参数方程化普通方程

1、参数方程化普通方程重点难点掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。例题分析（长R,。为参数）1 把参数方程化为普通方程（1）解:< y=2+1-2sin（长R,。为参数）解:= X2=(sin e +coS= 1+2sin 0 co&耙 y=sin 0 coSt队，X2=1+2y。 ° ,把 sin。=X入，y=3-2x2,(2)又 |sin 9|wi,|cos2 0 |.,< 1|x | < 1, 1 <y<5 所求方程为 y=-2x2+3(-

2、1 < x< 1, 1 < y< 3)又 x=sin 0 +cos 0 =sin( 0 +y=sin 0 cos 0 =sin2 0|x| 吗 |y| &所求方程为x2=1+2y (|x|< ,小结 :上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y 的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。(3)（t丰t,为参数）法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。x+y=1,又x=-11, y=所求方程为 x+y=1 (x -

3、1, y w2)法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由2,x=x+xt=1-t,(x+1)t=1-x,即 t二代入y=1-x,x+y=1,（其余略）t 换成t 2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。 （t 为参数 ）分析 :此题是上题的变式，仅仅是把两种求值域的方法法一 :x=-1, - t2> 0,2+1 > 1.,.0<-1<法二:解得t2=>0,-1 -1<xW同理可得出y的范围。(5)(t 为参数 )分析:现在综合运用上述各种方法进

4、行消参，首先，求 x,y范围。由x=x2=y=,t=0 时，y=0;=1,从而|y|=w|y|四法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，x2+y2=()2+()2=1 O法二:关键能不能用x, y表示t,且形式简单x=得t2=，代入y=t(1+x)t=再代入x=x2+y2=1。法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象可令 t=tg 0 (-), x=cos2 0 ,y=sin2 0 ,x2+y2=i,又 2 ee),(一,-1<x=cos2 0 01俱 y=sin2 程为 x2+y2=1(x R)。2已圆锥曲线方程是1)若t为参数，。为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。

5、2)若。为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率 e。解 :1 )由已， 由 (1) 得t=代入 (2)y-4sin ()+5= 2(x-5cos(-1)=-(y-4sin ()+5)为顶点在(5cos()+1,4sin-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=2)由已知=1，表不中心在(3t+1,-6t 2-5)的椭圆，其中 a=5, b=4, c=3,e=分析 :从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。3.抛物线y2=4p(x+p)(p>0),过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB, CD, M为AB中点

6、， N 为 CD 中点， G 为 MN 中点。求G 点轨迹方程，并说明其图形。解 : 设 AB 方程为 y=kx 代入抛物线方程y2=4p(x+p)ym=k2x2-4px-4p2=0, 若A， B 坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则xM =x,代入 y2=4p(x+p),AB± CD/. CD 方程为 y=-x2-4px-4p2=0,设 C(*,y3),D(x4,y4)N(2pk2, -2pk)则 G 点坐标(x,y)为y2=p2(2)=p(x-2p)+k2-2)=p 2(x=p(k2+) > p - 2=2p,而yCR在方程中都已体现，1轨迹方程为y2=p(x-2

7、p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。说明：消参一般应分别给出 x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之 后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程，是0C 0,个圆，但消参之后得 x2+y2=1(|x| < 1, |y|却无侏说明这一点。在线测试选择题1 .曲线的参数方程为（4为参数），则方程所表示的曲线为（）1"A、射线 B、线段 一 C双曲线的一支D、抛物线（0为参数，且 0W。2兀）所表示的曲线是B、双曲线的一部分2 .参数方程（）.A、椭圆的一部分C、抛物线的一部分，且过 （-1,）点 'D、抛物

