二次型的性质及应用

1、唐山师范学院本科毕业论文题目二次型的正定性及其应用学生王倩柳指导教师 张王军讲师年级2012级数学专接本专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如 有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担 由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此 郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）:2014年 月摘要(1)前言(1)1二次型的历史及概念(2)二次型的历史(2)二次型的矩阵形式 (2)正定二次型与正定矩阵的概念(3)2二次型的正定性判别方法及

2、其性质(3)3二次型的应用(6)多元函数极值(6)证明不等式(12)因式分解(12)二次曲线(13)结论(14)参考文献(14)致谢(15)二次型的正定性及其应用学生：王倩柳指导老师：张王军摘 要：二次型是高等代数中的主要内容之一，其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求 极值及因式分解等问题中，用初等数学方法处理会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解 决，就会使很多问题化繁为简，由难转易。因此，讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求 极值、计算椭圆面积、判断二次曲线,的形状等实际例题中的应用，是很有意义的。关键词：二次型；矩阵；正定性：应用The second

3、type of positive definite matrix and itsapplicat ionsStudent: Wang q i an Ii uInstructor： Zhang wangjunAbstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory i s widely used in the middle schooI mathemat ics-the proof of inequaI i ty, extremum and the factorizat

4、ion problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for br ief, from difficult to easy. For our students, more should I earn to use the knowledge of h i gher ma

5、thematics to guide or understand i ng of eIementary mathemat i cs knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve

6、and actuaI examples ofKey words: Quadratic; Quadratic matr ix; Qua Iitat ive; Applicat ion前言二次型是高等代数中的主要内容之一，其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值 及因式分解等问题中，用初等数学方法处理会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解决， 就会使很多问题化繁为简，由难转易。因此，讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、 计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用，是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型 占用特殊的位置.二次型的有定性与其矩阵的有定

7、性之间具有一一对应关系.因此，二次型的正定性判别 可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.1二次型的历史及概念二次型的历史二次型的系统是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线 和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。 柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那并不太清 荒，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了 n 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。18

8、01年，高斯在算数 研究中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究设计二次型或行 列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组 的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立 的。二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中 用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位退.二次型的有定性与 其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，并将 其实现应用价值.

9、二次型的矩阵形式定义设P是一个数域，a. £p,n个文字演，&,，五的二次齐次多项式/（内，工2，入7）= q + 2q 2为X2 + 2。13%13 + +契工；+ la13x2x3 + lci2nx2xnn n/七其中（% =勺,"=12刀）：=1 ；=i称为数域p上的一个n元二次型，简称二次型,当与为实数时，f称为实二次型.当为复数时，称f为 复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即/（N，w，玉）二4工；+4七2 + 4rV称f为标准型二次型/（N，%2,天）可唯一表示成，（内,2,七）二x'Ar，其中x = （XpX2,.,xZJ）r, A =

10、 （%）为 对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A的秩为二次型f的 秩.正定二次型与正定矩阵的概念定义设/3,工2，.,七）二小心是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数 6，。2，一，%都有了（。，。2，“'”）0,则称f为正定二次型，称A为正定矩阵；如果/（C,C2，C“）NO,则称 f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;4 口果/（q,C2,%）VO，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵; 如果c）0,称f为半负定二次型，称A为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称 为不定的二次型，称A为不定矩阵.定义另一种定义具有对称矩

11、阵A的二次型/ = XL4X,（1）如果对任何非零向量X,都有X'AX）。（或x7'A¥0）成立，则称/ = XAX为正定（负定）二 次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.（2）如果对任何非零向量X,都有X/AXNO （或XlXWO）成立，且有非零向量X。，使%94¥0=0，则称/ = 乂7/1%为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正 定矩阵（半负定矩阵）.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及 其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称

