初三数学几何的动点问题专题练习及答案

1、动点问题专题训练1、如图，已知ABC中，A8 = 4C = 10厘米，3c = 8厘米，点。为的中点.同时，点(1)如果点尸在线段BC上以3厘米/秒的速度由3点向C点运动, Q在线段CA上由。点向A点运动.若点。的运动速度与点产的运动速度相等，经过1秒后，/BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使48尸。与CQ尸全等？(2)若点。以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点。第一次在A3C的哪条边上相遇？2、直线6与坐标轴分别交于4 8两点'动点尸、

2、。同时从。点出发,同时到达A点，运动停止.点。沿线段。4运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线B-A运动.(1)直接写出A、8两点的坐标；(2)设点0的运动时间为/秒，。尸。的面积为S,求出S与l之间的函数关系式；(3)当S = g时，求出点尸的坐标，并直接写出以点。、P、。为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.3如图，在平面直角坐标系中，直线人户一勿一8分别与x轴，)，轴相交于4, B两点,点尸(0, k)是y轴的负半轴上的一个动点,以尸为圆心，3为半 径作。P.(1)连结"，若以=尸3,试判断。尸与x轴的位置关系，并说明理由；(2)当k为何值时，以。尸与直线/的两个交点和圆心

3、P为顶点的三角形是正三角形?9/204如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点 A的坐标为(-3, 4),点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M, AB边交y轴于点H.(1)求直线AC的解析式；(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位 /秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为S (SW0),点P的运动 时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，当t为何值时，NMPB与NBCO互为余角，并求 此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.5在RtAABC中，ZC=90°, AC

4、= 3, AB = 5,点P从点C出发沿CA以每秒1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点。从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向 点5匀速运动.伴随着P、。的运动，OE保持垂直 平分PQ,且交PQ于点。，交折线Q5ICCP于点 E.点P、。同时出发，当点Q到达点B时停止运 动，点P也随之停止.设点产、。运动的时间是，秒 0>o).(1)当f = 2时，AP=,点。到AC的距离 是一；(2)在点P从C向A运动的过程中，求小APQ 的面积S与f的函数关系式；(不必写出f的取值范围)(3)在点E从5向。运动的过程中，四边形。BED能否成 为直角梯形？若能，

5、求，的值.若不能，请说明理由；(4)当0E经过点C时，请直接写出f的值. 6 如图，在 RtZXABC 中，ZACB = 90°, = 60°, BC = 2.点。 是AC的中点，过点。的直线/从与AC重合的位置开始，绕点。作 逆时针旋转，交A8边于点过点。作C石 交直线/于点 E,设直线/的旋转角为a .(1)当夕=度时，四边形。8C是等腰梯形，此时4。的 长为一；当夕=度时，四边形ED3C是直角梯形，此时4。的 长为一;(2)当 = 90。时，判断四边形。8C是否为菱形，并说明理由.7 如图，在梯形 A8C0 中，AD / BC. AO = 3, DC = 5, AB

6、= 4® N3 = 45。.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N 同时从C点出发沿线段8以每秒1个单位长度的速度向,八终点。运动设运动的时间为，秒./(1)求8c的长./(2)当MNA8时，求/的值./ An(3)试探究：，为何值时，M/VC为等腰三角形.J8如图1,在等腰梯形488中，AD/BC 9 E是A6的中点，过点工作 EFBC交CD于点 F . A5 = 4, BC = 6, NB = 60。.(1)求点E到BC的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点，过尸作PM_LEF交8c于点M,过M作 MN AB交折线ADC于前N ,连结PN,设石P

7、 = x.当点N在线段A。上时(如图2) , 尸MN的形状是否发生改变？若不变，求出PAW的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段。上时(如图3),是否存在点P,使PMN为等腰三角 形？若存在，请求出所有满足要求的k的值；若不存在，请说明理由.9如图，正方形ABCD中,点4 6的坐标分别为（0, 10） , （8, 4）,点C在第一象限.动点尸在正方形ABCD的边上，从点A出发沿FACfD 匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为力秒.（1）当尸点在边 四上运动时，点0的横坐标x （长度单位）关于运动时间£ （秒）的函数图

