高考第一轮复习——直线及圆锥曲线的位置关系-31

1、年 级高三学 科数学版 本通用版课程标题高考第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系编稿老师孙洪成一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点扫描高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查在选择题、填空题、解答题中均有出现，直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查的重点之一，往往是试卷的“重头戏”，每年的高考分值在20分左右。这类问题常涉及圆锥曲线的性质、直线的基本知识，以及线段的中点、弦长、垂直、参数范围等问题。因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理综合解决。这样就加强了对数学各种能力的考查。二、重难点提示1. 重点：直线与圆锥曲线位置关系问题、相交弦长、中点弦问题及参数范围问题。2. 难点：直

2、线与圆锥曲线的综合应用。一、知识脉络二、知识点拨 对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求法”，常结合韦达定理. 解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法. 直线与圆锥曲线相交的弦长计算：（1）连结圆锥曲线上两点的线段

3、称为圆锥曲线的弦（2）易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；（3）一般情况下，解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组，得到关于（或）的一元二次方程，利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式：.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率） 涉及垂直关系问题，一般利用斜率公式及韦达定理求解，设、，是直线与圆锥曲线的两个交点，为坐标原点，则， 解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算.随堂练习：直线y=kx+1与双曲线x2y2=1有且仅有一个公共点，则k的取值

4、为（ ）A. 一切实数 B. C. D. 解：把直线y=kx+1代入双曲线x2y2=1中，消y，得（1k2）x22kx2=0当1k2=0，即k=±1时，直线与双曲线相交，有一个交点当1k20，=0，即4k2+8（1k2）=0，时，直线与双曲线相切，有一个交点k的值为±1，故选B夯实基础例题1 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过Q点的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路导航：判断直线与圆锥曲线的位置关系时，可通过方程组的解的个数来判断。先求出Q点坐标，根据Q点坐标，设出直线l的方程，与抛物线方程联立，若直线l与抛物线有

5、公共点，则方程中0，解关于k的不等式即可答案：由已知抛物线的准线为：x=2Q（2，0）显然直线l斜率存在设l：y=k（x+2）联立抛物线方程有：化简得：k2x2+（4k28）x+4k2=0当k2=0即k=0时：此时方程为：8x=0交点为（0，0）l：y=0符合当k20时：=（4k28）24k24k20 1k11k0或0k1综上可知：1k1点评：本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题例题2 设过点（1，0）的直线l与抛物线y24x交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F.求：（1）直线l的方程；（2）|AB|

6、的长思路导航：（1）要注意讨论斜率k是否为0. （2）利用弦长公式答案：（1）设l：yk（x1），抛物线的焦点F（1，0），当k0时，l与x轴重合，不合题意，所以k0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，x1x21.因为AFBF，所以·0（或用kAF·kBF1），又（1x1，y1），（1x2，y2），得（k21）x1x2（k21）（x1x2）k210代入得k±，所以l：y±（x1）（2）由（1）得x1x26，x1x21，|AB|4，所以弦AB的长为4.点评：求直线被二次曲线截得的弦长，通常是将直线与二次曲线方程的联立，得到关于x（或y）的一

7、元二次方程，然后利用韦达定理及弦长公式求解例题3 已知椭圆.（）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程;（）过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程；（）求过点且被点平分的弦所在直线的方程.思路导航：将圆锥曲线上、两点的坐标代入圆锥曲线的方程，然后将两式作差并进行变形，可得到弦的斜率与弦中点的坐标之间的关系式.此关系式可用于解决如下问题：（1）以定点为中点的弦的方程；（2）平行弦中点的轨迹；（3）过定点的弦的中点的轨迹。答案：设弦的两端点为，中点为，则有.由，两式作差得：，.即. （）设弦中点为，由式，.故所求的轨迹方程为（在已知椭圆的内部）. （）不妨设交椭圆于、两点，弦中点为。由式，又，

8、。整理得（夹在椭圆内部分）此即所求的轨迹方程. （）由式，弦所在的直线的斜率，故其方程为，即.点评：（1）“解方程组”与“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与重要技巧.（2）“解方程组”是处理直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法，它也可用来解决“中点与对称”问题，但运算较繁，“点差法”则显得简捷、灵活.（3）在控制直线与圆锥曲线相交时，“点差法”用的条件是“中点在曲线内部”，“解方程组”用的条件是“”.厚积薄发例题1 已知椭圆焦点在x轴上，长轴长，焦距，过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M、N两点。设MF1F2，0，问取何值时，等于椭圆的短轴长？思路导航：以椭圆的中心为原点，F1F2

9、所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为 MN所在直线方程为（其中k=tan），联立方程组后由题设条件能够推导出的取值答案：如图所示，建立直角坐标系，则a3，c2，b1，由此椭圆方程为y21，又知道F1的坐标为（2，0），可以设过F1的直线方程为yk（x2）代入整理可以得到（19k2）x236k2x72k290.设M（x1，y1），N（x2，y2），则·，整理得MN，令MN2，即2，解得k±，即可得tan±，也就是说或.点评：（1）建立坐标系，利用解析法解决此类问题是解题的关键.（2）将求角的问题转化成求斜率k，这是转化思想的体现.（3）利用