12、 矩阵的正定性判别.2二次型的正定性的判别方法及其性质定理实二次型/（为,X2,.,七）二/Ax为正定的充要条件为（若A是负定矩阵，则-A为正定矩阵）：1）矩阵A的各阶顺序主子式都大于零：2）矩阵A与单位矩阵合同；3） A的全部特征值是正的。4） n级实对称矩阵4是正定的充分必要条件是，存在级实可逆矩阵C,使彳=C C .定理实二次型，玉）=/Ax为半正定（半负定）的充要条件为:1) A的所有主子式大于(小于)或等于零；2) A的全部特征值大于(小于)或等于零.(Er(-Er) 03) A与矩阵 0°合同，这里r是矩阵A的秩4) 级实对称矩阵彳是半正定的充分必要条件是，存在 级实矩阵

13、C使A = C C (4二C C ).推论若A为正定矩阵，则IAI>0.定理秩为，的元实二次型/ = X7A¥,设其规范形为Z； +Z； +% _Z；.| _一；则：(1)/负定的充分必要条件是p = o,且/=.(即负定二次型，其规范形为f = -z：-z；-Z；)(2) /半正定的充分必要条件是 = ,<,(即半正定二次型的规范形为/ = z； + z； +z；/<)(3) /半负定的充分必要条件是p = 0. r < n.(即f = -z - z；Z；,r<n )(4) /不定的充分必要条件是0< <(即/ = z：+z；+ z；-zj

14、-一z；)定义阶矩阵A = ( %)的k个行标和列标相同的子式体%:： CI;:/q 2A (l«i<.<" «“) 你a也%称为A的一个女阶主子式.而子式“II %2,/141二 一 ,"12,) ak ak2 akk称为A的介顺序主子式.定理证明阶矩阵A = (%)为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式I 4 1>0 (攵=1,2-,).(A 0例 设A B分别是m级、n级正定矩阵，证明C=正定矩阵。证明：法1设2二为m+n维向量，其中x, y分别是m维和n维列向量.当z不二0时，x, y不同时为零向量，于是z1 Cz = (

15、/, V j A ° ' = xl Cx + y1 Cy > 0 I。故c为正定矩阵。法2设A的各阶顺序主子式为, ， m，An =|A| 1111 1111 I I而B的顺序主子式为，?，尸B o由 A,B 正定知/>(), Az>0由于C的各阶顺序主子式, (i=1, 2,.，m+n)满足=> 0,，尸> 0m+产 |A|4> 0,.,AJ+n=|A|A> 0故C为正定矩阵。例 考虑二次型f = X；+4/2+4x1+ 2九为-2%占+ 4占工3，问之为何值时，f为正定二次型.'1 A -1、解：利用顺序主子式来判别，二次

16、型f的矩阵为4= 242, A的顺序主子式为-12 4,1 A -11 2?A, =1>O； A2 = .=4-22 ： A3= A 4 2 1 =-4%2-4% + 8 = -4(4 - 1)(几 + 2).-124于是，二次型f正定的充要条件是：2>°，43>0，有2=4 丸2>0,可知，一2九2；由5=-4(2-1)(2 + 2)>0,所以，当一时，尸正定.例 设4是n级正定矩阵，B是n级实反对称矩阵，证明力-82为正定矩阵。分析：只要证明的特征值全大于零即可证明：由 A 正定知 A 是实对称矩阵，A = A,， -B = Bi.从而 (A-B2)

17、T = Ar -(B1)2 = A-(-B)2 =A-B2,即A - B?也是实对称矩阵.对任意xwO 有 X(A 8?)X = X7 (A + B7B)X = X/ AX+(BX)7 (BX)>O,即，A 32的特征值全大于零，故，4 3?为正定矩阵.(注：正定矩阵必须是实对称矩阵，因此在论证之前应注意A是否为实对称矩阵，若不是实对称矩阵， 根本谈不上正定性)3二次型的应用多元函数极值在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决定义设元函数/(X) = /(n，/，玉)在X=(xW，七)7 e*的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记W(X) = (义凶

18、，名凶，色凶,V/(X)称为函数/(X)在点X=(n，x”，王尸处I 朋 dx2 dxn )-的梯度.22f(X)dx.dx1<r(x)dXndX2d2f(X)私肉6 旺(X)dx；定义 满足Vf(x0)=o的点X。称为函数f(x)的驻点./(X)(、2x定义 H(X)= 2=：dxfixj)7 小11d2 f (X)< dXndX!称为函数/(X) = f(X|,X2,当)在点x eR”处的黑塞矩阵.显然(X)是由/(X)的2个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.定理(极值存在的必要条件)设函数/(X)在点X0=(x；，M，石),处存在一阶偏导数，且X。为该 函数的极值点，则Yf(Xo

