2019-2020年高中数学联赛(陕西预赛)试题含答案

1、2019-2020年高中数学联赛（陕西预赛）试题含答案、选择题（每小题6分，共48分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合 M =1,2,3,|,10A是M的子集，且A中各元素的和为8,则满足条件的子集A共有（）A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组J_ -v/3x - y - 0（x - J3y + 2之0表示的平面区域的面积是（y . 0A吏 八.2B. ,3C. 2D. 2x33、设a,b,C是同一平面内的三个单位向量，且a_Lb,则（Ca）（cb）的最大值是D. 1A.1、24、从1211,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3

2、个数构成等差数列的概率为1A.一51B.103C.191 D. 385、A,B是抛物线y=3-x2上关于直线x + y = 0对称的相异两点，则| AB |等于（A. 3B. 4C. 3 2D.6、如图，在棱长为则三棱锥M - BCD1的正四面体 ABCD中，G为ABCD的重心,的外接球的表面积为（7、8、A.二3B. 一 二2C.fD.设函数f (x) =x3+ax2+bx+c ( a,b,c均为非零整数)f (a) =a3,A. -16设非负实数A. 2一3f（b）=b ,则c的值是（）M是线段AG的中点,北6十/be十/ca的最小值为B. -4C. 4D.16a, b, c 满足 ab

3、bc ca = a bB. 3C. -3D.22二、填空题（每小题8分，共32分）9、在数列an中，a4=1,a11=9,且任意连续三项的和都是15,则a201610、设m,n均为正整数，且满足24m=n4,则m的最小值是.11、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x,若又xw1,2,不等式af(x)+g(2x)之0恒成立，则实数a的取值范围是.设xwR,则函数f(x)=|2x1|十|3x2|+|4x3|+|5x4|的最小值为第二试、(本题满分20分)设x,y均为非零实数，且满足xsiny cos55xcos ysin 55 9 二=tan20(1)求

4、Y的值；(2)在AABC中，若tanc=y,求sin2A+2cosB的最大值.二、(本题满分20分)已知直线l:y=J3x+4，动圆O:x2+y2=r2(1<r<2),菱形ABCD的一个内角为600,顶点A,B在直线l上，顶点C,D在圆。上，当r变化时，求菱形ABCD的面积S的取值范围.三、(本题满分20分)如图，圆Oi与圆。2相交于P,Q两点，圆Oi的弦PA与圆。2相切，圆O2的弦PB与圆Oi相切，直线PQ与APAB的外接圆O交于另一点R.求证：PQ=QR.1一.四、(本题满分30分)设函数f(x)=lnx+a(1),a=R,且f(x)的最小值为0,x(1 )求a的值；(2 )已

5、知数列an满足a1 = 1 ,an 由=f (an)+2(ne N+),Sn=E十区】十区】十I。+bn，其中m表示不超过m的最大整数.求Sn.五、（本题满分30分）设a,b,c为正实数，且满足abc=1,对任意整数n之2,证明:2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题参考答案及评分标准说明：1 .讦阅试卷时，清依播本讦分标一试第一题只议6分扣0分两裆：第二题只设8分或0分两格；二试第一、二、三题5分为一个档次，第四、五题10分为一个档次。不要再增加“它中间档次。2 .加臬先生的解笨方法和本弊军不同.只关思珞合理,步履正，在评点计可拿累本评分标准适当时分移次评分。第一试一、选择题:本题共8小

6、地，每小题6分，共48分.在每小U给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合1,2,3,1O|,A是"的子集.且d中各元京的和为8,则褥足条件的子集.4共有（）A.8个B.7个U6个D.5个解C元索和为8的子集A行：|8|1,7|,|2,6i,13.51.1.2,51/1,3,41,共6个.B-y<0.2 .在平面直角坐你系中,不等式组X-舟.2,0,表示的平面区域的面积是（）y>0A亨B.万C.2D.2JT解：B.不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），火中三个顶点的坐标分别是4（-2,0）、。（0.0）、8（1篇）.易知,分。8的面积=3

7、 .设%人c是同一平面内的三个单位向量,且a_Lb.则（c-G（c-b）的最大值是（）A丘Bl-"CG-1D.1tt：A.【方法1】因为=1,所以a-b=0.S6r显.设向量。与。的夹角为乳则（c-a）（e-b）c'-c（a+b）”b«c2-Icl-lablcos=l&.当且仅当二-l,即0时等号成立.故（0）（C-»）的最大值为I后(力法2依题意,不妨设0=(l,O)、b=(O'l)、CN(cW>,si0,则(C-fl)*(c-ft)=(co»#-1)ccs$*»in0(sind-1)=+(co+sin。)=1-

8、&sin(8+学).故”in(e孑)=-l时c-a)(c")取得最大值，最大值为1立4.从1.2.,20这20个败中.任取3个不同的数,则这3个数构成等是数列的假率为()A.yB得C-呜解：D.从这20个数中任取3个数,不同的以法共有弓=1140种.若取出的3个数aAc成等差数列.则。*c=%,所以%c同为奇数,或同为偶数.且%c确定后.6做之而定故所求假率为ps白5.4/是抛物线尸3-上关于直线”八0对称的相异两点,则1481等于()A.3B.4C3&D.4W：G【方法1】因为点火8关于宜级”尸。对你，所以L=l.设直线,48的方程为y=-6,代人3-,得2一二。.

