第六节 定积分应用ppt课件

1、一、微元法一、微元法 按定积分概念，定积分按定积分概念，定积分取决于函数取决于函数 和它的定义区间和它的定义区间 。 01( )dlim( )bniiiaIf xxfx)(xf,ba 定积分定积分 对于区间具有可加性是指区间对于区间具有可加性是指区间上对应的总量等于所有子区间上对应的总量等于所有子区间 上对上对应的部分量应的部分量 之和。凡是需要用定积分来之和。凡是需要用定积分来度量的量，必须具有可加性这一基本特征。度量的量，必须具有可加性这一基本特征。I,xxxI 若函数若函数 在区间在区间 上连续，变上限积上连续，变上限积分分 对积分上限的导数为对积分上限的导数为 )(xf,ba( )(

2、)dxaI xf xx)()(xfxI也就是说用定积分度量的整体量也就是说用定积分度量的整体量 在在 内子内子区间区间 上所对应的部分量上所对应的部分量 的近似值的近似值就是就是 在在 点的微分，即点的微分，即I,ba,xxxI)(xIxd( )( )dIII xxf xx 按微分概念，子区间按微分概念，子区间 上部分量上部分量 与近与近似值似值 之差为之差为 时，比时，比 高阶的无穷小高阶的无穷小,xxxIdI0 xx 通常把定积分度量的量通常把定积分度量的量 在在 的子区间的子区间 上所对应的部分量上所对应的部分量 近似为子区间长近似为子区间长度度 的线性函数的线性函数 。 I,ba,xx

3、xIxd( )dIIf xx 称为积分量称为积分量 的微元元素）的微元元素） dII 用微元法解决具体问题时，在确定积分变用微元法解决具体问题时，在确定积分变量量 和积分区间和积分区间 之后，关键步骤是找出积之后，关键步骤是找出积分量分量 的微元的微元 ，然后计算定积分，然后计算定积分x,baId( )dIf xxd( )dbaIIf xx按定积分微元法概念：按定积分微元法概念： 无限细分：无限细分： 将函数将函数 的定义区间的定义区间 细分成无细分成无穷多个子区间任意取其中一个记为穷多个子区间任意取其中一个记为 以函数在以函数在 点的值点的值 和小区间长度和小区间长度 的积的积作为积分量作为

4、积分量 的微元的微元 ； )(xf,ba ,d x xxx)(xfdxId( )dIf xx 无限求和：无限求和： 定义在区间定义在区间 上的积分量上的积分量 是所有微是所有微元的总和，即元的总和，即,baId( )dbaIIf xx 利用微元法可以计算很多如几何的、物理利用微元法可以计算很多如几何的、物理的或其它方面的无限可加量的求和问题。的或其它方面的无限可加量的求和问题。二、平面图形的面积二、平面图形的面积 1.1.在直角坐标中计算在直角坐标中计算 【例题】求由抛物线【例题】求由抛物线 ，横轴及，横轴及直线直线 所围成的图形面积所围成的图形面积245yxx3,5xx解：解： 函数方程为函

5、数方程为2(2)1yx面积微元为面积微元为ddSy x故故5232(45)d103Sxxx10123456246810100f x( )61x【例题】计算由两条抛物线【例题】计算由两条抛物线 和和 所围成的图形面积所围成的图形面积.2xy xy 2xy2xy xy dx解：解： 解出两条抛物线解出两条抛物线 和和 的交点坐标为的交点坐标为原点原点 和点和点 ， 2xy xy 2(1,1)(0,0)图形定义于区间图形定义于区间 上上 (0,1)xy2xy xy dx 在垂直于在垂直于 轴的方向轴的方向上，取区间上，取区间 上任一子上任一子区间区间 , 1 , 0 ,d x xxx 在此子区在此子

6、区间上对应的面积元素为：间上对应的面积元素为： （见图示）（见图示）2d()dAxxx面积元面积元因而，两条抛物线所围成的图形面积为因而，两条抛物线所围成的图形面积为 1323 1200211()d333Axxxxx 类似的，若将所求面积的图形看作定义于类似的，若将所求面积的图形看作定义于到到 区间内，由曲线区间内，由曲线 所围成，所围成，那么那么 0y 1y 2xyxy，任取子区间任取子区间 ,d y yy它所对应的面积元素它所对应的面积元素 2d()dAyyy两条抛物线所围成的两条抛物线所围成的图形面积为：图形面积为：1323 1200211()d333Ayyyyyxy2xy xy dyx

