单频率谐波离散频谱误差的理论分析与研究

1、讲座1-2二、单频率谐波离散频谱误差的理论分析与研究1单频率谐波离散频谱误差的理论分析加窗信号的傅氏变换为：(2.1.1)其中，由对称窗在时间上平移得到，即：(2.1.2)设的傅氏变换为图2.1.1(a)：(2.1.3)根据傅氏变换的奇偶性质，当是实偶函数时，也为实偶函数。又由傅氏变换的时移特性可知图2.1.1(b)：(2.1.4)设有一周期信号，其傅氏变换结果为（图2.1.1(c)）(2.1.5)加窗后的谐波信号的傅氏变换可根据卷积性质表示为图2.1.1(d)：(2.1.6)(“*"表示卷积)由此可知，在加窗信号的傅氏分析中，对窗长度作归一化处理，则，且令，此时的单边幅值及相位分别

2、为：(2.1.7)(2.1.8)显然，当时，不存在泄漏情况，得到的幅值、相位和频率都是准确无误差的。而在大多数情况下，当时，加窗信号的傅氏分析中得到的频率、幅值和相位并不是真实值，且有旁瓣产生，这就是所谓的离散频谱的栅栏效应、梳状效应、能量泄漏和假频等(见图2.1.1)，显然当信号真实频率位于两个离散谱线之间时，即时误差最大。图2.1.1 单频率谐波离散频谱的误差产生原因2窗函数与泄漏能量泄漏与窗函数频谱的旁瓣密切相关，如果使旁瓣的高度趋于零，从而使能量相对集中在主瓣，我们就可以得到较为接近于真实的频谱，为此，我们常在时间域内采用不同的窗函数来截断信号。对窗函数的基本要求是：时域为改善截断处的

3、不连续状态（由于吉布斯现象而产生的振荡）；频域为窗谱的主瓣窄而高，以提高分辨率，旁瓣幅值应小，正负交替接近相等，以减小泄漏和假频。因此，在选择窗函数时，应考虑被分析信号的性质与处理要求，如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选择用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。图2.2.1 加矩形窗后的频谱抽样、旁瓣和主瓣 （1）矩形窗：时域截断相当于加一个矩形窗，图2.2.1是加矩形窗后的频谱。 加矩形窗的特点：周期性信号的单频率成分信号

4、变成有一定宽度的型函数。 (1) 真实频率对正谱线时，主瓣抽样对准中心点，其两旁抽样点幅值为零，此时没有能量泄漏； (2) 绝大多数情况下，真实频率不对正谱线时为主瓣内抽样，不能对准中心点，造成离散频谱分析的频率、幅值和相位产生误差，幅值降低，其两旁抽样点幅值不为零，此时有能量泄漏； (3) 主瓣宽度2f(两个谱线间隔)； (4) 旁瓣频谱泄漏：一根谱线变成了二条谱线及旁瓣。 缺点：能量泄漏； 对多频率时各频率的旁瓣与旁瓣或旁瓣与主瓣影响很大。希望采用各种措施减小旁瓣高度，使主瓣抽样时频率、幅值和相位误差尽可能小。 对于长度为T的矩形窗函数可解析表示为(2.2.1) 其傅立叶变换为：(2.2.

5、2)图2.2.2 矩形窗的时域信号与窗谱模函数 离散矩形窗的傅立叶变换：(2.2.3) 由此可以看出： (1).主瓣宽度等于两条谱线间隔。 (2).某一谱线对正主瓣中心，则其余谱线对零点，此时无泄漏，这时相当于时域整周期截断。(3).最大误差在处，最大误差1-0.637=0.363=36.3。 为降低旁瓣，要考虑加其它窗函数，如汉宁窗(Hanning)、海明窗(Hammming) 和凯泽贝塞尔窗。（2）汉宁窗(Hanning)与海明窗(Hammming)(2.2.4)其中：核函数。其模函数为：(2.2.5) a=0.5为汉宁窗(Hanning)，图2.2.3(a)为其时域图形。 a=0.54为

6、海明窗(Hamming)，图2.2.3(b)为其时域图形。图2.2.3(c)，(d)分别为其模函数图，从图中可看出：(1).主瓣宽度等于四条谱线间隔。 (2).某一谱线对正主瓣中心，其幅值为a，左右相临两点幅值为(1-a)/2，其余谱线对零点，此时无泄漏，这时相当于时域整周期截断，但是峰值频率处幅值下降，需要乘一大于1 的系数恢复原值，幅值谱恢复系数加汉宁窗( Hanning) 时为1/0.5，加海明窗(Hamming)时为1/0.54。 (3).最大误差在处，(2.2.6) 加汉宁窗最大误差1-0.849=0.151=15.1 加海明窗最大误差1-0.817=0.183=18.3图2.2.3