9、由4=»1-4(5-3)0,得6毕.4设4(，九)、8(。,力),A8的中点为的(凝,为)，则&与X«-y.从而&*6=6又点M(在直线、八0上，所以-；.6-；=0.即6=1将6=1代人,得/"-2=0,解得/=-2,/=1.所以4(-2.-1)网1,2).故认例=3几【方法2因为点关于亶线z*y0对称,所以可设4(a»)、8(-4t-a).又点儿打在瓶物成上,所以亡丁解叫或1;I-a»3(-6)lb,一I：os2.不妨设4(-2,-1)/(1,2),则从m=3几A6 .如图I,在校长为I的iE四面体人成出中.G为48。的重心

10、，"是/'我段4c的中点.则三核谯,M-5C0的外接球的表面枳为()/MA儿"B寺C.D.誓IB：B.如图1,连结EC.因为G为正ABCD的重心.所以4G«L平面8CD.从2016笫 2 黄(共 8 寅而AC在KMGB中,48=1=京x§二则AC=，A炉-BC'=弋.干是.，"G4c=亚在m-WGff中,M8=/MG2”/=§.从而,MC=MB=冬所以ME2MC2=1'=8C所以A/W1MC.m.MCLMD9MDL.MB.所以三校饿M-BCD的外接球的宜泾等于以MBJfCJtD为技的正力体的时角战长设三校馀W-

11、flCD的外接球半径为七则2R=QMB专故外接球的表血税S=4万*=ir.7 .设函数/任“"&«均为非零整数).若/(0)=J=6,则c的值是()A.-16B.-4G4D.16解：D.设g(«)=/(*)-p二"?+k+c.则由/(")=。'/(5),得g(")=g(6)=0.所以。、6为方程g(x)=0的两个根，则。+6口曲=W消去6.得-六1=-(a2*l)(a-l)-三f因为c为整数,所以a+1=£1.即。=0(含去)或。=-2.故c=16,8 .设非负实数a、6、c满足必+60+<»

12、=。+6+<:>0,则7/+/卫+，£的最小值为()A.2B.3C#D.26解八不妨设由均值不等式.得Yab+-/be7)n("+6)Yob(6+c)-/be*(c4-a)>fca(cJab+aJbe>6>/M(q+6)Tai(fe-¥c)y/bc-(c*a)-/caN2/ab-/ab2Ybcy/ic+2Teay/ca«2(aA+ca)当IL仅当。=0且a=6时，等号成立.乂"3*6c+B=a+6+e>0,所以-/abYbc+-/ca2.由c=0va=b.ab6c+e=a+6+c,得。=6=2tc=0.故当a

13、、6、c中有购个为2,一个为0时.依A*Q取得敢小值为X二、填空题：本题共4小题，短小JS8分，共32分将答案填在题中的横段上.9 .在数列a；中,。4=1.a”=9,且任意连续三项的和都是15,则36=斛：5.依阳急，对任意nwN.a.+a.1*ae<2«aa>l*4-严I5.所以a.1=Q.从而,"!»a43I=Oii=90q=15-al-a2=5.故。场二e»o>=5.10 .设m/均为正整数，口滔足24m=厂则m的最小值是.解：54.由H4=24m=2,x3xmJ9m的设小值为2X3=54.11 .设，“)/小)分别是定义在R上

14、的奇函和偶函数,且Ax)，G02,若对”*1.2】不式次x)+g(2x)。0恒成立,则实数a的取值范围是.解：18.因为所以/I-X)&(-X)=2：即-4“)*f(x)=2由、Wg(x)二号二,MGM号二由研D，6(2«)30.得a(2'-2”)令W,则由xsl,2,得“借茅，旦2力+2也=，+2.所以由得对“号争他成立.因为函数f在怎掌上单调递增,所以当，时.Q吟).噂所以"这口|J"'-gOoIX设xwR,则函数/(%)=-IIM3%-2I+I4X-3I+15”-41的最小值为.12a4/(1)=2lx-yl+3lz-于I+4lx-不