8、线的一部分，且过（1,3.已知直线l的参数方程为则直线l的倾斜角为（）D、A、B、C、4.抛物线（t为参数）的准线方程是（）A、x=3B、x=-1C y=0D、y=-25.弹道曲线的参数方程为（t为参数，”，vo, g为常数）当炮弹到达最高点时，炮弹飞行的水平距离是（C、D、 答案与解析解析： 1.- x=cos2(j)C 0, 1, y=1-cos2 4 =1-x,，x+y-1=0, xC 0, 1为一条线段。故本题应选B。是不对的，因为只有当直（ 3） 本题认为直线l 的倾斜角是线的参数方程为：（其中t为参数），其中的a才是直线的倾斜角，消去参数t,化参数方程为普通方程后，再求直线l的倾斜

9、角是可以的。但直线 l的倾斜角。适合tan 0tan 0这里只要把两个方程相除就可得:。故本题应选Do(4)化参数方程为直角坐标方程，得(x-2)2=4(y+1),其准线方程为y=-1=-2。故本题应选D。t=(5)由丫=丫01$访00-,代入 X=V3tC0S a ,得知，当炮弹到达最高点时，C。X=VoCOSa .参数方程、极坐标疑难辨析参数方程是曲线与方程理论的发展，极坐标是坐标法的延伸参数方程的基本概念与极坐标系的理论是本章的重点参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定、极坐标方程与曲线的基本理论是本章的难点与疑点弄清这两个难点，把握参数法变与不变矛盾的统一的思想是学好本章的关键

10、把握求轨迹方程的参数法的基本思路和消参数的基本方法，重视消参数前后X、 y 的取值范围的变化是保证轨迹完备性、纯粹性的关键.弄清一点的极坐标的多种表达式：（-1）np, 0 +n> , （ nC Z）和极坐标与直角坐标的互化是运用极坐标解决问题的基本功题1下列参数方程（t是参数）中方程y2=x表示同一曲线的是（）【疑难或错解】参数方程与消去参数后所得的普通方程是否表示同一曲线的判定是一难点问题的实质在于判定方程的同解性方程的同解性原是代数中的难点，加上参数方程中出现的函数不局限于代数函数，其困难就更大了.本题各个参数方程消去参数后所得普通方程都是y2=x,更增加迷惑性，因而误选A、日C都

11、有.【剖析】 从A、B、C、D消去参数t后所得的普通方程都是 y2=x.但在A中y=t2>0,这与y2=x中y的允 许值范围yCR不一致，故A应排除.在B中，x=sin2tx 0 , 1与y=sint C -1 , 1与方程y2=x中的x, y取值范围不一致，故B 也应排除中的xC 0,+8）, ye R完全相同，所以D中参数方程与y2=xD【点评】参数方程与消去参数后所得普通方程是否同解的判定，涉及函数定义域与值域的研究而无通法可循， 只能根据参数方程通方程F（x， y）=0 中 x， y 的允许值范围（即方程F（x， y）=0 的定义域）是否一致来判断仅根据消去参数后所得的普通方程F

12、（x， y）=0 的外形来判定，常易失误表示的曲线是（）A.圆 B.半圆C.四分之一圆 D.以上都不对消去0,彳导x2+y2=i,未分析x, y的取值范围，即断言表示的A时t不存在，所以消去t后方程x2+y2=i中xn ,即在圆x2+y2=1（ -1 ， 0） 所以此参数方程表示的曲线为单位圆x2+y2=1 上除去一点（ -1 ， 0） 在普通方程x2+y2=1中应注明xC （-1, 1.应选D.为参数）交于A、 B 两点，求弦长|AB| 【疑难或错解】以直线的参数方程代入双曲线的普通方程（y-2）2-x2=i,有（-4t）2-（-1+3t）2=1,即7t 2+6t-2=0 方程的两个根分别为

13、ti=PA, t2=PB,其中点P的坐标为（-1, 2）.方程的两个根：错解混淆了直线参数方程的标准型和非标准型中参数t的几何意义.在标准型中，P（X0, yo）为直线上的定点，Q （x, y）为直线上任意一点，则 t表示有向线段 PQ的数量（规定直线向上、向右为正方向）.这一结 论不适用于非标准型因此运用直线参数方程求二次曲线的弦长时，应先将直线的参数方程化为标准型，否则 将导致错误(y-2)2-x2=i.将双曲线方程化为普通方程:方程的两个根分别为 ti=PA, t2=PB,设 A、 B 两点的坐标分别为（x1， y1）、（x2， y2）故Xi-x2=a(ti-t2), yi-y2=b(t