19、)= O.0、（X。）山X。）、dx dx2定理（极值的充分条件）设函数/（X）在点XoE/r的某个邻城内具有一阶、二阶连续偏导数，且 可 &） =/'（X。）为/（X）的极小值;/（X。）为/（X）的极大值;/（X。）不是/（X）的极值.则：（1）当”（X。）为正定矩阵时,（2）当“（X。）为负定矩阵时,（3）当"（X。）为不定矩阵时,应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定的局限性，因为充分 条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，那结论就不一定成立.例 束三元函数 f（x,y9z） = x2+2y2 +3z2

20、+2x + 4y-6z 的极值.解：先求驻点，由再求（Hessian）黑塞矩阵因为%=2/ =。，几=0= 4, fyz = 0 4 = 6,2 0 0-所以"=040,可知”是正定的，所以/。,）=）在4（一1,一1）点取得极小值：/（一1,一1）=一6.0 0 6当然，此题也可用初等方法/（x,y,z） = （x + l）2+2（y + l）2+3（z l）26求得极小值一6,结果一样.定理设n元实函数/0与在点P。的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数 人手冬 '石）在点P。近旁有性质：1）若X4X正定，则P。为极小点：2）若X54X负定，则P。为极大点：3

21、）若XAX不定，则P。非极大点或极小点；4）其余情形时，：在点P。性质有待研究余项R的性质来 确定,特别当：是二次函数时，R=0,只要XAM半正（负）定，则P。为极小（大）点例 求函数*=?$1<£士的的极值.解：'7谖十炉x = ±l解方程组y = ±y = O 'M -冬于是，A 二xx< Z)戈xyZ”)72726q负定;O 2正定:不定.故在点（±1,0）,点（0,±1） , Z不取极值：在）点，Z取极小值,点、，z取极大值，电二_L ；在 根小2e下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值.设元二次型/（

22、X） = xtax（X=（x,x2,.）则/在条件下的最大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值. /=1例求函数解：先对二次型/CXWKC乍正义翅将其化为标准形式4f会一e,然后在条件下讨论函数的最小值.该二次型的实对称矩阵为0 1 -1A= 1 0 1-1 1 0它的特征多项式|.对于特征值4=1,求得两个线性无关的特征向量aK/ljOW；再用Sc/"正交化方法，得两个单位正交的特征向量取正交矩阵则有对二次型/CQWL4X做正交变换X=QK 得（1）相应地，条件一二化为于是原题意化为对（1）式的三元二次其次函数在满足条件（2）时求其最小值.此时，显然有又当时/=2,所以/满足条件（

23、2）的最小值 以仙,而且它仅在*=gy和处取得最小值,回到变元，则./但壬，圣）在处取得最小值.最后再介绍一个有用的定理:定理 设A为n阶正定矩阵* =（0"2,，/）,与° =（642，的）'实向量，?为实数，则实函数f(x) = a7 Ax + 2aTx+p 当 x = -A7xa 时取得最小值少一 Aa证明：f = xT 1: ：；，由A正定，存在（对称）而oT11oTa1 0o Tx'P-al Aa 1其中，Y = X + AaA正定，故"X=A"a,所以/（x）取得最小值4 t/Aa.例 已知实数满足/ +）尸=1,求/（x,y

24、） = /+2）3 -2町的最大值和最小值.1 -n解/（x,y）的矩阵A=, |45一山=才一34 + 1。2 ）因此，特征值4 =；（3 +行），4 =；（3在）于是得/（x,y）在V + y2=i下的最大值是4=2_（3 +石）最小值是4='（3逐）o22证明不等式其证明思路是：首先构造二次型，然后利用二次型半正定性的定义或等价条件，判断该二次型（矩 阵）为半正定，从而得到不等式.例（。亿力y不等式）设=1,2,为任意实数,则也）*应 a：）x（£b；）.r-1i-lr-12证明记/（%,）=£（玉+&）=（5：濡+2（%也）中2+（£&qu

