《高等数学教学资料》第四节 幅角原理和rouche定理

1、编辑ppt4 幅角原理和幅角原理和RoucheRouche定理定理一、对数留数一、对数留数 定义定义: :形如形如12Lf (z)dzif(z) 的积分称为对数留数的积分称为对数留数. . 定理定理1:1:设设f(z)在区域D内内除除在在点点ka处处有有kn级级零零点点1 2(k, ,p) , ,在在点点kb处处有有jm级级极极点点1 2( j, ,q) 外外解解析析且且不不为为零零, ,在在D的的闭闭包包D除除上上述述诸诸点点外外连连续续且且不不为为零零. .其其边边界界LD 取取关关于于D的的正正向向, ,则则 12Lf (z)dzN( f ,L)P( f ,L)if(z) 编辑ppt其中

2、其中N( f ,L)表示边界表示边界L所围区域所围区域D内内f(z)的零点个的零点个数数, ,P( f ,L)表示边界表示边界L所围区域所围区域D内内f(z)的的极点极点个数个数, ,重重数数计算计算在在内内, ,即即在在计算计算零点零点或或极点极点时时m级级零点零点或或极点极点算算作作m个个零点零点或或极点极点. . f (z)f(z) 在在D内内除除1 2ka (k, ,p) 和和1 2jb ( j, ,q) 外外解解析析, ,在在D上上除除上上述述点点外外连连续续, ,由由留留数数定定理理 证明证明:1112pqkjLkjf (z )f (z )f (z )dzRes,a Res,b .

3、if (z )f (z )f (z ) 编辑ppt在在ka的的邻邻域域，f(z)可可表表示示为为 knkkf (z )(za )(z ), 其其中中k(z) 在在ka解解析析且且0kk(a ), 又又1kknnkkkkkf (z)n (za )(z) (za )(z), 故故 kkkkn(z)f (z).f(z)za(z) 因因k(z) 在在ka解析解析, ,故故kk(n ) 在在ka也解析也解析, , 它在它在ka的的 LaurentLaurent 展开式即是展开式即是TaylorTaylor 展开式展开式, ,不含负幂不含负幂, ,故故ka是是f (z)f(z) 的一级极点且的一级极点且

4、kkf (z)Res,a n .f(z) 又又0kk(a ), 故故kk(z)(z) 在在ka解析解析, , 编辑ppt又因又因jb是是f(z)的的jm级极点级极点, , jjmj(z )f (z ),(zb ) 所以在所以在jb的邻域的邻域 其其中中j(z) 在在jb解解析析且且0jj(b ), 由由此此可可计计算算得得 jjjjm(z)f (z).f(z)zb(z) 同同理理可可得得: : jb是是f (z)f(z) 的的一级一级极点极点且且jjf (z)Res,b m .f(z) 故故 1112pqkjLkjf (z)dznmN( f ,L)P( f ,L).if(z) 编辑ppt例例1

5、:1:设设34211( z)f(z),z(z) 22D: z,L: z, 求求f(z)关关于于L的的对对数数留留数数. . 解解: :因因f(z)在在2z 有一个三级零点有一个三级零点12z , ,算作三个零点算作三个零点, , 在在2z 有一个一级极点有一个一级极点0z 和一个四级极点和一个四级极点1z, 后者算后者算作四个极点作四个极点, ,所以所以f(z)在在2z 共有共有 5 5 个极点个极点, , 334412121211Lf (z)( z)( z)dzN(,L)P(,L)if(z)z(z)z(z) 由由定理定理 1 1 352. 编辑ppt21( )1cos2zf zzz 练练习习

6、：求求函函数数关关于于圆圆周周= = 的的对对数数留留数数。 编辑ppt二、幅角原理二、幅角原理 1122LLf (z)dzdLnf(z)if(z)i 1122LLLnf(z)ln f(z)iarg f(z)ii 其其中中LLnf(z) 表表示示当当z沿沿L走走一一圈圈时时Lnf(z)获获得得的的增增量量, ,这这里里Lnf(z)可可从从任任一一单单值值分分支支开开始始. . 又又因因ln f(z)是是单单值值函函数数, ,当当z从从L上上某某点点0z出出发发沿沿L正正向向绕绕行行一一周周回回到到0z时时, ,ln f(z)的的值值也也回回到到原原来来的的0ln f(z ), ,故故 0Lln

7、 f(z), 编辑ppt所所以以 1122LLf (z)dzarg f(z).if(z) 由由定理定理 1,1,可可得得 定理定理2(2(幅角原理幅角原理):):条件条件同同定理定理 1,1,则则 12Larg f(z)N( f ,L)P( f ,L). 编辑ppt设设f(L) 是区域是区域D的边界的边界L在映射在映射wf(z) 下的下的像像, ,当当z从从L的某点的某点0z沿沿L的正向绕行一周回到的正向绕行一周回到 0z时时, ,它的像点它的像点wf(z) 在在w平面画出一条连续的封闭曲线平面画出一条连续的封闭曲线 ( (它可以自交它可以自交) )，当，当 绕绕0w 沿逆时针旋转一圈时沿逆时

