2019-2020年高中数学第一章导数及其应用章末综合测评含解析新人教A版

1、2019-2020年高中数学第一章导数及其应用章末综合测评含解析新人教A版、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016天津高二检测)若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0C(a,b),则limhT0fxq+h fx0h的值为()A. f ' (X0)B.2f ' (X0)C. 2f '(X。)D.limh0f x+h fx0hh=2limh0xq+h - fx0h ,2h=2f (x0)故选B.2.设曲线y=ax2在点(1 , a)处的切线与直线2x y6 = 0 平行，则 a=()A.C

2、.D. 1y' =2ax,于是切线斜率k= y |x=1=2a,由题意知 2a =2,，a=1.3.卜列各式正确的是A.(sina)=cosa( a为常数)B.(cosX)=sinC.(sinx)=cos(2 , +0°) D.(x 5)165x由导数公式知选项A中(sina)'=0;选项B中(cosx)'=sinx;选项D中(x 5)=5x 64 .函数f(x)=(x3)ex的单调递增区间是()A. (8, 2)B.(0,3)C. (1,4)D.(2 , +00)【解析】f ' ( x) = (x2)ex,由 f' (x)>0得x>

3、;2,所以函数f(x)的单调递增区间是【答案】5 .(2016东北三校联考)若函数f(x)=！x3f'x2x,则f'(1)的值为()3A.0B.2C.1D.-1【解析】f'(x)=x22f'(1)x1,贝Uf'(1)=122f'(1)11,解得f'(1)=0.【答案】A6.如图1所示，图中曲线方程为y=x2-1,用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是()图1A. /X2-1dxB. 2(x21)dxC. jx211dxD.r(x21)dx-(x21)dx【解析】S=-(x21)dx+(x21)dx011=2|x211dx.0【答案】

4、C7.(2016泰安高二检测)函数f(x)=x3+3x2+3xa的极值点的个数是()A.2B.1C. 0D.由a确定【解析】f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2>0,.函数f(x)在R上单调递增，无极值.故选C.【答案】C8.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间2,1上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为()C. 10D. 19【解析】f(x)'=3x2+6x+9=3(x+1)(x3),所以函数在2,-1内单调递减，所以最大值为f(2)=2+a=2.，a=0,最小值f(1)=a5=-5.【答案】A9.已知y=f(x)是定义在R上的

5、函数，且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是()A.(0,1)B.(-1,0)U(0,1)C.(1,+oo)D.(8,1)U(1,+oo)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)-x>0,设g(x)=f(x)x,则g'(x)=f(x)'-1,由题意g'(x)=f'(x)1>0,函数g(x)在R上单调递增，又g(1)=f(1)1=0,.原不等式？g(x)>0?g(x)>g(1).x>1,故选C.【答案】C10.已知函数f(x)=x2+2x+alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的

6、取值范围是()A.a>0B.a<4C.a>0或aw4D.a>0或a<4【解析】f'(x)=2x+2+a,xC(0,1),x.f(x)在(0,1)上单调，f'(x)>0或f'(x)W0在(0,1)上恒成立，a.a.-2x+2+->0或2x+2+wo在(0,1)上恒成立，xx即a>2x22x或aw2x2-2x在(0,1)上恒成立.2121设g(x)=2x2x=2,+2j+2,则g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)max=g(0)=0,g(x)min=g(1)=-4.aAg(x)max=0或aWg(x)min=-4.【答案】

7、C11.曲线y=ln(2x1)上的点到直线2xy+3=0的最短距离为()A.5B.25C. 3 5D. 2【解析】设曲线上的点A(X0,ln(2X01)到直线2xy+3=0的距离最短,则曲线上过点A的切线与直线2xy+3=0平行.因为y'=A(2xT)'所以y' | x =2/口x0=X-T=2,解得xo=1.2x01所以点A的坐标为(1,0).所以点A到直线2xy+3=0的距离为|2X1-0+3|5任f' (0)>0 ,且对于任意实数x,12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f'(x)有 f(x)>0,则 ff的最小值为()A

8、. 35B.2C. 23D.2【解析】由题意，得f' (x)=2ax+ b.由对任意实数x,有f (x) >0,知图象开口向上，所以a>0,且 A =b2-4ac<0,所以通b2.4因为f' (0)>0 ,所以b>0,且在x = 0处函数递增.由此知f(0) =c>0.所以*1 a+ b+ c b+ 2Vac b+2bb4 = 2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在题中的横线上)23x 27t7t2 I - cosy j (0 - cos 0)8+1.2x+y+1 = 0,则点 P14.(2014江西高考)若曲线y=

9、e-上点P处的切线平行于直线=-e-x,的坐标是【解析】设Rxo,yo),y=e,y' 点P处的切线斜率为k=-e-X0=-2, .一Xo=ln2).Xo=In2)yo=e'n2=2, 点P的坐标为(一In2,2).【答案】(-ln2,2)15 .(2016南京高二检测)直线y=a与函数f(x)=x33x的图象有三个相异的公共点,则a的取值范围是.2【解析】令f(x)=3x3=0,得x=±1,可求得f(x)的极大值为f(1)=2,极小值为f(1)=2,如图所示，2<a<2时，恰有三个不同公共点.【答案】(-2,2)16 .周长为20cm的矩形，绕一条边旋转

