九年级数学锐角三角函数学生讲义

1、锐角三角函数与解直角三角形【考纲要求】1 .理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 .题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2 .命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】勾股定理国相似形结合锐角三角形I与圆结合f测量问题解直角三角形坡度向施解直角三角形与四边形结合解直角三角形航海问题方案设计问题【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在 RtAABC中，/ C= 90° , / A所对的边 BC记为a,叫做/ A的对边，也叫做/ B 的邻

2、边，/B所对的边 AC记为b,叫做/ B的对边，也是/ A的邻边，直角C所对的边AB记为c, 叫做斜边.CbaA的对边 sinA ,即A的正弦，记彳sinA ；锐角A的对边与斜边的比叫做/c斜边b的邻边A A cos,即A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作 cosA锐角；_ c斜边aA的对边 tanA ,即tanAA的正切，记作锐角.A的对边与邻边的比叫 做/bA的邻边b的对边 BaB的对边b B的邻边 B Bcos sinB tan 同理；. , , a斜边的邻边c Bc斜边要点诠释：正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值.角的度数确定时

3、，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.1sin A cos A,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 （2）sinA , cosA, tan - A ，不 能理解成sin与/A, cos与/A, tan与/A的乘积.书写时习惯上省略/A的角的记号，但对三个大写字母表示成的角（如/ AEF）,其正切应写成“ tan / AEF",不能写成“ tanAEF”；（而达> （com/y（tan工），弘不为Ices" ItH、.、常写成另外，（3）任何一个 锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.（4）由锐角三角函数的定义知：

4、QvmHvll,tanA >0° </ A<90°之间变化时，0. 当角度在考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0。、30。、45。、60。、90。角的各三角函数值，归纳如下：30°45°60°90°1 V3不存在要点诠释：（1）通过该表可以方便地知道 0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个日二色应"口 一 2 用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角._由也立（2）仔细研究

5、表中数值的规律会发现： 90sinos0n c0 si而1的值依次为0,、营出61rl的司立4丁 cos90的值的顺序正好相反，、的值依次 tan60° lcos3iM cos600I tan30° co?45°l 增大， 其变化规律可以总结为：当角度在0° </ A< 90°之间变化时，正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随锐角度数的增大 （或减小）而减小（或增大）.考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在 RtAABC中，/ C=90° .2sin A = cos(90* - ZA) - co

6、s B cos A = sin(90* - Zj4) - sin B,；(1)互余关系：二1 1t .n 平方关系：；tan 5 血达tarnO9 - 2 二1 ；倒数关系：或 tan A =nnAcos J商数关系：.（4）要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中, 计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有 5个元素，即三条边和两个锐角.设在RtAABC中，/ C=90° , / A、/ B、/ C所对的边分别为 a

7、、b、c,则有: 222三边之间的关系：a+b=c（勾股定理）.锐角之间的关系：/ A+/B=90° .cqs A = tan A = sm 1二一边角之间的关系：cbcn &. n b I b atan 3 = sin c = - ccjs 史=一acC,公 2,h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90。)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解 和解法考点五、解直角三角形的常见类型及解法三角形美型atsn _已知条件解法步骤b

8、求/ A,由ABC/两直角边(a, B=90° -Z A, b)两白二sin A =边。由，A求/ a)c (斜边，一直角边,B=90 / ° / A, 3b = /bc =,B=90° /A/ 锐角、邻边 ss上 b)一 .|b=如/a,(以二6一tanH ，一直角边 一 和一锐角b=90 ° a/边 锐角、对边卡anHaC -的力 一 a)，(如/ A ,角，B=90° -Z A/ A)如c,/斜边、锐角(6=gcsH 1a二44说/1 ,要点诠释：.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些1. 元素

9、是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条2 .若题中无特殊说明，.件为边考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数.量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键 解这类问题的一般过程是：弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画 出几何图形，建立数学模型把实际问题转化为解直角三角形将已知条件转化为几何图形中的边、 (2)角或它们之间的关系，(3)(或通过作垂线构造直角三角形

10、得出实际问题的解(4) 拓展:的问题之间的关系解有关的直角三角角)根据直角三角形元素(边、.形.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义， 用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示 比叫做坡度，用字母表示，则 )i = = tan 口1:如图，坡度通常写成=的形式i,和水平距离的7 .仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图4(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目 标方向PA PB, PC的方位角分别为是 40° , 135

11、76; , 245° .(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线 OA OB OG OD的方向角分别表示北偏东 30° ,南偏东45° ,南偏西80° , 北偏西60° .特别如：东南方向指的是南偏东45° ,东北方向指的是北偏东45° ,西南方向指的是南偏西45。，西北方向指的是北偏西45。.要点诠释：1 .解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图.2 .非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰

