中考总复习专题二次函数与相似的结合

1、二次函数与相似的结合题型一：动点在线段上如图，平面直角坐标系中，已知，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、两点，二次函数的图像经过点、点；（1）求这个二次函数的解析式；（2）点是该二次函数图像的顶点，求的面积；（3）如果点在线段上，且与相似，求点的坐标；如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为；（1）求、的值；（2）求的值；（3）若点是线段上一个动点，联结；问是否存在点，使得以点、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；如图，已知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），顶点为B. 点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点

2、E.（1） 求抛物线的表达式及点E的坐标；（2） 联结AB，求B的正切值；xyABECO（第24题图）（3） 点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当CGM与ABE相似时，求点M的坐标. 【参考答案】24（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）抛物线的对称轴为直线x=1，.抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），.抛物线的表达式为.（2分）顶点B（1，-2）.（1分）点C（5，m）在抛物线上，. C点坐标为（5，6）. 设直线BC的表达式为y=kx+b（k0），则，即BC的表达式为y=2x-4. E（2,0）.（1分）（

3、2）作CHx轴，垂足为H，作BPx轴，垂足为P，C（5，6），A（-1，0），CH=6=AH. CAH=45°.B（1，-2），A（-1，0），BP=2=AP.BAP=45°.CAB=90°. （1分）CH=6=AH，CHx轴，BP=2=AP，BPx轴，（2分）（3）CAB=90°，B+ACB=90°.GMBC，CGM+ACB=90°.CGM=B. （1分）CGM与ABE相似，BAE=CMG或BAE=MCG.情况1：当BAE=CMG时，BAE=45°，CMG=45°. GMBC，MCE=45°.MCE=E

4、AB.AEB=CEM，ABECME. （1分）.即.EM=5. M（7，0）. （1分）情况2：当BAE=MCG时，BAE=CAM，MCG=CAM.MC=MA. （1分）设M（x，0），C（5，6），A（-1，0），x=5.M（5，0）. （1分）题型二：动点在线段的延长线上如图7，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，且,点是抛物线的顶点，直线和交于点。（1） 求点的坐标；（2） 联结，求的余切值；（3） 设点在线段延长线上，如果和相似，求点的坐标。【答案】（1）（2）3（3）【解析】（1）抛物线与轴的交于点和点（点在点的左侧） ，与轴交于点，,且,（2） (3)由，可得,在

5、AOC和BCD中， ,，又;当相似时，可知;又点在线段的延长线上，,可得;由题意，得直线的表达式为;设.,解得（舍去）点M的坐标是题型三：动点在对称轴上如图，抛物线经过点,，为抛物线的顶点。（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）点关于抛物线的对称点为点，联结，求的正切值；（3）点是抛物线对称轴上一点，且和相似，求点的坐标。【答案】（1）；（2）（3） 或【解析】（1）抛物线经过点, 可解得 顶点坐标 （2）过点作垂直于交于点 点与点关于对称轴对称 ,平行于轴 , 在等腰直角三角形中, 在直角三角形中, 的正切值为 （3） 设抛物线对称轴交轴与点 在直角三角形中，, , 点在点的下方 当与相似

6、时，有下列两种情况： 当 时，即 可解得 当 时，即 可解得 综上所述： 或2）动点在平移后的对称轴上在平面直角坐标系中，点是抛物线上的一点，将此抛物线向下平移个单位以后经过点，平移后的新抛物线的顶点记为，新抛物线的对称轴和线段的交点记为。（1） 求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点C的坐标；（2） 求的正切值；（3） 如果点是新抛物线对称轴上的一点，且和相似，试求点的坐标。【答案】（1）；（2）（3）或【解析】（1）点是抛物线上的一点，代入得：又抛物线向下平移个单位以后经过点，平移后的抛物线解析式为：。代入得：，由得：平移后得到的新抛物线的表达式：，顶点（2） 、，易得由勾股定理逆定理得

7、是直角三角形，（3） 设抛物线对称轴与轴相交于点，易得，点只能在对称轴点的下方，和相似，有以下两种情况：，综上，或题型四：动点在某直线上yAOCBx（第24题图）如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴（1）求这条抛物线的解析式；（2）求的值；（3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当与相似时，求点E的坐标【参考答案】24解：（1）抛物线经过点和点1分解得2分这条抛物线的解析式为1分（2）过点作，垂足为，又是等腰直角三角形1分，点也在该抛物线上过点作，垂足为点1分又在Rt中，1分在Rt中，1分（3）过点D作，垂足为点是抛物线的顶点1分又是等腰直角三角形又1分当CDE与ABC相似

8、时，存在以下两种情况：1分1分题型五：动点在轴上如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小；（3）如果点在轴上，且与相似，求点的坐标图92017年青浦一模24】已知，如图8，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点和点，与轴交于点，且，点是第一象限内的点，联结，是以为斜边的等腰直角三角形.（1） 求这个抛物线的表达式；（2） 求点的坐标；（3） 点在轴上，若以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，求点的坐标.【答案】（1）（2）（3）点坐标为或【解析】（1）由题意可得代入得（2） 过点作为等腰直角三角形可证四边

9、形为正方形,解得在第一象限内（3） ，可得为等腰直角三角形，则点在轴左侧i.，ii.若点在轴右侧，不存在综上所述：点坐标为或在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交点和点,与轴相交于点,抛物线的顶点为点，联结,。（1） 求这条抛物线的表达式及顶点的坐标；（2） 求证：（3） 如果点在轴上，且在点的右侧，,求点的坐标。【答案】（1）；（2）略（3）【解析】(1)抛物线过点A()和点, 将两点坐标代入解析式可得: 可解得 根据顶点公式可得 （2） 代入到求得，所以有可以求得：,在和中，有,（3） 在OC上取一点F使得OF=OA，由（2）得B(3,0)，C(0,3)，OB=OC，OBC=45°，

10、CBE=135°OA=OF，AFO=45°，AFC=135°，AFC=CBE，又BCE=ACO，AFCBCE,题型六：动点在抛物线上如图1，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1【解析】（1）将M(2, 2)代入，得解得m4（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC

11、设点F的坐标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解图2 图3 图4如图4，作CBF45°交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得综合、，符合题意的m为2）动点在直线下方的抛物线24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的任意一点；（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结、，并将沿轴对折，得到四边形，如果四边形为菱形，求点的坐标；（3）如果点在运动过程中，能使得以、为顶点

12、的三角形与相似，请求出此时点的坐标；【正确答案】3） 动点在直线上方的抛物线如图11所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似图11CPByA若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由【解析:】（1）令，得 解得令，得 A B C （2分）（2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= P点P在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） PE=4分）四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=6分）(3) 假设存在PAB=BAC = PAACMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=GM第28题图2CByPA在RtPAE中，AE=PE= AP= 7分） 设M点的横坐标为，则M