8、象如图所示，请写出点0开始运动时的坐标及点尸运动速度；（2）求正方形边长及顶点。的坐标;（3）在（1）中当t为何值时，叫的面积最大，并求此时尸点的坐标；（4）如果点只0保持原速度不变，当点尸沿4f A匀速运动时，OP 与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理 由.10数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形A5CD是正方形，点E是边3C的中点. ZAEF =90 ,且E尸交正方形外角NDCG的平行线”于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接 ME9贝！JAM=EC,易证八4廊且EB,所以AE = EF.在此基础上，同学们作

9、了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边 BC上（除5, C夕卜）的任意一点”，其它条件不变，那么结论"AE=E 仍 然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确， 请说明理由；（2）小型提出：如图3,点E是5C的延长线上（除C点外）的任意一点， 其他条件不变，结论"AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正 确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.11已知一个直角三角形纸片。4B,其中NAO8 = 90。，(9A = 2, OB = 4.如图， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边

10、08交于点C,与 边A8交于点。.(I)若折叠后使点8与点A重合，求点。的坐标;(II)若折叠后点8落在边上的点为8',设=OC = y9试写出y关于x的函数解析式，并确定)，的取值范围;(ID)若折叠后点3落在边OA上的点为夕，且使&求此时点。的坐 标.12问题解决如图（1）,将正方形纸片ABC。折叠，使点B落在CD 边上一点£ （不与点C,。重合），压平后得到折痕CE 1AMMN.当生时，求生的值. CD 2BN方法指导：为了求得叫的值，可先求BN、AM的长，不妨设:7 BN类比归纳在图中,若若V,则黑的值等于若若则零的值 等于若吝 （为整数）'则黑的值等

11、于（用含的式子 表示）联系拓广如图（2）,将矩形纸片A8C。折叠，使点B落在CO边上一点E （不与点C,。重合）,压平后得到折痕设器= />1）,音=则黑的值等于.（用含的式子表示）1 .解：（1）”=1秒， 8P = CQ = 3xl = 3厘米， AB = 10厘米,点。为43的中点， 8。= 5厘米.又； PC = BCBP, 8c = 8 厘米， 尸。=83 = 5厘米，:PC = BD.又, AB=AC, 4 = NC,：.4BPD94CQP. （4分）.以¥%, :. BP手CQ,又四CQP, ZB = NC,则8P =尸C = 4, CQ = BD = 5,BP

12、4 点P,点。运动的时间,=一秒， Vq -="区米/秒. （7分）2 r 4 43（2）设经过工秒后点尸与点。第一次相遇，由题意，得"x = 3x + 2xl0,4QQ 解得X =一秒.3QA点尸共运动了不、3 = 80厘米.V 80 = 2x28 + 24,，点尸、点。在A8边上相遇，,: ZAOB= NPEB=90。, ZABO= /PBE,:.MOBsAPEB,3>/3生=笠，即AB PB 4>/5 PB.*浮，A 尸。=5。-尸8 = 8-ML2:.P（0,竺18）,2r _3 / 22当圆心P在线段0B延长线上时，同理可得P（0- 淬-8）,=一1

13、一 8,2，当竺一8或&=一±叵一8时，以。尸与直线/的两个交点和圆心尸为顶点的 22三角形是正三角形.28.过点A作AEU轴垂足为E(如图1)vA(-3,4) ;.AE=4 0E=3 /.OA=VAE2+OE2 =5 ,四边形ABCO 为菱形.OC=CB=BA=OA=5 .C(5,0) 1分11/20设直线AC的解析式为:产kx+b,直线AC的解析式为:|5k+b=0匕 一：!-3k+b=4b=-1 52y=-4-x+- 2 2|5k+b=0(2)由(1)得M点坐标为(0.) .O!吟如图1,当P点在AB边上运动时由题意得OH=4 z.HM=j- .-5=pP-MH=l(5

14、-2t)-i0亨呼(0W吟)当P点在BC边上运动时，记为P1 v£OCM=£BCM CO=CB CM=CM】分aAOMCABMC aOM=BM=1- Z.MOC=ZMBC=90°.&匆BBM=5)亨号(今5) .01(3)设0P与AC相交于点Q连接0B交AC于点K"AOC=£ABC .ZAOM二乙ABMMPB+乙BCO=90° BAO=ZBCO BA0+£A0H=90o.4MPB=£AOH aZMPB=£MBH当P点在AB边上运动时，如图2VZ.MPB=£MBH .PM=BM vMHlP

