0,一吕, OCSD= 0. OCXSD，即 AC 丄 SD.解 由题意知，平面 FAC 的一个