10、弦长公式构建方程是常用的方法。例题2 已知双曲线C：2x2y22与点P（1，2），（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在思路导航：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k（x1），代入C的方程，并整理得（2k2）x2+2（k22k）xk2+4k6=0，然后进行分类讨论，把直线与双曲线交点个数的问题归结为方程组的解的问题进行求解（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12y12=2，

11、2x22y22=2，两式相减得2（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2），再由点差法进行求解答案：当l垂直于x轴时，此时直线与双曲线相切当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y2k（x1），代入双曲线C的方程中，并整理得：（2k2）x22（k22k）xk24k60.（*）当k22，即k±时（*）为一次方程，显然只有一解；当k22时，4（k22k）24（2k2）（k24k6）4832k.令0，可解得k；令0，即4832k0，此时k；令0，即4832k0，此时k.所以当k±或k或k不存在时，l与C只有一个公共（交）点；当k或k或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C

12、没有交点（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12y12=2，2x22y22=2，两式相减得2（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2）又x1+x2=2，y1+y2=2，2（x1x2）=y1y1  ，但渐近线斜率为结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在点评：第一问判断直线与圆锥曲线的位置关系时，将直线l代入曲线C的方程，消去一个字母（如y）得到一个关于x的一元二次方程，则（1）当a0时，则有0，l与C相交；当=0时，l与C相切；当0时，l与C相离.（2）当a=0时，得到一个一元一次主程，

13、则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴。需要注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时，直线与双曲线或抛物线可能相切也或能相交。第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法“点差法”，涉及弦长的中点问题常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化具体涉及二次方程的根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式易错点：第一问，求二次方程的根的个数，忽略了二次项系数的讨论第二问，算得以Q为中点的弦的斜率为2时，就认为所求直线存在了例题3 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围

14、.答案：解法一：（对称曲线相交法）曲线关于直线对称的曲线方程为 如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线与必有不在直线上的两个不同的交点（如图所示），从而可由代入得有两个不同的解， 解法二：（对称点法）设抛物线上存在异于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上.则必有两组解（1）（2）得必有两个不同的解，有解从而有，有两个不等的实数解即有两个不等的实数解，解法三：（点差法）设抛物线上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点，是抛物线（即）内的点。从而有。由（1）（2）得由从而有点评：（1）“解方程组”与“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与重要技巧.（2）“解方程组”是处

15、理直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法，它也可用来解决“中点与对称”问题，但运算较繁，“点差法”则显得简捷、灵活.（3）在控制直线与圆锥曲线相交时，“点差法”用的条件是“中点在曲线内部”，“解方程组”用的条件是“”.例题4：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21（如图所示），斜率为k（k>0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D（3，m）（1）求m2k2的最小值；（2）若|OG|2|OD|·|OE|，（）求证：直线l过定点；（）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由思

16、路导航：第一问只要根据O，E，D三点共线即可建立m与点E的坐标（）的关系，只要根据A，B在椭圆上以及E为其中点，即可建立直线的斜率k与点E的坐标（）的关系，即可根据基本不等式求出的最小值；利用第一问的结果可得mk=1，使用这个关系和已知的线段比例关系，可得k与t的关系，从而确定直线L的方程并证明其过定点；第二个小问题在假设可能的情况下进行推理.答案：（1）设直线l的方程为ykxt（k>0），由题意，t>0.由方程组得（3k21）x26ktx3t230.由题意>0，所以3k21>t2.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得x1x2，所以y1y2.由于E为

17、线段AB的中点，因此xE，yE，此时kOE.所以OE所在直线的方程为yx，又由题设知D（3，m），令x3，得m，即mk1.所以m2k22mk2，当且仅当mk1时上式等号成立，此时由>0得0<t<2，因此当mk1且0<t<2时，m2k2取的最小值2.（2）（）证明：由（1）知OD所在直线的方程为yx，将其代入椭圆C的方程，并由k>0，解得G（，）又E（，），D（3，），由距离公式及t>0得|OG|2（）2（）2，|OD|，|OE|，由|OG|2|OD|·|OE|得tk，因此直线l 的方程为yk（x1），所以直线l恒过定点（1，0）（）由（）得G

18、（，），若B，G关于x轴对称，则B（，）代入yk（x1）整理得3k21k，即6k47k210，解得k2（舍去）或k21，所以k1.此时B（，），G（，）关于x轴对称又由（1）得x10，y11，所以A（0，1）由于ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设ABG的外接圆的圆心为（d，0），因此d21（d）2，解得d，故ABG的外接圆的半径为r.所以ABG的外接圆的方程为（x）2y2.点评：解答本题时，有三点容易造成失分，一是求m2k2的最小值时，不会利用条件建立m，k的等量关系，寻求基本不等式求最值的条件二是探索直线l过定点时，想不到l的方程中允许有参数，利用点斜式方程的思想去寻求定点，三是利用B、G关