7、y1( )yy x2( )yyxxdxxabO 一般说来，如果平面图形由曲线一般说来，如果平面图形由曲线 和和 及直线及直线 所围成所围成,在区间在区间 内任取子区间内任取子区间 ，它所对应的面积元素，它所对应的面积元素1( )yy xxa xb，,ba ,d x xx2( )yyx12d( )( ) dAy xyxx图形面积为图形面积为12( )( ) dbaAy xyxx 如果平面图形是由曲线如果平面图形是由曲线 和和直线直线 所围成意味着所围成意味着 是自变量，是自变量，是函数），在区间是函数），在区间 内任取子区间内任取子区间12( )( )xx yxx y，ycyd，yx,dc ,d

8、 y yyxy1( )xx y2( )xxyydyycdO它所对应的面积元素它所对应的面积元素12d( )( ) dAx yxyy12( )( ) ddcAx yxyy图形面积图形面积【例题】计算被抛物线【例题】计算被抛物线 与直线与直线 所围成的图形面积所围成的图形面积.xy224 yx解：解：ydyyx22yx 4xyy抛物线抛物线 与直线与直线 的两个交点分的两个交点分别是别是 xy224 yx)4 , 8(,)2, 2( 如果分割如果分割 的变的变化区间化区间 ,y4 , 2在其中任取子区间在其中任取子区间 ,d y yy (2, 2)(8,4)它所对应的面积元素它所对应的面积元素 2

9、d(4)d2yAyy图形面积图形面积 422(4)d182yAyyydyyx22yx 4xyy(2, 2)(8,4) 如果分割如果分割 的变的变化区间化区间 x8 , 0在其中任取子区间在其中任取子区间 ,xxx 此时，它所对应此时，它所对应的面积元素需要分段的面积元素需要分段表达：表达： 在区间在区间 为为 2 , 0d2 2 dAx x在区间在区间 为为 8 , 2d 2(4)dAxxxxdxxxy2yx4yx2yx 280222 d( 24)d18Ax xxxxxdxxxy2yx4yx2yx 解：面积元为解：面积元为【例题【例题 】求椭圆】求椭圆 所围图形的面积。所围图形的面积。2222

10、1xyabxyxdxxO2dd1dxSy xbxa2041daxSbxa令令sinxa原式原式2204cosdab ab【例题【例题 】 求椭圆求椭圆 所围成的图形面积。所围成的图形面积。cossinxatybtxyxdxxO解：解：图形关于两坐标轴都对称图形关于两坐标轴都对称 1044daAAy x024sin d( cos )btat2204sindabt t142 2abab 求星形线求星形线 所围成的所围成的图形面积。图形面积。330cos02sinaxattyat 图形关于两坐标轴都对称图形关于两坐标轴都对称 解：解：1044daAAy x0331 2sind( cos)Aatat

11、224203sin(1 sin)dattt 2 2246003sindsind at tt t223 1 5 3 1 33()4 2 26 4 2 232aa238aA 求旋轮线求旋轮线 , 之一拱之一拱与与 所围成的图形面积。所围成的图形面积。)cos1 ()sin(ryrx(02)0y222200d(1 cos ) drAy xr223 1 8234 2 2rr 解：解：22424004sind8sind2rrx x2.2.在极坐标中计算在极坐标中计算 极坐标：极坐标：如图示，以极径如图示，以极径 和极角和极角 来确来确定平面上点的坐标，记为定平面上点的坐标，记为( , ) 极坐标与直角坐

12、极坐标与直角坐标的关系为标的关系为cossinxy( , ) yxyxo如果曲线由极坐标方程如果曲线由极坐标方程()( 给出，这条曲线与从原点出发的两条射给出，这条曲线与从原点出发的两条射 线线 围成一个曲边扇形。围成一个曲边扇形。 , 在极角在极角 的变化区间的变化区间 内任取一个内任取一个微小的子区间微小的子区间 ，它所对应的微小，它所对应的微小曲边扇形就是极坐标中的面积元素，即曲边扇形就是极坐标中的面积元素，即 , ,d 21d( )d2A)(d)(o曲边扇形面积由定积分给出：曲边扇形面积由定积分给出：21( )d2A【例题】计算【例题】计算ArchimedesArchimedes螺线上