8、针旋转一圈时, ,称称 绕绕0w 旋转一次旋转一次, , 当当 绕绕0w 沿顺时针旋转一圈时沿顺时针旋转一圈时, ,称称 绕绕0w 旋转旋转1() 次次. . 可见可见12Larg f(z) 是当是当 z沿沿 L的正向旋转一圈时的正向旋转一圈时 z在映射在映射wf(z) 下的像下的像 绕绕0w 旋转次数的代数和旋转次数的代数和, ,称之为称之为f(z)沿沿L的指标的指标, ,记作记作LInd f(z), , 编辑ppt即即 12LLInd f(z)arg f(z), 当当f(z)满足定理满足定理 1 1 的条件时的条件时, , f(z)关于关于 L的指标的指标, ,或即像曲线或即像曲线 绕绕0

9、w 旋转次数的代数和旋转次数的代数和, ,应等于应等于f(z)在在L所围区域所围区域D内零点总数与极点总数的差内零点总数与极点总数的差. . -整数整数 编辑ppt三、三、Rouche定理定理定理定理(Rouche定理定理): 设设D是是一一个个区区域域, ,CD, 函函数数f(z)和和(z) 满满足足: : (1)(1) f(z)和和(z) 在在D内解析且在内解析且在D连续连续; ; ( (2 2) ) 在在C上上f(z)(z) ; 则则f(z)与与f(z)(z) 在在D内内零零点点个个数数相相等等, , 即即 N( f,C)N( f ,C). 编辑ppt证明：证明：由由定定理理的的条条件件

10、( (2 2) ), ,在在C上上 0f(z), 0f(z)(z)f(z)(z). 由由幅幅角角原理原理, , 12CN( f,C)arg f(z)(z) 112C(z)arg f(z)()f(z) 11122CC(z)arg f(z)arg()f(z) 112C(z)N( f ,C)arg()f(z) 编辑ppt 为此为此, ,令令 1(z)w,f(z) 下下证证 10C(z)arg().f(z) 故故当当z沿沿C变变动动时时, ,1(z)wf(z) 的的像像恒恒落落在在 w平平面面的的圆圆 11w 之之内内, , 即即曲线曲线C在在映射映射1(z)wf(z) 下下的像的像 不会不会围绕围绕

11、原点原点0w 绕行绕行, , 故故 10C(z)arg().f(z) 编辑ppt 因因此此 N( f,C)N( f ,C). 注记注记 ： Rouche Rouche 定理表明定理表明: :若解析函数若解析函数f(z)受到解析函受到解析函数数(z) 的“干扰”而变成的“干扰”而变成f(z)(z) , ,若在边界若在边界 C上上(z) 受控于受控于f(z), ,则则N( f,C)N( f ,C). 编辑ppt例例4: 求方程求方程 4860zz 在圆在圆1z 和圆环和圆环13z 的根的个数的根的个数 解解: (1) (1)取区域取区域1D: z , ,其边界为其边界为1z , , 令令486f(

12、z)z, (z)z, 46(z)z 467z 8z f(z) 则当则当1z 时时, , 由由 RoucheRouche 定理定理, , 4861811N(zz, z)N(z, z). 编辑ppt (2 (2) )取区域取区域3D: z , ,其边界为其边界为3z , , 令令486f(z)z , (z)z, 则当则当3z 时时, , 86(z)z 8630z 481zf(z) 由由 RoucheRouche 定理定理, , 4486334N(zz, z)N(z , z). 又又当当1z 时时, , 4860zz , , 故故在在圆圆环环13z , ,4860zz 有有且且仅有仅有4 13 个个

13、根根. . 编辑ppt 利用利用 RoucheRouche 定理证明代数学基本定理定理证明代数学基本定理: : n次方程次方程101000nnnP(z)a za za(a) 有且仅有有且仅有 n个根个根. . 证明证明:例例5: 记记 101nnnf(z)a z , (z)a za , 则则 P(z)f(z)(z) , , 且且 101nkkka(z)f(z)az , , 1011nkka(z),(R)f(z)Ra , , 在圆周在圆周 RC : zR 上上, , 取取R充分充分大大, ,使使10nkkaRa , , 编辑ppt 则则当当zR 时时, ,(z)f(z) , , 此此时时 0P(z)f(z)(z) , , 即即 P(z)在在圆圆周周RC上上和和圆圆周周RC外外均均无无零零点点, , 又又0nf(z)a z 有有且且仅仅有有