量子力学01一维无限深方势阱中粒子

1、1第一章第一章IV. 一维无限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱中的粒子态叠加原理态叠加原理一维谐振子一维谐振子方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射2O、简短回顾简短回顾一、一、一维无限深方势阱中的能量本征态一维无限深方势阱中的能量本征态二、二、态叠加原理态叠加原理三、三、一维谐振子一维谐振子射射四、四、方势垒的反射与透方势垒的反射与透五、五、正交、归一、完备系正交、归一、完备系3简短回顾（1）测不准关系，粒子的位置和动量不能同时被确定； 小， 就大，反之也然。每个力学量 对应一算符 ，平均值为粒子的波函数，满足薛定谔方程 ),(),(2),(22trtrVmtrtix*( , )( , )Fr

2、 t Fr t drFxpF4简短回顾（2）定态： 不显含t，能量 恒定定态方程 不显含t时的形式，是我们后面讨论大多数物理问题的情况，为方便，通常将略去 中的下标E。)()()(222rErrVmEE( , )( )exp(/ )Er triEtE( )V r( )Er( )V r5简短回顾（3）力学量算符力学量算符 动量算符动量算符 动能算符动能算符 哈密顿算符哈密顿算符 能量算符能量算符 角动量算符角动量算符22,2Tm lrpi r 2222222zyx22( )2HTVV rm ipEit6作业：论文 写一篇关于对波粒二像性的理解和看法的论文，题目可以自定，必须包含如下关键词： 1.

3、 波粒二像性，2. 互补原理，3.测不准关系。 字数：在3000左右 7一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(1) 1、势函数如果在 ，由能量本征方程， 有其解为 ，其中由边界条件 和 ，有 和 ，波函数为., 0,;0, 0)()(axxaxxVrV)(xVxa0ax 00)(2)(222xmExdxd)sin()(kxAx/2mEk 0)0(0)(a00)sin(ka)sin()()(xanAxxnnka , 3 , 2 , 1 n)0(ax 22( ) ( )( )2V rrErm 8一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(2

4、)2、能量量子化由 ， 和得到 ，这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化量子化的。 称为体系的能量本征值，与 对应的波函数 称为能量本征函数。 nka , 3 , 2 , 1 n/2mEk 22222manEEn, 3 , 2 , 1 nnEnEn9一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(3)3、归一化波函数、归一化波函数将波函数将波函数 进行归一化：进行归一化：即令即令 ，得到，得到归一化波函数为归一化波函数为)sin()(xanAxn)0(ax 1| )(|20dxxnaaA/2| , 3 , 2 , 1., 0, 0;0),sin(2)(naxxax

5、axnaxn10一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)在在 内，内， 有有 个节个节点点 ，在这些节点上，在这些节点上 ，说明粒子在这些节点，说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在它在 内任何一点都有可能出现。内任何一点都有可能出现。( )sin()nnxAxa1nnx()sin()0nnnnxAxaax 0ax 011一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)最低能量最低能量 经典粒子，可以有经典粒子，可以有 局域化越强，即局域化越强，即 越小，则越小，则 越大。越大。

6、 非均匀分布非均匀分布 正交性和完备性正交性和完备性022221maE0Ea1EnE2212(21)2nnnEEEnma( )nx*0amnmndx 1( )( )nnnxcx12二、态叠加原理（二、态叠加原理（1） 量子力学的基本假设为量子力学的基本假设为1、微观粒子的状态由波函数、微观粒子的状态由波函数 描写。描写。2、波函数的模方、波函数的模方 表示表示 t 时刻粒子出现时刻粒子出现在空间点在空间点(x,y,z)的概率。的概率。3、力学量用算符表示。、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定谔方程。、波函数的运动满足薛定谔方程。5、态叠加原理态叠加原理。),(tr2| ),(|tr13

7、二、态叠加原理（二、态叠加原理（2）粒子在势阱中可能的态和能量为粒子在势阱中可能的态和能量为但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一状态，而是以某种概率处于其中的某的某一状态，而是以某种概率处于其中的某一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即分立状态的叠加，即2sin(), 0;( )1,2,3,0,0,.nn xxaxnaaxxa22222manEEn)()(xcxnnn14二、态叠加原理（二、态叠加原理（3） 粒子的状态为，粒子的状态为， 其中，其中，更加抽象地说，任何一个量子态都可按任意更加抽

8、象地说，任何一个量子态都可按任意一组一组正交、归一、完备正交、归一、完备态分解态分解 。 , 3 , 2 , 1., 0, 0;0),sin(2)(naxxaxaxnaxn22222manEEn)()(xcxnnn的概率能量具有中发现粒子处于态表示在态nnnExxc),()(|2nnnc15量子力学的基本假设量子力学的基本假设1、量子态由波函数描写。、量子态由波函数描写。2、波函数的模方代表概率，即具有统计解释。、波函数的模方代表概率，即具有统计解释。3、力学量用算符表示。、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程。、波函数的运动满足薛定格方程。5、态叠加原理：量子态可按任意一组正交、