13、一段弧螺线上一段弧 与极轴所围成的图形面积。与极轴所围成的图形面积。a02d( )a 2 a解：解： 取极角取极角 为积分为积分变量，螺线内的面积元变量，螺线内的面积元素素22211ddd22Aa223222320014d263aAaa图形面积图形面积【例题】计算心形线【例题】计算心形线 所围成的图形面积并求心形线与圆所围成的图形面积并求心形线与圆 交集的交集的面积。面积。 )0()cos1 (aaa解：解： 心形线围成图形的面积心形线围成图形的面积 2201d2A2220(1 cos ) d2a2220(12coscos)d2a2203sin22sin224a232a)cos1 ( aOa2

14、ad232Aa心形线与圆心形线与圆 交集的面积交集的面积a2221 22(1 cos ) d22aaA223(2)24aa25(2)4a三、体积三、体积 1.1.旋转体的体积旋转体的体积 一个平面图形绕此平面内一条直线旋一个平面图形绕此平面内一条直线旋转一周而形成的立体称为旋转体，这条直转一周而形成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。圆柱圆盘）、圆锥、球线称为旋转轴。圆柱圆盘）、圆锥、球体等都是最简单的旋转体，计算旋转体的体等都是最简单的旋转体，计算旋转体的体积的方法有体积的方法有“切片法和圆柱薄壳法切片法和圆柱薄壳法 xyO)(xyy “ “切片法切片法 由曲线由曲线 和直线和直线 ， ，

15、 所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周形成的旋轴旋转一周形成的旋转体被垂直于转体被垂直于 轴诸多平行平面所分割，成轴诸多平行平面所分割，成为很多纵切片。在子区间为很多纵切片。在子区间 上的窄曲上的窄曲边梯形所生成的半径为边梯形所生成的半径为 的薄圆盘形切片的薄圆盘形切片就是旋转体的体积微元。就是旋转体的体积微元。 )(xyy xaxb0y xx ,d x xx)(xy22dd ( ) dVyxy xx旋转体的体积微元旋转体的体积微元旋转体的体积为旋转体的体积为 2 ( ) dbaVy xxxyO)(xyy 如果旋转体是由曲线如果旋转体是由曲线 和直线和直线 所围成的曲边梯形绕所围成

16、的曲边梯形绕 轴旋转一轴旋转一周形成的，它被垂直于周形成的，它被垂直于 轴的诸多平行平面所轴的诸多平行平面所分割，成为很多横切片。分割，成为很多横切片。 )(yxx ycyy,0ydx此旋转体体积为此旋转体体积为2 ( ) ddcVx yy体积微元为体积微元为 22dd ( ) dVxyx yy)(yxx yxocdxy【例题】求上下底面半径分别为【例题】求上下底面半径分别为 高为高为 的的圆台体积。圆台体积。Rr ,h解：解： 把圆台看作一个直角梯形如下图绕把圆台看作一个直角梯形如下图绕 轴旋转一周形成的。梯形斜边的方程为轴旋转一周形成的。梯形斜边的方程为 y()()RrRrRhxRyyhh

17、RroxRryh圆台体积圆台体积20dhVxy233() ()() 3RrRhRhhhRrRr22232()3()RrRrrRhhRr220=()() dhRrRhyyhRr20dhVxy22()3rRrR h0rRh213VR h 讨论：假设讨论：假设 ，上式给出底半径为，上式给出底半径为 高为高为 的圆锥体积的圆锥体积 。 22()3VrRrR h【例题】计算由椭圆【例题】计算由椭圆 分别绕分别绕 轴轴旋转形成的旋转椭球体积。旋转形成的旋转椭球体积。12222byaxyx,解：解：椭圆绕椭圆绕 轴旋转形成椭球体积轴旋转形成椭球体积x222221204d2()d3aaabVyxaxxaba椭

18、圆绕椭圆绕 轴旋转形成椭球体积轴旋转形成椭球体积y222222204d2()d3bbbaVxybyya bb讨论：讨论：假设假设 ，得半径为，得半径为 的球体体积的球体体积 343Vaab a 圆柱薄壳法圆柱薄壳法 旋转体也可以看作一系列半径连续变化、旋转体也可以看作一系列半径连续变化、柱高也连续变化的同轴圆柱薄壳形成。柱高也连续变化的同轴圆柱薄壳形成。 如圆柱体可以看如圆柱体可以看成是由一系列半径不成是由一系列半径不同的同轴薄圆筒叠加同的同轴薄圆筒叠加构成构成( (类似于洋葱类似于洋葱),),每每一层都可以看成是一一层都可以看成是一个体积元个体积元圆柱薄圆柱薄壳法壳法. .如果是图示曲顶圆如

