数学分析教案 (华东师大版)第十三章 函数列与函数项级数

1、第十三章 函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 § 1 一致收敛性 一       函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列 ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.  逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义.   例1 对定义在

2、内的等比函数列 , 用“ ”定义验证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内.   例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .  . . . . 设 为区间 上的全体有理数所成数列. 令   , . . , . 有 , , . （ 注意 .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上 , . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3说明连续性未能遗传,而例3说明可积性未能遗传. 例3说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数

3、, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.   定义 ( 一致收敛 )   一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式 .) 证 ( 利用式 ) 易见逐点收敛. 设 ,有 . 令 , 对 D成立, 即 , ， D. 推论1 在D上 , ， . 推论2 设在数集D上 , . 若存在数列 D , 使 , 则函数列 在

4、数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 在数集D上非一致收敛时, 常选 为函数 在数集D上的最值点.   验证函数一致收敛性: 例4 . 证明函数列 在R内一致收敛. 例5 . 证明在R内 , 但不一致收敛. 证 显然有 , 在点 处取得极大值 , . 由系2 , 不一致收敛. 例6 . 证明在 内 , . 证 易见 而 在 内成立. 由系1 , 例7 对定义在区间 上的函数列 证明: , 但在 上不一致收敛. P3839 例3, 参图13-4. 证 时, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有 . , .于是, 在 上有 . 但由于 , , 因此 , 该函数列在 上不一致收敛.

5、 例8 . 考查函数列 在下列区间上的一致收敛性: ; .   三. 函数项级数及其一致收敛性: 1 函数项级数及其和函数：， , 前 项部分和函数列 ，收敛点，收敛域, 和函数, 余项.   例9 定义在 内的函数项级数( 称为几何级数 ) 的部分和函数列为 , 收敛域为 .   2.       一致收敛性: 定义一致收敛性.   Th2 ( Cauchy准则 ) 级数 在区间D上一致收敛, , 对 D成立. 推论 级数 在区间D上一致收敛, , . Th3 级数 在区间D上一致收敛, .

6、例10 证明级数 在R内一致收敛 . 证 令 = , 则 时 对 R成立. 例11 几何级数 在区间 上一致收敛；但在 内非一致收敛.   证 在区间 上 , 有 , . 一致收敛 ; 而在区间 内 , 取 , 有 , . 非一致收敛. ( 亦可由通项 在区间 内非一致收敛于零, 非一致收敛.) 几何级数 虽然在区间 内非一致收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数 在区间 内闭一致收敛 . 四.       函数项级数一致收敛判别法: 1. 

7、        M - 判别法: Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数 定义在区间D上, 是收敛的正项级数.若当 充分大时, 对 D有| , 则 在D上一致收敛 . 证 然后用Cauchy准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 是级数 的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数 在区间D上存在优级数 , 则级数 在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取 .但应注意, 级数 在区间D上不存在优级数 , 级数 在区间D上非一致收敛.   注意区分用这种控制方法判别函

8、数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.   例12 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性 . 例13 设 是区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数与 都绝对收敛, 则级数 在区间 上绝对并一致收敛 . 简证 , 留为作业. .   2. Abel判别法: Th 5 设 > 级数 在区间 上收敛; > 对每个 , 数列 单调 ; > 函数列 在 上一致有界, 即 , 使对 和 , 有. 则级数 在区间 上一致收敛 . ( 1P43 ) 2.      Dirichlet判别法: Th 6 设> 级数

9、 的部分和函数列 在区间 上一致有界; > 对于每一个 , 数列 单调; > 在区间 上函数列 一致收敛于零. 则级数 在区间 上一致收敛 . 例14 判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性. 解 记 . 则有> 级数 收敛; > 对每个 , ；> 对 和 成立. 由Abel判别法, 在区间 上一致收敛. 例15 设数列 单调收敛于零 . 试证明 : 级数 在区间 上一致收敛. 证 在 上有 . 可见级数 的部分和函数列在区间 上一致有界 . 取 , . 就有级数 的部分和函数列在区间 上一致有界, 而函数列 对每一个 单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别

10、法,级数 在区间 上一致收敛. 其实 , 在数列 单调收敛于零的条件下, 级数 在不包含 的任何区间上都一致收敛. 习 题 课 例1 设 , , . 且 , . 若对每个自然数 有| | 对 成立, 则函数列 在 上一致收敛于函数 . 例2 证明函数列 在区间 上非一致收敛. 例3 , . 讨论函数列 的一致收敛性. 解 0, . | 0| . 可求得 . 函数列 在区间 上非一致收敛. 例4 设函数 在区间 上连续 . 定义 . 试证明函数列 在区间 上一致收敛于零. 证法一 由 有界 . 设在区间 上| | . | | ; | | ; | | .注意到对 , . 0, , . 证法二 .

11、有界. 设在区间 上| | . 把函数 在点展开成具Lagrange型余项的 阶Taylor公式 , 注意到  , 就有 , , , . 所以 , 0, , . 例5 设 . 且 , . 令   , ,  . .试证明: 若对 和 , 有 , 则函数列 在区间 上一致收敛 . 证 对 取 , 使 时, 有 . 于是对任何自然数 和, 有 . 由Cauchy收敛准则 , 函数列 在区间 上一致收敛 . 例6 设在数集 上函数列 一致收敛于函数 . 若每个 在数集 上有界 , 则函数列 在数集 上一致有界 . 证 ( 先证函数 在数集 上有界 ) 设在 上有| | .

12、 对 ,由函数列 在数集 上一致收敛, ,当 时 , 对 ,有 | | | , | |< . 即函数 在数集 上有界. ( 次证函数列 在数集 上一致有界 ) 时, 对 ,有 | | | | |< , | | . 取 易见对 和 有| | . 即函数列 在数集 上一致有界 . 例7 设 为定义在区间 上的函数列, 且对每个 , 函数 在点 右连续 , 但数列 发散. 试证明: 对 ), 函数列 在区间 内都不一致收敛. 证 反设 , 使 在区间 内一致收敛. 则对 , 有 对 成立. . 为Cauchy列,即 收敛. 与已知条件矛盾.   § 2 一致收敛函数列

13、和函数项级数的性质 一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质: 1.             连续性: Th 1 设在 上 ,且对 ,函数 在 上连续 , 在 上连续. 证 ( 要证 : 对 , 在点 连续 . 即证: 对 , , 当| 时, . ) . 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数 在点 连续, 第二项 也可以任意小 . 推论 设在 上 . 若 在 上间断 ，则函数列 在 上一致收敛和所有 在 上连续不能同时成立. 註 Th1表明:

14、对于各项都连续且一致收敛的函数列 , 有 . 即极限次序可换 . 2. 可积性: Th 2 若在区间 上函数列 一致收敛 , 且每个 在 上连续. 则有 . 证 设在 上 , 由Th1, 函数 在区间 上连续,因此可积. 我们要证 . 注意到 , 可见只要 在 上成立. Th2的条件可减弱为: 用条件“ 在 上( R )可积”代替条件“ 在 上连续”.  关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 设 是定义在区间 上的函数列. 若 在 上收敛且一致可积 , 则其极限函数 在 上( R)可积 , 且有 .   3. 可微性: Th 3 设函数列 定义在区间 上, 在某个点 收敛. 对 , 在 上连续可导, 且由导函数构成的函数列 在 上一致收敛, 则函数列 在区间 上收敛, 且有 . 证 设 ， . , . 对 , 注意到函数 连续和 + , 就有 + （ 对第二项交换极限与积分次序） + + . 估计 | + | | + | ,可证得 . . 即 . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 P38 例1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) 例2 P39例2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) E