《双曲线及其标准方程》的教学设计

1、双曲线及其标准方程的教学设计 秦 小 芹 （贵州省绥阳县旺草中学）一、素质教育目标：（一）、知识教学点使学生掌握双曲线的定义和有关的概念，理解双曲线的标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。（二）、能力训练点通过与椭圆类比，使学生掌握双曲线的定义及标准方程，培养学生分析、归纳和知识迁移的能力；通过双曲线标准方程的推导，进一步掌握利用坐标求曲线方程的方法和熟练含有两个根式的等式化简问题，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力；掌握由已知条件求双曲线标准方程。（三）、德育渗透点 充分发挥类比的作用，着重对比两者的相同点与不同点，理解并掌握它们的区别与联系。（四）、美育渗透点通过画双曲线的图形

2、让学生感知几何图形的曲线美；求双曲线过程中，建立适当的坐标系是为了追求数学表达式的简洁美；而巧妙引入2是为了追求方程形式的对称美；这一过程我们将“复杂的曲线”通过建立适当的坐标系得到了“简单的曲线方程”，其间学生无处不感受到数学的奇异美。二、教学重点、难点、难点及解决办法重 点：双曲线的定义及标准方程解决办法：通过演示得出双曲线，再设问给出双曲线的定义，通过比较加深对双曲线的定义的与标准方程的认识。难 点：双曲线标准方程的推导解决办法：引导学生与椭圆标准方程的推到导类比来完成；转化解题途径，尽量避免繁琐的运算。难 点：双曲线的定义中“距离的差的绝对值为常数”的理解。解决办法：分析各种情况，并强

3、调：定义中 ，0 常数F1F2，当常数=F1F2时，轨迹是两条射线，当常数F1F2时，轨迹不存在。若去掉定义中的“绝对值”则表示双曲线的一支。三、教学方法与教学手段：引导发现法；类比教学法；讲练结合法。四、教学过程设计说明： （一）课题导入：（1）回顾旧知：（提问）椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数 ()的动点轨迹是椭圆,。（即 动点的轨迹是以、为焦点的椭圆）椭圆的标准方程：a2=2+2（0） 焦点在轴上，其焦点F1（，0）、F2（，0）（0）焦点在 轴上，其焦点F1（0，）、F2（0，）二元二次方程2+2=1中、满足 条件时，方程表示的曲线椭圆。（0，0，）问题：动点M到两

4、定点的距离差为常数,这个动点的轨迹是怎样的曲线呢?它的方程是怎样的?引出本节课的教学内容：双曲线及其标准方程（设计说明：通过与椭圆的类比引入课题可以为本节双曲线定义及相关知识的学习提供了研究方向，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。）（2）演示实验（拉链作图） 上一节课的预习作业中布置学生用拉链在拉开的一部分选择两点（记为F1、F2）固定，把笔尖放在点M处，随着拉链的逐渐拉开或闭拢画出一条曲线，引导学生发现动点M到两个定点F1、F2的距离差是不变的。（设计说明：通过学生的动手操作，及我得具体的演示来激发学生学习的兴趣，使学生加深对曲线上的点的特征的认识，为下一步的学习做好铺垫。）（二）新课教学

5、1、双曲线的定义（板书）平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距数学简记：，动点的轨迹是为双曲线（数形结合，明确相关概念）（设计说明：由上面的导入分析要求学生先自己总结双曲线定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力。）提问：（深化定义）1、点M与定点F1、F2距离的差为定值的轨迹是否就是双曲线？（差的绝对值）2、这个常数是否会大于等于| F1F2|？（差的绝对值小于| F1F2|，同时分析“大于或等于”的轨迹）结合练习：设F1、F2为定点，| F1F2|=6，动

6、点M满足|MF2|MF1|=0，则动点M的轨迹_；（线段F1F2的中垂线）动点M满足|MF2|MF1|=3，则动点M的轨迹_；（双曲线的一支）动点M满足|MF2|MF1|=6，则动点M的轨迹_；（两条射线）动点M满足|MF2|MF1|=8，则动点M的轨迹_。（无轨迹）（设计说明：完成本节的重点内容后通过提出一些学生能够解决但常常不够清晰的问题，由问题的解决强调定义中的盲点也说明与椭圆的不同之处，这样也就加深对定义的理解。即时给出相关练习，巩固新知，从而突破了难点。）2、标准方程推导：仿照椭圆根据定义利用坐标法实现双曲线标准方程的推导。（引导学生阅读理解）在化简过程中注意说明：对含两个根式的等式

7、化简方法；得到方程后，可以提示学生与椭圆一样处理，令（并要向学生说明由于a<c，所以）得，即（，）（x型）这样确定了双曲线中a、b、c的关系，强调与椭圆的不同之处。引导学生直接通过对换坐标而得到（，）（y型）比较双曲线标准方程与椭圆的标准方程联系与区别。并思考问题：如何确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上？（引导学生从系数的正负去考虑。为了使学生对这一知识有更深刻的理解可以举一些双曲线方程让学生判断其焦点在哪个坐标轴上。） （设计说明：坐标法求曲线方程是解析几何的一个重要内容，进一步加强对学生进行坐标法的训练，以提高学生运用坐标法解决几何问题的能力；由学生来化简培养了学生的基本运算能力；边化简

8、边指出注意点、突破难点。充分体现学以致用原则）3、例题讲解：（板书）例1： 证明：椭圆与双曲线的焦点相同。分析探求：只要求出椭圆与双曲线的焦点即可。证明：（略）反思：方程2-2=1中、满足 条件时，方程表示的曲线的双曲线。（0）（设计说明：通过此例，让学生会把表示双曲线的二元二次方程转化为其标准方程；也让学生掌握椭圆与双曲线的标准方程中，的关系的不同。）例2：已知双曲线上一点P到两焦点、的距离的差的绝对值为6，求双曲线的标准方程简解：设所求双曲线有标准方程为：（），又 ，所以所求双曲线的标准方程为：（设计说明：本例题，是清楚轨迹类型的题目，可以根据题意设出双曲线的标准方程，直接根据定义求出a、b的值；通过例题，使学生巩固概念，初步具备解决相关问题的能力。）问题：把问题中的6改为12，结果会怎样？（三）、课堂练习课本P107108 练习 2 ，4（1）、（2）（设计说明：通过做练习，可以强化学生对本节课的掌握，体现学生的主体地位，课堂上锻炼学生的动手解决问题的能力，并叫学生上来板演，便于及时发现学生当中存在的问题而能够及时解决学生的疑点。）（四）、课堂小结：、内容小结：掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.、方法小结：数形结合，类比归