14、i-t2), . (xi-X2)2+(yi-y2)2=(a2+b2)(ti-t2)2.利用这一结果也可求|AB| 之长，结果与正解同所以此曲线为以为端点的线段。消去参数过程中不分析x， y 的取值范围，导致轨迹纯粹性受破坏【剖析】错解仅考虑abw。的情况，而忽视ab=0的情形，因而解答不完整.ab=0时，有a=0, biawQb=0； a=0， b=0 三种情况，应逐一进行讨论【正确】当abw。时，如上解有ab=0 时，有下列三种情形：此时，曲线为y轴(含原点)(1) a=0, bwo时，原方程为(2) awQ b=O,原方程为-1 |x| >|a|,即x刁a|或xv|a| .消去t,得

15、普通方程为y=O, x (-00, -|a| U |a| , +8).此时曲线为x轴上 的两条射线，端点分别为(|a| , 0)指向正半轴；(-|a| , 0)指向负半轴.【点评】消去参数过程中不注意方程中x, y的取值范围，对任意常数 a, b的可能情况不分别讨论是导致失误的主要原因.t 为参数）问l 1 与 12 是否表示同一曲线为什么l1：未对x, y的取值范围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言11和12表示同一直线，焉能不失误.【剖析】在曲线1i的参数方程中，x=1+cos2 0 =2coSC 0, 2,消去参数。所得的普通方程 2x-y+1=0中xC 0, 2,所以曲线11为以（

16、0, 1）与（2, 5）为端点的线段.只l 2，所以l1、 l 2不是同一条曲线【点评】 在曲线11消去参数时，未分析 x的取值范围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因.A 20°B 70°C 110 D 160而误选（A）还有将原方程化为上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致在直线参数方程的标准型：D）而无法作出判断.sin加0,故当a<0, b>0,且a2+b2=1时，才是标准型.等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。欲将其化为标准型，应将 x=tsin20 + 3 化为 x=3+(-t)sin(-20 )=3+(-

17、t)cos(90 +20°) 即 x=3+(-t)cos110 ,° y=(-t)sin(90 +20° )=(-t)sin110 .这才是此直线参数方程的标准型，此直线倾斜角为110°，应选C倾斜率为110°，无须化为标准型另外结合直线的图像，过点(3， 0)、(3+sin20 °， -cos20 °)。所以直线的倾斜角为钝角，排除 A、B,又由cos20°>sin20 ；可知倾斜角v 160。，排除D,而选C.诚如华罗庚所说：不可得义忘形”，形义结合，常可快速获解。B 两点，试求|PA|+|PB| 之值直

18、线 l 的参数方程为代入椭圆方程，得方程的两个根分别为t1 =PA， t2=PBl| + |t 2|=t 1-t2|X 0| < 5的情况作- ti=PA>0, t2=PB<0.|PA|+|PB|=|t【剖析】 错解对P(X0, 0)的不同位置未加分析，贸然画图，把点P画在椭圆内部,解答，忽视了点 P在椭圆上或外的情况，可见错解是不完整的.【正确】当点P(xo, 0)在椭圆内部时，|xo| <5,此时，上时，|x o|=5 ,方程为当点P(X0, 0)在椭圆外时，|X0| >5, tlt2>0,即tl、t2同号，【点评】当问题中出现任意常数(如这里的X0)时

19、，应考虑各种可能，逐个进行分析讨论，否则可能犯以偏概全或漏解的错误.直线及圆的参数方程t 的理解，非标准参数教学重点和难点: 直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数 方程如何化为标准方程并求出倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。例题分析:例 1 下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时，写出始点和倾角，若不是，化为点角式参数方程。1）t 为参数）；（2） t 为参数） ； （ 3）t 为参数）解 :（ 1 ）始点（-2， 3），倾角为是点角式参数方程。2）不是点角式参数方程，不满为点角式参数方程的必要条件，即a2+b2=1(3)（t为参数）