19、果是图示曲顶圆柱体，也可以将其柱体，也可以将其看成半径不同，且看成半径不同，且高度也不同的圆柱高度也不同的圆柱形薄圆壳组成。形薄圆壳组成。 如图所示曲边如图所示曲边梯形面积绕梯形面积绕 轴旋轴旋转所形成的立体体转所形成的立体体积也是旋转体。积也是旋转体。y 如果以如果以 轴为轴为旋转轴，圆柱薄壳旋转轴，圆柱薄壳体积元为体积元为 y21d2 ( )( )dVx y xy xx 式中式中 是圆是圆柱薄壳底的周长，柱薄壳底的周长， 是圆柱是圆柱形薄壳的高度，形薄壳的高度， 是薄壳的厚度是薄壳的厚度 .2x)()(12xyxydx【例题】求圆【例题】求圆 绕绕 轴轴旋转所成旋转体的体积。旋转所成旋转体

20、的体积。) 0()(222rRryRxyxyrR dxxOyrR x解：解： 圆柱薄壳法圆柱薄壳法取圆柱薄壳体积元，薄壳底的周长取圆柱薄壳体积元，薄壳底的周长 。2x柱高柱高:22)(22Rxry壳厚壳厚 ，薄壳体元，薄壳体元dx22d4() dVx rxRx旋转体体积旋转体体积 224() dR rR rVx rxRxxrR rR t 2 2令令 sindcos dxRrtxrt t 2 24 (sin )coscos dVr Rrtt rt t 2 22232 2 24cosdcossin d r Rt trtt t222Vr R 2 222 20cosd2cosd2t tt t式中 22

21、 2cossin d0tt ty221yrRxxrdyyOy222yrRx 切片法切片法 旋转体被垂直于旋转体被垂直于 轴诸多平行平面所分轴诸多平行平面所分割，成为很多圆环状横切片，其体积元为割，成为很多圆环状横切片，其体积元为 y2221d( )( )dVxyxyy221222)()(yrRyxyrRyx旋转体体积旋转体体积 2222210( )( )d8drrrVxyxyyR ryy 22208coscos d2VRrt rt tr Rsinyrt令 dcos dyrt tyr0t 202.2.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积 如果已知一个立体内垂直于一条定轴如果已

22、知一个立体内垂直于一条定轴例如例如 轴的各个截面的面积轴的各个截面的面积 与与 的函数关系，那么仍可用的函数关系，那么仍可用“切片法切片法计算这个立体的体积。计算这个立体的体积。xx( )AA x 设设 轴为定轴，立体在过轴为定轴，立体在过 点点且垂直于且垂直于 轴的两个平面之间，过轴的两个平面之间，过 点且垂直点且垂直于于 轴的平面被立体截出的面积轴的平面被立体截出的面积 为已知函为已知函数。数。xbxax,xxx)(xA ,d x xx在子区间在子区间 上薄片体积元素上薄片体积元素d( )dVA xx整个立体体积整个立体体积( )dbaVA xx【例题】一平面经过圆柱底面的中心，并与底【例

23、题】一平面经过圆柱底面的中心，并与底面成面成 角，设底面半径为角，设底面半径为 ，计算平面截圆柱，计算平面截圆柱体所得立体的体积。体所得立体的体积。 r解：解： 取平面与圆取平面与圆柱底面的交线为柱底面的交线为轴，底面中心为轴，底面中心为原点，底面圆周原点，底面圆周方程为方程为 222ryx过过 轴上任一点轴上任一点 且垂直于且垂直于 轴的平面被立体轴的平面被立体截成直角三角形截成直角三角形 ，（如下图），两条直，（如下图），两条直角边分别是角边分别是 和和 ，截面面积，截面面积xAxABCytanyABCytany22211( )tan()tan22A xyrx立体体积立体体积( )drrV

24、A xx220tan()drrxx32tan3r【例题】已知立体的底面是半径为【例题】已知立体的底面是半径为1 1的圆，而的圆，而垂直于底面上一条确定直径的所有截面都是等垂直于底面上一条确定直径的所有截面都是等边三角形。求这个立体的体积边三角形。求这个立体的体积 解：解：底面圆周方程底面圆周方程122 yx) 1 , 1(x过过 点作垂直点作垂直于于 轴的平面轴的平面 xx被立体截成边长为被立体截成边长为 的等边三角形的等边三角形 2122xy三角形面积三角形面积)1 (360sin)12(21)(222xxxA立体体积立体体积11( )dVA xx1213 (1)dxx4 33【例题】立体是