25、ot;：）¥因为对于任意王，与，都有/（2,与）之0,故关于的二次型/（司，/）是半正定的,因而定理1知， 该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即/-1r-lt岫t#r-if-1故得 d> 也)x).1-1/-J-l例证明 /*X；N(£xj)2r-1/-I证明记/（花,.,X“）=之内2（£七）2=乂儿¥,其中f-1J-l一1 -1 一1 ',-1n 1 1X =(彳工2,，勺)，A =. I -1-1一I将矩阵A的第2, 3,，列分别加到第一列，再将第2, 3,行减去第1行，得0 -1 -1、0n0A 10 0 n ；于是A的特征值为0,

26、几,，由定理可知，A为半正定矩阵，即二次型是半正定的，从而得/（石，修,，/）NO,即心;之（1产J-1结论得证.例 设a,4,y是一个三角形的三个内角，证明对任意实数x,y,z,都有x2 + y2 +z2 > 2xy cos a + 2xz, cos /3 + 2yz cos /.证明 记 /'(X) = XAX =x2 + y2 +z2 - 2xy cos a - 2xz cos J3 - 2yz cos / ,1其中 X =(x,y,z)',A= cos a-cos p-cos a1-cos/-cos/7-cos/，&+ /7 + / =/r,cosy =

27、-cos(a + /7)11 -cos a -cos p对A做初等行变换得：A0 sin a -sin J3 ,于是A的特征值为0, 1, sin a ,从而得二次型 000/（X）是半正定的，即对于任意实数尤y,z,/（X） NO,得证.例 设A为阶半正定矩阵，且4W0,证明|A + E|>L证明 设A的全部特征值为4（i = L2一），则A + E的全部特征值为4+1 （i = l,2,因为A + E为实对称矩阵，所以存在正交矩阵丁，使得，+1 -A + E = T"4+1 .T4+ 1由于A为半正定矩阵，且AW0,则A + E是半正定的，且其中至少有一个4。>0,同

28、时至少有一/I个等于零.故区+同=口（4 + 1）24。+ 1>1，结论得证. r-l以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型，从而证明不等式.使用这种方法简单，方便.因式分解定理一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是：它的秩为2和符号差为0,或秩等于1.例多因式/（44）=片一3七一2%4+2%-64在/?上能否分解，若能，将其分解.解 考虑二次型 g（X, 32，X3）= Xl 3x； - 2xtx2 + 2x3 - 6X2X3，则8（8，工2，*3）的矩阵为'1 -1 1、A= -1 -3 -3 ,J -3 0 ;对A施行合同变换，求得

29、可逆矩阵2121-4< °，显然，A的秩为2且符号差为0,由定理知,经非退化线性替换玉 & 工3）3、221化为 g（Xj, x2,与）=y： - 4y；=（力 + 2y2）（y - 2y?）.由y = PX,得凹=X +占，,2=石+；43，）3=为于是冢3,，*3）=（内+%2+2七）（%一39）. 乙故/（再，）=8（七/2，1）=（3+占+2）（再一3与）.例 多项式/（对七）=入；+2君一2>/10¥2+62-6应电+9在/?上能否分解 如果能，将其分解.解 考虑二次型且（内,刍）=x； +2%2 +9* 2点内七+6% 6>/2x2x3

30、,其矩阵为1-V2A= -x/223-3叵3-35/291 -V2 3、000000则秩应4 = 1,所以8（演，,演）能在宠上分解，则/（%，）=且（玉，*2，1）也能在R上分解.易得/（XJ9X2） = g（内,，1）=（$一 +3）2 .二次曲线事实上，化简二次曲线并判断曲线的类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换，因此可以 利用二次型判断二次曲线的形状.例判断二次曲线x? +4,/+2%一25>'-2 = 0的形状.解：设/（x,y） = x?+4y2+2%一2 2x） ,令 g(x,y,z) = / +4y2 -2z2 - 2xy + 2xz ,则 f(x,y) = g(x,yj).对 g(x,y,z)实施非退化线性替4%】一 入 一 ) + Z3换： yi=y + 1 ，即(= -yZ1 =