护士工作时间的安排

1、护士工作时间的安排 摘要 医院里每个科室都有自己的护士工作时间表。一般而言，每个科室的一个工作日分为 12 个两小时的时段，每个时段护士的人员要求不同。例如，在夜间只要求有很少几名护士 就足够了，但在早晨为了给病人提供特殊报务，需要很多护士。 在已知某医院心脑血管科每个时段护士的人员需求量的条件下， 为了确定满足其需求量 的最少护士数量以及制定出其护士的工作时间表， 本文通过建立护士安排方案的数学规划模 型，在满足各时间段人员需求量的条件下， 分别算出了最少所需护士总数及在护士人数有限 的情况下最少加班人员人数，并制定了不同情况下护士工作安排的最优方案。 为保证模型计算结果的多样性和准确性，本

2、文分别运用 MATLAB 和 lingo 做线性规划 处理，通过综合比较两种软件得出的结果，我们择优制定了护士工作时间的安排方案。 针对问题一， 依据已给出的各时间段人员需求量和每个护士每天工作 8 小时， 在工作 4 个小时后需要休息 1 个小时这一假定条件，我们建立了线性规划模型，分别运用 MATLAB 和 lingo 进行求解，都得出所需护士人员总数最少为 100 人。具体优化方案见后文。 针对问题二，在护士总数为 80 的限定条件下，依据各时间段人员需求量和加班人员每 天加班时间为 2 个小时，且紧随在一个 4 小时工作时段之后，加班与 4 小时工作时段之间 没有休息这一假定， 分别设

3、各时间段开始正常上班的护士人数为 x1i 、应加班的护士人数 x2i 。 由于题中未提及加班时间紧随在哪一个 4 小时工作时段之后，故在问题一的基础上应分情 况讨论再建立线性规划模型，此处分两种情况讨论，分别为紧随在前一个 4 小时工作时段 之后和紧随在后一个 4 小时工作时段之后。运用 MATLAB 和 lingo 对模型进行求解，我们 在不同的情况下两种软件都得出所需加班的护士人员总数最少为 40 人。 具体优化方案见后 文。 关键词：护士工作安排 数学规划模型 最优方案 MATLAB lingo1问题重述 某医院的心脑血管科需要制定护士的工作时间表。 在心脑血管科的一个工作日分为 12

4、个两 小时的时段，每个时段的人员要求不同。 例如，在夜间只要求有很少几名护士就足够了，但 在早晨为了给病人提供特殊报务，需要很多护士。表 B1 列出了每个时段的人员需求量。 编号 时段 需要人数 1 0:00 2:00 15 2 2:00 4:00 15 3 4:00 6:00 15 4 6:00 8:00 35 5 8:00 10:00 40 6 10:00 12:00 40 7 12:00 14:00 40 8 14:00 16:00 30 9 16:00 18:00 31 10 18:00 20:00 35 11 20:00 22:00 30 12 22:00 24:00 20 问题 1

5、 :（ 1 ）为满足需求最少需要多少名护士？这里假定每位护士每天工作 8 小时，且在 工作 4 小时后需要休息 1 小时。（2 ）如果满足需求的排班方案不止一种，请给出你认为最 合理的排班方案，并说明其理由。 问题 2 :目前心脑血管科只有 80 名护士，如果这个数目不能满足指定的需求，只能考虑让 部分护士加班。如果加班，每天加班的时间为 2 小时，且紧随在一个 4 小时工作时段之后， 中间没有休息。（1）请给出护士工作时间安排的方案， 以使需要加班的护士数目最少。 （2） 如果排班（包括加班）的方案不止一种， 请给出你认为最合理的排班和加班方案， 理由。 2. 问题分析 本题属于带有一定约束

6、条件的数学规划问题。 在满足各时间段人员需求量的条件下， 需 要对现有人员做出最优安排，从而达到医院的需求，同时使人员利用率最高从而降低成本。 对于问题一， 本题给出了该医院心血管科各时间段的护士人员需求量， 并假定每个护士 每天工作 8 小时，且在工作 4 个小时后需要休息 1 个小时，要求我们求出满足需求的最少 护士人数。若护士休息 1 小时后立即开始工作，则会出现护士在 2 小时时段间开始工作或 休息，在这种情况下想要解决问题就还需要将现有的 2 小时时段分割为 2 个 1 小时时段， 再重新确定新的每个 1 小时时段护士需要人数，然后再进行求解，但是如果这样处理不仅 加剧了模型求解的复

7、杂程度而且在重新确定新的每个 1 小时时段护士需要人数时主观臆断 太强， 这样会降低模型的一般性和准确性。 故为降低模型的复杂性和提高准确度， 我们假定 每个时段为 2 小时且护士只在时段初开始工作，时段间不开始工作，即允许 0 点开始工作 但是不允许 1 点开始工作。在该假设条件下，护士休息 1 个小时作休息 2 小时处理。故每 个护士的每天的在岗时间为连续 5 个时段，包括 4 个时段的工作时间及 1 小时休息（做 1 个时段处理） 。因为变量为护士人数，故所得结果为自然数。我们假定在各时间段开始上班 的人数为自变量， 所需人员总数为应变量， 各个时段的需要人数为限制条件， 建立整数规划