20、不是点角式参数方程，令t'=-t ,得但是形如t 为参数）的可化为参数方程的标准式即t 为参数）直线始点为（-2, 2）,倾角为例2.写出过点A （1, -2）,倾角为45°的直线11的点角式参数方程，若 11与l2：x+2y-4=0相交于B1）求 |AB| ；（ 2）求点B 的坐标。解 :设l1 的参数方程为（I） （t为参数） 把（I）代入12方程,1+t+2(-2+t)-4=0解出t=(II),|AB|=|t-0|=把（II）代入（I）彳#:B(小结:从此例可看出应用三角式参数方程求距离很简捷。例3.求椭圆=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹。解：(1)用普通方程解决，设弦

21、中点P(xo, yo),弦的两端点 A(xi, yi), B(x2, y2)由已知得(i)-(2)：=0，(6)将（5）代入（6）,2=, .X0+3yo=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段。法（2）参数方程解题设弦中点P（xo,yo）,弦的倾角为 a,平行弦的直线参数方程为：（t为参数）（1）将（1）代入 2x2+3y2-6=0 中，整理后得：（2cos2a +3sina ）t+2（2x0cos a +3ysin a ）O+23y02-6=0,tl+t2=P 为弦中点，：ti+t2=0,即 2xocos a+3ysin a =0 又 tg a =2,2xo+6yo=0,=1内的一条线段。P点轨迹

22、是方程为x+3y=0在椭圆小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中tl+t2=0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。例4.设M, N是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上两点，且它们关于顶点O对称，过M, N作两条平行线，分别交抛物线于 Pi, P2, Qi, Q2,求证:|MP i| |MP2|二|NQ i| |NQ 2|证明：由已知可设 M(a,0), N(-a, 0)(a>0)则直线 MPi, NQi的参数方程为：(1)和(2)其中t是参数，a是倾斜角。把(1)(2)分别彳入y2=2px中，由韦达定理可得：|MP i| |MP2|

23、=|NQ i| |NQ2|=,|MP i| |MP 2|=|NQ i| |NQ2|评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即|t i|,|t 2|为相应点到定点 M的距离，据此证明了关于线段的等式问题。例5.椭圆长轴|AiA2|=6 ,焦距|FiF2|=4 ,过椭圆焦点 Fi引直线交椭圆于 若|MN|等于短轴时，求 a。解：.a=3, c=2,b=1, Fi(-2,0), .椭圆方程+y2=1M, N 两点，设/ F2FiM=a , aC 0,才，.(1)( t 为参数)法(1)设MN所在直线参数方程为将代入+y2=1 得:(1+8sin2 a )2-4tcos -1=0t1+t2=t

24、i t2=,2b=2=22,sin2 a = |t 1-t2| 2 =氏0,力,.二 sin a =Tto(法二)设 MN 方程:y=k(x+2)x1+x2 =,X1 X2 =(2)<i>|MN|=|X 1-X2|<I> 又 |x 1-x2| 2 = (xi+x2)2-4xix2（下略）将,代入（3）,将代入（I）解得:k2=另；<ii> .1 e=,M(xi,yi), N(x2,y2)由第二定义：|MF 2|=ex 2+a,|MF i |=ex i+a2=|MN|=e(x i+X2)+2a=(X1 +X2)+6,+6,k2=（下略）。评述利用直线参数方程，

25、常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长公式可知，形式上要简捷，运算上也将更 加简化，减少运算的出错可能。例 6 过 M(-1,0) 的直线 l 交双曲线x2-y2=10 于 A， B 两点，且|MA|=3|MB| ，求直线l 的方程。分析：|MA|=3|MB|,若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设直线参数方程点角式，直接利用参数t 的几何意义表达|MA|=3|MB| ，可以很方便的代入式子中去应用。(t为参数)解 :设直线 MA 的参数方程为(-1+tcos (2-t2sin2 a-10=0(cos2a-sin2a )2-2tcos -9=0, 有 ti+t2=t1