25、以半径为【例题】立体是以半径为 的圆作底，以平的圆作底，以平行于底、长为行于底、长为 的线段做顶，高为的线段做顶，高为 的正劈的正劈锥锥,求此立体体积。求此立体体积。 aa2hOxxha解：解：底面圆方程底面圆方程 222ayx),(aaxOxxha 过点过点 作垂直于作垂直于 轴的平面，被立体截成轴的平面，被立体截成底边长为底边长为 的等腰三角形。的等腰三角形。 xx2222xay三角形面积三角形面积 22)(xahxA正劈锥的体积正劈锥的体积2220( )d2d2aaaa hVA xxhaxx四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长 absdsABPPP 在区间在区间 上具有连续导数的单值函上

26、具有连续导数的单值函数数 对应一段光滑曲线弧。对应一段光滑曲线弧。 ,ba)(xfy 22dddsxy21dyx 应用微元法，应用微元法，光滑曲线弧在光滑曲线弧在 段段的弧长为的弧长为 BA21dbasyx曲线弧长公式为曲线弧长公式为相应的弧长函数为相应的弧长函数为 2( )1dxas xyx22dsxyt若曲线由参数方程若曲线由参数方程 给出，给出， 在在 上具有连续导数，上具有连续导数，可以用参数可以用参数 为积分变量计算曲线弧长为积分变量计算曲线弧长)()(tyytxx)( t)(,)(tytx,t)()()(,sin)(cos)(yx若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程 给出，给出，

27、在在 上具有连续导数，由直上具有连续导数，由直角坐标与极坐标之间的变换关系知角坐标与极坐标之间的变换关系知因而因而d( )cos( )sindx d( )sin( )cos dy 以以 为积分变量表示弧微分为为积分变量表示弧微分为2222ddd( )( ) dsxy 并计算弧长并计算弧长22dsaayx【例题】两电杆之间的输电线因自身重量不【例题】两电杆之间的输电线因自身重量不能成为水平直线，下垂成悬链线。如图设立能成为水平直线，下垂成悬链线。如图设立坐标，悬链线方程为坐标，悬链线方程为求：在求：在 一段悬链线的长度。一段悬链线的长度。 cosh(ee )2xxaaxayaa,aa解：解：ax

28、ysinh悬链线弧元悬链线弧元 2d1dsyx悬链线弧长悬链线弧长coshdaaxsxa12 sinh1(ee )2.35aaa02 sinhaxaa21 sinhdxxacoshdxxa【例题】求星形线【例题】求星形线 的全长。的全长。330cos02sinaxattyat aotaytax33sincosayx解：解：2d3 cossin dxatt t 22204dsxyt星形线全长星形线全长2d3 sincos dyatt t 2012sin cos d6att ta求旋轮线求旋轮线 一拱的长度一拱的长度(sin )(02)(1 cos )xaya解：解：旋轮线参数方程的微分为旋轮线参

29、数方程的微分为 d(1cos )ddsin dxaya 弧元弧元 22dddsxy2(1 cos )d2 sind2aa一拱的长度一拱的长度 22002sind4 cos822saaa)cos1 ( aa2【例题】求心形线【例题】求心形线的全长。的全长。(1 cos )a解：解：sina弧元弧元22dds22(1 cos )sinda 2(1cos )d2cosd2aa全长全长 202cosd2sa202cosd2cosd822aaa五、平均值五、平均值 在实验中，被记录下来的原始数据需要在实验中，被记录下来的原始数据需要经过适当的处理才能得到测量值。确定了测经过适当的处理才能得到测量值。确定

30、了测量值的可靠程度才可能推断物理量的真值。量值的可靠程度才可能推断物理量的真值。 真值是测量不到的，只能对真值进行估算。真值是测量不到的，只能对真值进行估算。 在物理实验中，如果若干次重复测量得在物理实验中，如果若干次重复测量得到到 个测量值个测量值 ，该物理量真值的，该物理量真值的最佳估值是这些测量值的算术平均最佳估值是这些测量值的算术平均 nnyyy,21niinynnyyyy1211 这里测量值这里测量值 是离散变量。计算连续变是离散变量。计算连续变量的算术平均值将用到定积分。量的算术平均值将用到定积分。iy函数的算术平均值函数的算术平均值 考虑连续函数考虑连续函数 在区间在区间 上所取的上所取的“一切值的平均值一切值的平均值 )(xf,bay把区间把区间 分成分成 等分，分点设为等分，分点设为 ,banbxxxxxxannii1110 每个小区间的长度都是每个小区间的长度都是 ，在每个，在每个分点处的函数分点处的函数 值依次是值依次是nabx)(xf)(,)(,)(,)(,)(1122110