10、成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为cm.【解析】设矩形的长为x,则宽为10x(0<x<10),由题意可知所求圆柱的体积V=兀x2(10-x)=10Ttx2-兀x3,V'(x)=20兀x37tx.由V，(x)=0,得x=0(舍去),x=20,3且当xCp,鲁时,V，(x)>0,当xC偿10时，V'(x)<0,13，当x=骨时，V(x)取得最大值为兀cm3.3274000三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .(本小题满分10分)已知曲线y=x3+x2在点P0处的切线li平行于直线4xy1=0,且点R在第三象限，(

11、1)求R的坐标；(2)若直线l，11,且l也过切点P。，求直线l的方程.【解】(1)由y=x3+x2,得y'=3x2+1,由已知得3x2+1=4,解得x=±1.当x=1时，y=0;当x=-1时，y=-4.又因为点P0在第三象限，所以切点R的坐标为(1,4).(2)因为直线l，l1,l1的斜率为4,-，1所以直线l的斜率为一4,因为l过切点R,点R的坐标为(1,-4),1r所以直线l的万程为y+4=-4(x+1),即x+4y+17=0.18 .(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(x+1)+gx2ax+1(a>0).(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0)处的切

12、线方程；(2)当a>1时，求函数y=f(x)的单调区间和极值.【解】(1)f(0)=1,f'(x)=-+x-a=xx,f'(0)=0,所以函数yxI1xI1=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)函数的定义域为(1,+8),令f'(x)=0,Qttxxa+1即"x+1解得x=0或x=a1.当a>1时，f(x),f'(x)随x变化的变化情况为x(-1,0)0(0,a-1)a1(a1,+0°)f'(x)十0一0十f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增可知f(x)的单调减区间是(0,a-1),单调增区间是(

13、一1,0)和(a1,+°°),极大值为f(0)=1,极小值为f(a-1)=alnaga2+3.19 .(本小题满分12分)(2016荷泽高二检测)已知函数f(x)=x2mnx,h(x)=x2x+a)(1)当a=0时，f(x)>h(x)在(1,+°°)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当mi=2时，若函数k(x)=f(x)h(x)在区间1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.【解】(1)由f(x)>h(x)在(1,+8)上恒成立，x得mi<-在(1,+00)上恒成立，inx“x一.inx-1令g(x)=jn-x,则g(x)=口x2

14、,故g(e)=0,当xC(1,e)时，g'(x)<0;x(e,+8)时，gz(x)>0.故g(x)在(1,e)上单调递减，在(e,十°°)上单调递增，故当x=e时，g(x)的最小值为g(e)=e.所以mee.(2)由已知可知k(x)=x2lnx-a,函数k(x)在1,3上恰有两个不同零点，相当于函数(j)(x)=x2lnx与直线y=a有两个不同的交点，2x2旷(x)=1x=,故(T(2)=0,所以当xC1,2)时，。(x)<0,所以(Hx)单调递减，当xC(2,3时，叱(x)>0,所以(Hx)单调递增.所以4(1)=1,4(3)=32ln3,

15、4(2)=22ln2,且。(1)>。(3)>。(2)>0,所以22ln2<aw32in3.所以实数a的取值范围为(22in2,32in3.20 .(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米，高为h米，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2,底面的建造成本为160元/m2,该蓄水池的总建造成本为12000兀元(兀为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100

16、。2兀rh=200兀rh(元)，底面的总成本为160兀r2元，所以蓄水池的总成本为(200兀rh+160兀r2)元.又根据题意200兀rh+160兀r2=12000兀所以h=5r"(300-4r2)，从而V(r)=兀r2h=4(300r4r3).5因为r>0,又由h>0可得r<513,故函数V(r)的定义域为(0,5木).(2)因为V(r)=4<300r-4r3)，5所以V'(r)=2(300-12r2).5令V'(r)=0,解得ri=5,2=5(因为2=5不在定义域内，舍去).当rC(0,5)时，V'(r)>0,故V(r)在(0

17、,5)上为增函数；当rC(5,543)时，V'(r)<0,故Mr)在(5,5镉)上为减函数.由此可知，V(r)在r=5处取得最大值，此时h=8.即当r=5,h=8时，该蓄水池的体积最大.21 .(本小题满分12分)(2016长沙高二检测)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a,b值,并求S的最大值.【解】由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=a所以S=：(ax2+bx)dx=61a2b3,'0又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点,x+y=4

18、,由方程组1_ax2+bx得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式A=0,即(b+1)2+16a=0.12于是a=-16(b+1)2,代入式得：128b3,128b23-b&b)=3b+14(b>0)，S(b)=3b+i5；令S'(b)=0,得b=3,且当0Vb<3时，S'(b)>0;当b>3时,S'(b)<0.故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，一9即a=-1,b=3时，S取得取大值，且Snax=222.(本小题满分12分)已知函数f(x)=alnx+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切x十1x线方程为x+2y3=0.(1)求a,b的值；.Inx(2)求证：当x>0,且x4时，f(x)>一 lnx1【解】由于直线1x+2y 3=0的斜率为一2