19、于x轴对称确定斜率k后，不会确定ABG的外接圆的圆心坐标，从而无法完成解答在高考中经常将直线与椭圆作为解析几何题的载体，以联立方程法利用韦达定理处理弦长和中点为重点，以求某个量的值或取值范围为目标来设计试题.本题中的“存在性问题”，我们一般采用“假设验证法”或“假设检验法”来解决.（高考陕西卷文科）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。思路分析：考点解剖：本小题主要考查轨迹方程及直线与圆锥曲线的相关知识，考查解决平面解析几何题目的思想方法及推理运算能力.解题思路：（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，

20、也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解解：（）将（0，4）代入C的方程得 b=4又 得 即 C的方程为（）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，将直线方程代入的方程，得，即，解得，AB的中点坐标，即所截线段的中点坐标为.注：用韦达定理正确求得结果，同样给分规律总结：在高考中经常将直线与椭圆作为解析几何题的载体，以联立方程法利用韦达定理处理弦长和中点为重点，以求某个量的值或取值范围为目标来设计试题.有关直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过探究总结，有以下易错易漏点：（1）求解直线与圆锥曲线的位置关系问题时，忽视

21、判别式的作用；（2）未能充分发挥数形结合的作用，导致繁杂的计算和低效的解题；（3）对于综合问题有畏难情绪，解题的步骤不规范、不完整造成丢分。一、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若>0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若<0，则直线与椭圆相离.（2）直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y（或x），得到一个一元二次方程ax2bxc0（或ay2byc0）.若a0，当>0时，直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线相切；当<0时，直线与双曲线相离.

22、若a0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.（3）直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y（或x），得到一个一元二次方程ax2bxc0（或ay2byc0）.当a0时，用判定，方法同上.当a0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.二、有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.（1）斜率为k的直线与圆锥曲线交于P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，则所得弦长P1P2|x2x1|或P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2

23、x1|，|y2y1|.（2）当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间距离公式）.三、弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.四、求参数范围求参数范围的关键是建立不等关系：1. 利用圆锥曲线的定义。如离心率的范围。2. 利用点在圆锥曲线内（外）的充要条件。如点在椭圆内可列式为3. 利用圆锥线上点坐标的范围。如点在椭圆上，可列式为.4. 利用二次主程有解的条件。如可借助一元二次主程的判别式及根的分布来构造含参变量的不等式，从而求出参变量的范围。5. 转化为函数的值域或最值。高考第一轮复习解析几何中的轨迹、最值与定值问题一、预习新知1. 圆锥曲线中

24、解最值问题的方法有哪些？2. 解动点轨迹方程的问题的方法有哪些？二、双基自测1. M（2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：求点P的轨迹方程；解：由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线，因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，所以双曲线的方程为.2. 椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ） A. 3 B. C. D. 解析：设椭圆上的点P（4cos，2sin），则点P到直线的距离d=，选D3. 已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点， P是该椭圆上的一个动点， 则|PF1|·|PF2|的最大值是 解析：由焦半径公式|PF1|=，|PF2

25、|=|PF1|·|PF2|=（）（）=则|PF1|·|PF2|的最大值是=4.（答题时间：60分钟）1. 直线y=x1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （5，2）2. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且和轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）. A. B. C. D. 3. 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？（ ）. 且 . 或. 或<a< . 4. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则

26、这样的直线有（ ）条 A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在5. 如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是 （ ） A. B. C. D. 6. 过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于（ ） A. 2a B. C. D. 8. 抛物线y=ax2与直线y=kx+b（k0）交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有（ ）A. x3=x1+x2B. x1x

27、2=x1x3+x2x3C. x1+x2+x3=0D. x1x2+x2x3+x3x1=09. 已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）当时，则直线PQ的斜率为（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 10. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，又点在椭圆上.已知直线的方向向量为，若直线与椭圆交于、两点，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 111. 已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.12. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线

28、与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围.13. 如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1，y1），N（x2， y2）两点（1）写出直线的方程；（2）求x1x2与y1y2的值；（3）求证：OMON14. 已知椭圆过点，且离心率。（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。15. 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是（）求双曲线的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围1. A 解

29、析：设直线y=x1与抛物线y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2），其中点为P（x0，y0）。由题意得，（x1）2=4x，x26x+1=0。x0=3，y0=x01=2，P（3，2）2. B 解析：抛物线的焦点F的坐标为，则直线的方程为，它与轴的交点为A，所以OAF的面积为，解得.所以抛物线方程为，故选B. 3. C 解析：把代入整理得：当时，。由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或故当或<a<时，A、B两点在双曲线的同一支上点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条4. B 解析：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合。故设直线AB的斜率为k，则直线AB为代入抛物线得，A、B两点的横坐标之和等于5，则这样的直线有且仅有两条5. D 解析：用“点差法”：这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则 两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=故这条弦所在的直线方程为y2=（x4）6. C 解析：若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，当