15、B.PH=HB=2 .PA=AH-PH=1 zABOC ,"PAQ=£OCQ,.l=y1分4"AQPHQO .,.AQPsACQO ;W_AP_1 I - - . 一 = CQ CO 5在 RdAEC 中 AC=VAEEC5'=W =4vT.aq=2L qc=10L在 RtOHB 中 OB=/HB4h0» =2VT vAClOB OK=KB AK=CK.0K=vT AK=KC=2vT aQK=AK-AQ=3Ly1分图2 /.tanZOQ当P点在BC边上运动时，如图3 v£BHM=zCPBM=900乙MPB=4MBH1 1.tan

16、3;MPB=tan£MBH 喘喘等哆.BP门号1分36，PC = BC-BP=5-半 W3 3由PCOA同理可证APQCsAOQA.,.然:基Ay AU.”J “AQ 3/OK=VTcq=/ac=W /.QK=KC-CQ=VTH R.lanZ.OQK=-=l KQS3综上所述，当时，4MPB与Z.BCO互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为去 24当上修时，上MPB与ZBCO互为余角，直线0P与亘线AC所夹锐角的正切值为1 65.解：(1) 1,-：5(2)作 QFL4C于点尸，如图 3, AQ = CP=f,，AP = 3九由AQFs&ibc, zjc = V52

17、-32 =4 ,6分15/204 A 5 = 1(3-/) -r, 256 +/5(3)能.当OEQB时，如图4.:DELPQ, ；.PQ人QB,四边形QBE。是直角梯形.此时 NAQP=90。.由APQs/vtBC,得丝=廿， AC AB即1 = 士.解得=2.358如图5,当PQBC时，DE±BC,四边形Q5ED是直角梯形此时NAP。=90。.由aA。尸S/VIBC,得理=理，AB AC即L = 解得七丝.538(4) / = -«£/ = 214点尸由C向A运动，DE经过点C.连接QC，作。GL3C于点G,如图6.PC = t, QC2 =QG2CG2 =|

18、-(5-/)2+4 (5-r)2 . 55Fh PC2 = QC2, Wr2 =|(5-z):+4-(5-r)2,解得/=；.点P由A向。运动，DE经过点C,如图7.(6-r)2 =(5-r)J2 +4-(5-z)2，/ = 155146.解(1)30, 1；60, 1.5：(2)当N。=90°时，四边形瓦厉。是菱形.Za= NACB=90°,，BC/ED.V田”5, 四边形 功酎是平行四边形.6分在 Rt烟7 中，2月份90°, /比60°,6U2,/. ZJ=30°.止4,月02、/?.AO AC = y/3 .8 分2在Rt月如中，ZJ=

19、30，止2.10分又,:四边形反如是平行四边形, 工四边形网纪是菱形7 ,解：(1)如图，过A、。分别作AKL8C于K, DHLBC于H,则四边形ADHK是矩形*. KH = AD = 3.1分 在 RtZXABK 中，AK = 4&sin450 = 4J2BK = 4&cos45° = 4"=4 2分2在RtZXCD”中，由勾股定理得，"C = j5_4r = 3（2）如图，过。作OGA8交8c于G点，则四边形4OG8是平行四边形 MN / AB:.MN DG BG = AD = 3/ GC = 103 = 7 4 分由题意知，当M、N运动到/秒

20、时，CN = t, GW = 10-2r. ：DG/MN NNMC = NDGC又NC=NC：./MNCAGDC .CN _CM* CD - CG即_ =10-2/7解得，17(3)分三种情况讨论：当NC = M。时，如图，即，= 10 2/（图）（图）当MN = NC时，如图，过N作NE_LMC于£解法一： 由等腰三角形三线合一性质得EC = ；MC = ；（10 2f） = 5 TEC 5 T在 RtACEA 中，cos c = = NC t又在中,CH 3COSC =CD 525 解得，=一 8解法二：V ZC = ZC, ZDHC = ZNEC = 90°A /NE

21、C s 4DHCNC EC * DC HC即_ =55-r25T8分当MV = MC时，如图，过M作于/点.FC = -NC = -t 22解法一：（方法同中解法一）FCIac10-2r 5解得/=的17解法二：（图）V ZC = ZC, ZMFC = ZDHC = 90° ：./MFCADHC .FC _MC正一京£即交叱a3560：.t =17综上所述，当r = 、/ = 一或/ = 一时，AMNC为等腰三角形9分38178解（1）如图1,过点£作石G_L8C于点G 1分£为A8的中点， BE = -AB = 2. 2在 RtAEBG 中,ZB =