26、12=又 |MA|=3|MB|ti = ± 32<>当 ti = ± 32 时，4t2=t2=3解得:cos2.2 sin a =,tg a =±l: y= ±(x+1)(x+1)<ii> 当t1 =3t2 时，同理可求l:y=本周小结: 直线参数方程点角式问题，应注重从下面几点讲解。<1>会判断方程是否为点角式参数方程；<2>若参数方程为会化为点角式，并会求出倾角，一定要注意倾角的范围。<3>会应用它解决弦长问题，弦的中点线分弦成定比问题，点在直线上位置等常见问题。参考练习1 直 :110&#

27、176;D、 160t 为参数） 的倾斜角是（）A、 20°B、 70°C、2直t 是参数）与圆（a为参数）相交所得弦长为（A、(3-)B、(3+)C、D、3.圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2), AB为过P0且倾角为a的弦(1)当 a =线A'B的方程。Ti,求|AB| ; (2)当弦A'B'被点Po平分时，写出直参考答案3解:设直线AB方程为：(1)(t为参数)把代入x2+y2=8,整理得：t2-2(cos -2sin a-)3=0(2).直线与圆相交，(2)有实根，则由韦达定理：ti+t2=2(cos o-sin a),itt2=-3,当

28、a =冗时,|AB|2=|t 1-t2| 2 = (t1+t2)2-4tt2 = 2(COSTt-sinn舁4 X (-3)=30(2)弦A'B'被点Po平分cos a2sin a )=0tg a =A'B'方程为:y-2=(x+1),即 x-2y+5=0在线测试选择题1.直线C、110 ° 'D、160（t为参数）的倾斜角是（）' A、20°' B、702.曲线的参数方程为（0<t<5）,则曲线是（）A、线段B、双曲线的一支C、圆弧D、射线3 .椭圆的两个焦点坐标是（）-A、（-3,5）, （-3,-3）

29、'B、（3,3）,（3,-5） 口C、（1,1）,（-7,1）'D、（7,-1）,（-1,-1）4 .下列参数方程（t为参数）与普通方程X2-y=0表示同一曲线的方程是（）B、C、D、5曲线的参数方程是（t是参数，tw0）,它的普通方程是（）y=y=A、(X-1)2(y-1)=1B、y=+1答案与解析C、D、答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B解析： 1 本题考查三角变换及直线的参数方程。解：由直线方程知此直线过定点（3， 0），那么它的斜率k=-ctg20=tg（90° +20° ）=tg110°。因此直线的倾斜角为110°。故

30、应选C。2 本小题考查化参数方程为普通方程的方法，及解不等式的知识。解：消去参数t,得x-3y-5=0。因为0<t<5,所以20x077, -10yW24。因此是一条线段，故选 A3本小题考查参数方程和椭圆方程的知识，以及坐标轴平移。解：原方程消参得=1，是中心为（3， -1），焦点在x=3 这条直线上的椭圆，c=4,：焦点坐标为（3, 3）及（3, -5）,所以选B4本小题考查参数方程和三角函数式的恒等变形解：选项A中x> 0,与x2-y=0中x的取值范围不符；B中，-1<x< 1 ,与x2-y=0中的x范围不符;y=C 中，=ctg2t=成x2-y=0； D 中， y=tg2t=x2,即 x2-y=0,故选 Do5本题考查参数方程的知识。解：由参数方程得消去t,得y=1-参数方程、极坐标知识小结=1-y，、求轨迹的参数方程(1)对于曲线的参数方程应注意以下两点：一是参数方程中参数的变化范围是有限制的；二是给出一个t,解出唯一对应的x, y 的值，因而得出唯一的对应点。( 2)可供选择的参数较多，如角度、时间、点的坐标、位移、直线斜率等。二、普通方程与参数方程的互化1 注意方程等价性在曲线的普通方程与参数方程的互化中应注意方程的等价性通过参数的取值范围推出x、 y 的取