15、I+51%-了I=2(x'"1+3(+xl)*4lx-12l(x-y)-(«-y)l*3l(*-y)-(x-y)l4142=2I-tz-l31-I=1.，/AJ当且仅当(4-/)("-专)他(“/)(”-今0逐-90.即、4时,等号成立.故第二试一、(本题满分20分)xsiny4-ycoe设人丁均为非零实数旦满足一三5；=tan.ir,.it/uxcc*y»in2016年全H片中“多U震陕者雾久愦赛E超参劣答*第4 «(«««)(1)求十的值;(2)在MAC中，若tanC=j求sin2A*2cosB的最大值

16、.tun晟工解：(1)由已知得5xa9it二Mn.I-工tan20tantan。Q令5Mtan凡则-=tan,BPUn(*y)=n1-tan仇an-y-所以G手=A/得，即子XAsZ).故工=Un8=tan(A">。)=丽。=1.10分x44(2)由(1)得UmCL因为0<C<凡所以。=今.从而/券，则乂,亨-2B.15分442所以sinZ44-2co6fi=sin(竽-28)*2c88=-c<m28+2co6»n-2con'fl4-2cosBI=-2(cob8-)2去故当=+,即"二孕时,sin24取得最大值为"I&qu

17、ot;.20分二、(本题满分20分)已知直线1：八届+4,动圆0：/+尸=八1<了<2).菱形48C0的一个内角为60。,顶点人月在直纹/上，顶点C、D在圜。上.当，变化时，求菱形ABCD的面积S的取值范围.解：因为菱形ABCD有一个内角为60。,所以dACD或MCD为等边三角，不妨设AACD为等边三角形，如图2所示.因为圆心0到宜线I的足离为2>r,所以直线/与圆0初离.5分设直线CD的万卷为y6,则贪戕/与CO的距离为d-写生.又圆心0到直线CD的距离为孚，所以ICD=2"T号)”7577：由d=/ICDI.得亨？图210分化简得川-26+4=3，.因为1<

18、;r<2,所以3<6'-26*4<12解得-2<6<1.或I<r<4.又S=2Ssg=2x亨IC0l'=2x亨x(%产/=f(6_4)'.15分因为函数S=/（6-4）?在（-2.1）和（1.4）上分别单两递减，所以菱形ABC。的面枳S的取他范也为（0./而弘冬5,6万）20分三、（本题满分20分）M3如图3,财6与恻。？相交于八Q两点.倒。1的弦E4与IR1。】相切，驯。？的茏/山与圆仪相切在尊盟£APA8的外接BJ0交于另一点R.求证:PQuQR.证法I:如图3,连结分别交PQ、PO于点MJV,则OtO1±

19、;。.且M为PQ的中点.连结Pd、PO】、OO、OO2、OQ、OR,5因为/少与圆。？相切.所以/乂LP。”又PA为冽0,与胭0的公共弦，所以PA±0,0.所以P0J/0。10分同理,POiO】O.所以四边形PO.OO,为平行四边形.从而,N为PO的中点.乂M为PQ的中点,所以MNOQ,即aO1Oe15分因为。,O,«LPQ,所以0QLPQ,即仪，摩.又OP=OR,故Q为PR的中点，件PQ=QR.20分证法2：如图4,连结*、8Q、AR、8R.因为PA与圆02相切，P3与101。，相切，所以乙APQ=48Q.乙/MQ=K8PQ.5分所以A/MQsWQ.所以督,留'即

20、"0=4Q8Q.10分又乙AQR=LAPQ+乙PAQ=LAPQ+LBPQ=XAPB、乙QRA=LPRA乙尸8A,所以（M/fsAR48.同理,AQR0S4RW.15分所以AM/?saqm.明4所暝器嚼，即故/V2=Q*,即PQ=QR.20分四、（本题满分30分）设函数/（X）wR,且“）的最小值为0.（D求0的值;（2）已知数列满足"nl,。.,，/3.）+2（nwN.）.设S.=%-aj,其中析表示不超过实数m的最大整数.求S.2016年全H高中数学取赛族内真区假寥鼠0专§答*不6天（再8页）解:/=+-亍=宁."0.当aWO时，(幻>0,明/(

21、外在(0.8)上年调递增,无蛀小值,不合题总.当"0时若0<“<",则八")<O;x>a.WJ/(x)>0.所以函数/(、)在(OR上单调递城,在(%8)上单调递增所以/(*).=<>)=池-"，1.设g(")=lna-al(a>0)则g()=-1=aa若0<。<1.则屋(a)>0;若。>1,则，(G<0.所以函数g(a)在(0.1)上取间递功.在(I.8)上单调递减.所以g(a)Wg(l)=0.当11仅当。=1时,等号成立.故当0=1时/(%)取得最小低0.I。分(2)由(I)知4")=1皿*,-1.所以。.|=/(4)+2=ln