9、态叠加原理：量子态可按任意一组正交、归一、完备态分解归一、完备态分解。 16三、三、 一维谐振子一维谐振子(1)1、能量本征方程、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为粒子的势能可以表示为例如，双原子分子中两原子之间的势能例如，双原子分子中两原子之间的势能 一维谐振子的能量本征方程一维谐振子的能量本征方程 2)(2KxxV2)()(20axKVxVa)(xV0 x0)()21(2)(2222xEKxmxdxd，令mK，mx)/(21E0)(2

10、22dd得到17三、一维谐振子三、一维谐振子(2)2、能量本征方程的解、能量本征方程的解当当 时，时， 有有 其解其解能量本征方程的解可表示为能量本征方程的解可表示为其中，其中， 为待求函数，代入能量本征方程，有为待求函数，代入能量本征方程，有当当 时，要求时，要求 ，可以证明，只有，可以证明，只有当当 ，才有可能，此时，才有可能，此时(1)式的式的解为厄密多项式：解为厄密多项式： 0)(222dd,222dd2/2e)()(2/2uAe)(u) 1 (0) 1(222uddudud0)(., 2 , 1 , 0, 12 nn., 2 , 1 , 0,) 1()()(22 neddeHunnn

11、n18三、三、 一维谐振子一维谐振子(3)3、能量本征值、能量本征值因为因为 同时同时故故讨论讨论 (1)能级是均匀分布的；能级是均匀分布的； (2)相邻能级差相同：相邻能级差相同： ； (3)基态能量基态能量 ，称为零点能；，称为零点能； (4)谐振子吸收谐振子吸收 能量后，有可能从下能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出能级跃迁到上能级。相反，放出 能量后，能量后，有可能从上能级跃迁到下能级。有可能从上能级跃迁到下能级。)/(21E., 2 , 1 , 0, 12 nn., 2 , 1 , 0,)2/1( nnEEn012302/0E19三、一维谐振子三、一维谐振子(4)4、能量本

12、征态（、能量本征态（1）因为因为 ，其中，其中， 要根据要根据 的归一化条件确定，即的归一化条件确定，即由于由于得到得到能量本征态能量本征态正交归一化正交归一化)()(2/2HAe., 2 , 1 , 0,) 1()(22 neddeHnnnnmnnnmndeHH!2)()(2nmnmmn, 0, 1A)(1)(|)()(222*deHAdn21)!2/(naAAnnma 2 2/2( )( )()a xnnnA eHax mnnmdxxx)()(20三、一维谐振子三、一维谐振子(5)4、能量本征态（、能量本征态（2）最低三条能级上的波函数为最低三条能级上的波函数为2/0E2/31E2/52E

13、2/4/1022)(xaeax2/4/11222)(xaaxeax2/224/1222) 12(21)(xaexaax2| )(|xn012n0 x21四四、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(1)经典粒子经典粒子 有三种情况：有三种情况：微观粒子微观粒子21( )2mvEV x., 0, 0;0,)(0axxaxVxVEa00V22( ) ( )( )2V rrErm 能量本征方程000(1); (2); (3)E VE VEV22四四、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(2)其解为其解为粒子流密度粒子流密度反射系数反射系数 ，透射系数，透射系数0,( )0 xxaV x1）在，有222

14、( )( )02dxkxkmEdx故有，这里.,0,Re)()(axTexexxikxikxikx透反入外ikxTeikxeikxRea00Vmvkpmitrj以及)(2),(*/;jk mv入2|R| ;jv反vTj2| 透2|R|/入反jj2|T|/入透jj)()()(222rErrVm方程23四四、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(3)解解00( )xaV xV2）在，20222()0dmEVdx2202 () /m EV这里( )( )i xi xxxAeBe内ikxeikxRea00VikxTe)0()0(内外( )( )aa内外)0()0(内外dxddxd( )( )ddaad

15、xdx内外1RAB(1)()ikRiABi ai aikaAeBeTe()aaikaiAeBeikTe24四四、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(4)解代数方程，得到解代数方程，得到对对 情形：情形：2222()sin()()sin()2cos()kaRkaika222()sin()2cos()ikak eTikaika0E V200,2 () /m VE2sin()sin()sin (), cos()cos ()ai aihaaha2222()sinh()()sinh()2cosh()kaRkaika222()sinh()2cosh()ikak eTikaika25四四、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(5)势垒贯穿情形：势垒贯穿情形： 几率守恒几率守恒1|22 TR0E V2222222224| |() sin ()4kTkak22222222222() sin ()|R|() sin ()4kakak02,2 ()kmEm EV这里26四四、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(6)隧穿效应：隧穿效应： 222222222()sin()|()sin()4khaRkhak22|1RT222222224|()sin()4kTkhakikxTeikxikxe Re0Va0入射波反射波透射波0E V02 ()m VE27四四、方势垒的