8、模型，运用软件进行求解。 对于问题二，与问题一相比，增加了该医院心脑血管科现有护士为 天加班时间为 2 个小时，且紧随在一个 4 小时工作时段之后，中间没有休息的限定条件。 对于是否要加班，要先看第一题的结果，若大于 80 人，则必须有人加班，若小于 80 人， 则反之。 此时，我们假定在各时间段开始正常上班的人数以及开始上班且需要加班的人数为 自变量，所需加班人并说明其 80 人，加班人员每 员总数为应变量，在限定条件下，建立整数规划模型， 运用软件进行求 解。 3. 符号说明 1. f1 ：为满足需求所需要的护士人员总数； 2. f2 ：需要加班的护士人员总数； 3. i ：各个时段需要的

9、人数； i 1,2.12 ， 1 =15. 12 =20. 4. xi ：第 i 个时间段开始上班的人数。 i 1,2.12 ， xi 为自然数。 5. xii :第i个时间段开始正常上班的人数。 i 1,2.12 , xii为自然数。 6. x2i :第i个时间段开始上班且需要加班的人数。 i 1,2.12 , X2i为自然数。 4. 模型假设 1. 正常上班时， 每个护士每天工作 8 小时，且在工作 4 个小时后需要休息 1 个小时； 2. 护士只在时段初开始工作， 时段间不开始工作， 即允许 0 点开始工作但是不允许 1 点开始工作；3. 在假设 2 下，将护士休息 1 小时作 1 个时

10、段处理； 5. 建模过程 5.1 问题一的建模与求解 5.1.1 问题分析 本题给出了该医院心血管科各时间段的护士人员需求量，并假定每个护士每天工作 8 小时，且在工作 4 个小时后需要休息 1 个小时，要求我们求出满足需求的最少护士人数。 假定护士只在时段初开始工作，时段间不开始工作，即允许 0 点开始工作但是 1 点不允许 开始工作，故在每个时段为 2 小时的条件下，护士休息 1 个小时作休息了两小时处理。故 每个护士的每天的在岗时间为连续 5 个时段，包括 4 个时段的工作时间及一小时休息（作 一个时段处理） 。因为变量为护士人数，所以所得结果为自然数。我们假定在各时间段开始 上班的人数

11、为自变量， 所需人员总数为应变量， 各个时段的需要人数为限制条件， 建立数学 规划模型，运用软件进行求解。 5.1.2 模型建立 为满足需求所需要的护士人员总数等于各个时段开始上班的护士人数之和，即： 12 1 xi i1 其他时段与第一个时段同理。故可建立数学规划模型如下：4. 加班人员每天加班时间为 有休息。 2 个小时，且紧随在一个 4 小时工作时段之后，中间没 以第一个时段即 0:00-2:00 为例， 开始上班的护士。为满足该时段人员需求， x1 在该时段工作的护士分别为第 9、10、12、1 时段 则应满足有以下条件： x12 x10 x9 15 运用 lingo 编写程序求解可得

12、（程序见附录 8.1.2）： 12 min f1 i 1 Xi Xi 1 Xi 3 Xi 4 i X 为自然数 i 1,.12 上述式子中Xi为Xi时，Xi 1为Xi2 . 5.1.3 模型求解 运用 MATLAB 编写程序求解可得（程序见附录 8.1.1 ）: 9. 4074 8L 4730 IX 1157 11, 2164 14 =15; x2+x1+x10+x11=15; x3+x2+x11+x12=15; x4+x3+x12+x1=35; x5+x4+x1+x2=40; x6+x5+x2+x3=40; x7+x6+x3+x4=40; x8+x7+x4+x5=30; x9+x8+x5+x

13、6=31; x10+x9+x6+x7=35; x11+x10+x7+x8=30; x12+x11+x8+x9=20; gin (x1); gin (x2); gin (x3); gin (x4); gin (x5); gin (x6); gin (x7); gin (x8); gin (x9); gin (x10); gin (x11); gin (x12); 8.2.1.1 Matlab ： A=-1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1; -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0

14、 0 0 -1 -1 0 -1; 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0; -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1; -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1; 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0; 0 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 0

15、0 0 0; 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 0 0 0; 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 0 0; 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 0; 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1 0; 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1; 1 1

16、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; b=-15;-15;-15;-35;-40;-40;-40;-30;-31;-35;-30;-20;80; f=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; x=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; x,fval=linprog(f,A,b,x,) 8.2.1.2 Min =x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x210+x211+x212; x11+x11

17、2+x19+x110+x21+x212+x211+x29+x28=15; x12+x11+x110+x111+x22+x21+x212+x210+x29=15; x13+x12+x111+x112+x23+x22+x21+x211+x210=15; x14+x13+x112+x11+x24+x23+x22+x212+x211=35; x15+x14+x11+x12+x25+x24+x23+x21+x212=40; x16+x15+x12+x13+x26+x25+x24+x22+x21=40; x17+x16+x13+x14+x27+x26+x25+x23+x22=40; x18+x17+x14

18、+x15+x28+x27+x26+x24+x23=30; x19+x18+x15+x16+x29+x28+x27+x25+x24=31; x110+x19+x16+x17+x210+x29+x28+x26+x25=35; x111+x110+x17+x18+x211+x210+x29+x27+x26=30; x112+x111+x18+x19+x212+x211+x210+x28+x27=20; x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x110+x111+x112+x21+x22+x23+x24+x2 5+x26+x27+x28+x29+x210+x211+x212=15; x12+x11+x110+x111+x22+x21+x211+x210+x29=15; x13+x12+x111+x112+x23+x22+x212+x211+x210=15; x14+x13+x112+x11+x24+x23+x21+x212+x211=35; x15+x14+x11+x12+x25+x24+x22+x21+x212=40; x16+x15+x12+x13+x26+x25+x23+x22+x21=40; x1