22、60°, Z. ZBEG = 30°.2 分A BG = -BE = , EG = J*-f = 6. 2图1即点E到8C的距离为6 3分（2）当点N在线段4。上运动时，PMN的形状不发生改变.V PM ±EF, EGLEF, ：. PM /EG.,: EF BC,：.EP = GM , PM =EG = R同理 MN = AB = 4.4 分如图2,过点P作PHLMN于H, ；MNAB, ：NNMC = NB = S。, ZPMH = 30°. PH =-PM 223：.MH = PM.cos300 = -.图2219/203 5则 N=MN M&qu

23、ot;=4 ，一.2 2在 RiPNH 中,PN = yNH2 + PH2 PMN 的周长=PM + PN + A/N = C + "+4.当点N在线段。C上运动时，PMN的形状发生改变，但40可。恒为等边三角 形.当月W = PN时，如图3,作PR工MN于R,则MR = NR3类似，MR =.2:MN = 2MR = 3.7 分MNC是等边三角形，:.MC = MN = 3.当A/P = MN时，如图4,这时MC = MN = MP = J§.此时，x = EP = GM=6->6 = 5-五.当 NP = NM 时，如图 5, ZNPM = ZPMN = 30&#

24、176;. 则 /PMN = 120°,又 /MNC = 60°, NPNM + ZMNC = 180°.因此点P与F重合，为直角三角形./. A/C = PM>tan30° = l.此时，x = EP = GM=6-1 = 4.综上所述，当x = 2或4或（5 JI）时，PMN为等腰三角形. 10分9 解：（1）。（1, 0） 1 分点P运动速度每秒钟1个单位长度. 2分 （2）过点8作8F_Ly轴于点尸，轴于点£,则8r=8, OF = BE=4.：.AF = 10-4 = 6.在 Rt/kA所中，A8 = j82+6 =103 分过

25、点C作CG_Lx轴于点G,与尸8的延长线交于点，.,: ZABC = 90°, AB = BC ：. AABF/BCH.: BH = AF = 6, CH = BF = 8 .:.OG = H/=8+6 = 14,CG = 8+4 = 12，所求C点的坐标为(14, 12) . 4分(3)过点P作轴于点M, PN_Lx轴于点M则APA/s/viBH AP - AM -MP t AM MP3434AM = -b PM =-r .: PN = OM = U-T, ON = PM =-1 .5555设aop。的面积为s (平方单位)A 5 = -x(10-/)(14-/) = 5 + r-

26、z2 (0<r <10) 5 分251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分.47 = 二<0,当/ =一旦 ="时，OPQ的面积最大. 6分102x(=)610此时P的坐标为（一，一） 7分1510（4）当1 = 9或"聿时，。户与PQ相等. 9分10.解：（1）正确.（1分）证明：在48上取一点AM=EC,连接A/E. (2分) :.BM = BE. .ZWE = 45°, :.ZAME = 35°.b是外角平分线， :.ZDCF = 45 A ZECF = 135°., NAME = /ECF .v ZA£B

27、 + ZBAE = 90% ZAEB + NCEF = 9/， ：.4BAE = /CEF .AME会ABCF (ASA) . (5分)（7分）(8分)（10 分）:.AE = EF(2)正确.证明：在84的延长线上取一点N.使？W = CE,连接NE.:.BN = BE.:.ZN = ZPCE = 45。.四边形ABC。是正方形，.AD/BE.ZDAE = ZBEA.，NNAE = NCEF .：./ANE/ECF (ASA).:.AE = EF .(11 分)11.解（I ）如图，折会后点8与点A重合，则ACOgZXBCD设点C的坐标为（0,则 8c = 08OC = 4机.于是AC =

28、8C = 4相.在RtZXAOC中，由勾股定理，得AC? =002+042,即（4 一I? = m2 +22,解得加=g.点C的坐标为0,- 4分2J（II）如图，折叠后点B落在。4边上的点为则E8 且 AeCD由题设 OB' = x, OC = y ,则 8'C = 8C = O8-OC = 4-y,在RtZXB'OC中，由勾股定理，得%，（4一» = 丁+/,lip y + 2 68由点8'在边04上，有0<xW2,/.解析式），=一！一+2（0在工<2）为所求. 8/. 当0Wx2时，y随x的增大而减小，3 丁的取值范围为7分（III）如图，折叠后点B落在。4边上的点为8",且B"DOB.则 NOCB = NCB"D.又. NCBD = /C8D /. /OCB = ZCBD,有 C8