7、 汉宁窗和海明窗 （3）三种窗的旁瓣比较(归一化对数谱) 加窗的主要目的是为了减小旁瓣(旁瓣与主瓣中心的比值)，减小频率对不准频线时的误差。图2.2.4是加矩形窗、汉宁窗和海明窗旁瓣比较(归一化对数谱)。 矩形窗的第一旁瓣很高，只衰减了13dB，旁瓣的倍频程下降率很低，为6dB/OCT；汉宁窗的第一旁瓣很低，衰减了31dB，旁瓣的倍频程下降率最高，为31dB/OCT；海明窗的第一旁瓣最低，衰减了43dB，旁瓣的倍频程下降率很低，为6dB/OCT。综合考虑第一旁瓣的大小和旁瓣的倍频程下降的快慢，汉宁窗具有较好的特性，几乎所有的动态信号分析仪器，不论是硬件化的仪器，还是软件化的系统，都提供了汉宁窗

8、。 （4） 加窗后的恢复系数图2.2.4 加矩形窗、汉宁窗和海明窗旁瓣比较(归一化对数谱) 加窗后的恢复系数一般遵守两个原则之一：幅值相等或能量相等的原则。幅值相等的原则是加窗后的恢复系数应遵守峰值频率处幅值与时域相等的原则；能量相等的原则是加窗后的恢复系数应遵守峰值频率处能量与时域能量相等的原则： (2.2.7)令x(t)=1，就得到了加函数w(t)窗的恢复系数，显然对于矩形窗。 不同的原则恢复系数是不同的，表2.2.1是常用的七种窗函数的数学表达式、幅值相等恢复系数和能量相等恢复系数。根据不同的用途采用不同的恢复系数，在进行倍频程和1/3倍频程分析时，一定要采用能量相等的恢复系数，以使频带

9、内总能量不变。而进行谱分析时，更关心的是各频率的幅值，此时只能采用幅值相等的恢复系数。图2.2.5是常用的七种窗函数的时域图形，都是中点对称的，适合用于分析稳态时域信号场合，而不适合分析瞬态冲击激励时的力信号和衰减响应信号。 表2.2.1 常用的七种窗函数的数学表达式、幅值相等恢复系数和功率相等恢复系数 窗函数 数学表达式 幅值相等 功率相等 n=1,2,3,N 恢复系数 恢复系数 矩形窗 1 1 汉宁窗 2 1.633 海明窗 1.852 1.586 高斯窗 2.396 1.840 指数窗 1.270 1.258 凯泽-贝塞尔窗 2.480 1.854 平顶窗 1.110 1.069表中：

10、3对单频率谐波信号加三种典型窗函数进行离散频谱分析时误差分析 （1）频率误差分析：当信号真实频率位于两个离散谱线之间时，即时误差最大，频率最大误差为；当信号真实频率与某个离散谱线重合时，频率无误差。（2）幅值误差分析：由傅立叶变换性质中的时移特性可知，对称窗平移T/2并不影响窗函数频谱的模函数，且窗函数与单频率谐波函数的乘积的傅立叶变换等于窗函数频谱与单频率谐波函数的脉冲函数的卷积，其模函数就是把窗函数的频谱模函数平移一个频率量，所以分析对称窗函数的幅值谱误差就是加窗单谐波信号的幅值谱误差。由于频率误差的区间是，所以只分析区间的对称窗函数的幅值谱误差。最常使用的窗函数是矩形窗、海明(Hanni

11、ng)窗和汉宁(Hamming)窗，下面来分析一下这三种窗函数的误差。a.矩形窗函数误差：将窗函数归一化，令T=1，根据式(2.2.2)，并考虑加窗之后的幅值恢复系数有：(2.3.1)式中：是误差函数，由于窗函数归一化，频率的分析区间为。图2.2.5 常用的七种窗函数的时域图形图2.3.1 矩形窗、Hanning窗和Hamming窗的幅值误差曲线图2.3.1是其幅值误差曲线，最大误差为36.3%，最小误差为0。b.海明(Hanning)窗函数误差：将窗函数归一化，令T=1，并考虑加窗之后的幅值恢复系数有：(2.3.2)式中：是误差函数，由于窗函数归一化，频率的分析区间为。图2.3.1是其幅值误差曲线，最大误差为18.3%，最小误差为0。(3).汉宁(Hamming)窗函数误差：将窗函数归一化，令T=1，并考虑加窗之后的幅值恢复系数有：(2.3.3)式中：是误差函数，由于窗函数归一化，频率的分析区间为。图2.3.1是其幅值误差曲线，最大误差为15.1%，最小误差为0。图2.3.2 窗函数的相位(3) 相位误差分析：谱分析所用窗函数都不是对称于轴的，都要向右平