12、当引辅助线，使其转化为直角三角形或 矩形来解.例如：3 .解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义 )，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质51 . (1)如图所示，在 ABC中，若/ C= 90° , / B=50° , AB= 10,则BC的长为10 D . sin50 ° 10 cos50° C . 10 A .10 tan50° B sin503,求° , sinAcosA+tanB 的值.=(2)如图所示，在 ABC中，/ C= 90_ 5(3

13、)如图所示的半圆中，AD是直径，且 AD= 3, AC= 2,则sinB的值等于【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边.(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比.知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边.(3) 要求sinB的值，可以将/ B转化到一个直角三角形中.【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义,根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；22 (2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式己尝试完成.s

14、in A+cos A = 1,读者可自举一反三：【变式】RtAABC中，/ C=90° ,acosA bsinBasinA bsinBa、b、c分别是/ A / R /C的对边，那么 c等于()(B)(A)abab(D)(C)tan60° tan45° sin45° sin30° ；化简求值:sin60°cos30° cos45°1 2sinAcosA.中，/在(2)ABCC ° ,化简=90【总结升华】2由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1 士 2sin a cos a =(sin a 士 cos

15、 a ).12 (t sin cos1).,则例如，若设 sin a +cos a = t_ 2举一反三:sinAsinBcosAsinB类型二、特殊角的三角函数值2.解答下列各题:)tan( sin2sin cos 的值】若，求(2a, B为锐角)，【变式一, 32BC 的长；AC , = 8,求 AB和 AACB(1)3.如图所示，在 ABC中，/= 105° , /= 30? BC的长，如何求° , ° , / 中，/(2) 在A ABCABC= 135A= 30AC= 8AB和 12 Asin,如何求满足A26AB=,锐角 BC的长及 ABC的面积？ 17

16、ACABC(3)在中，=, _ 13?第(1)题的条件是“两角一夹边” .由已知条件和三角形内角和定理，可知/B= 45° ;过点C作CDLAB于D,则RtAACD可解三角形，可求出 CD的长，从而 RtACDB可解，由此得解；第 (2)题的条件是“两角一对边"；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决.类型三、解直角三角形及应用4 DCBcos2：3SS :,于，上一点，且是.如图所示，4DABCDACC , _ CDBAAACD57的长.18AC+CD-,求 tanA 的值和专题总结及应用一、知识性专题：锐角三角函数的定义专题1锐角三角函数定义的考查多以选

17、择题、填空题为主.【专题解读】,2=1, AB = 123 所示，在 RtAABC 中，/ ACB =90° , BC 例 1 如图 28 图 28 - 123则下列结论正确的是31= B. tan AA. sin A = _ 22_3r= tan D. BC. cosB=323)(。，中，/ C=90cosA=，则 tan A 等于 2 例在 ABC_ 54433D. B . C.A. 3545特殊角的三角函数值2 专题 要熟记特殊角的三角函数值.【专题解读】0«(-° - 1).例 4 计算 |3| + 2cos 4531 2007J1) + + (计算例 5

18、° . cos 609 _ 20,一 + . ° ° -+ |计算 6 例 |-(cos 60tan 30)823110.专题3锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用,-tan 60° n一3.14)| |1计算区J 7 - ( _ V 223考查综合运用知识解决问题的能例8 如图28 124所示，在 ABC中，AD是BC边上的高， E为AC4. B = AD = 12,sin边的中点，BC=14, _ 5(1)求线段DC的长；(2)求 tan/ EDC 的值.28 - 125例9如图(1)求证28 125所示，

19、在4AC = BD ;ABC 中,AD是BC边上的高，tan Bcos/ DAC.12, BC= 12,求 C 若 sin =AD的长.(2-13例 10 如图 28 126 所示，在 ABC 中，/ B = 45° , / C = 30° , BC = 3030,求AB的长.+ 3专题4用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】 加强数学与实际生活的联系， 提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是 当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题， 与解直角三角形有关的应用 问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、 建筑测量问题、高度测 量问

20、题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法.例13 如图28-131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识*4 5" KW XDE A ' B图 28 - 131去测量沱江流经我市某段的河宽.在距A处60米远的B处测得/小凡同学在点 A处观测到对岸 C点，测得/ CAD=45° ,又CBA =300 ,请你根据这些数据算出河宽是多少？（结果保留小数点后两位）A点处发现例14如图28 132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从 A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边可以看成是直线）

21、向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑 300米 到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒.若/ BAD =45° , / BCD =60° ,1 j ,弋参考数据（点出发，三名救生员 同时从A请说明谁先到达营救地点B . 1.432弋1.7）10例15 如图 向的M处，在点28 - 133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方A处测得某岛C在它的北偏东 60°方向上，该货船航行30分钟后到达 B处,此时再测得该岛在它的北偏东30。方向上；已知在 C岛周围9海里的区域内有暗礁，若

22、货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.D 图 28 - 134例16 如图28 134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD,甲、乙两人分别在相距 8米的A, B两处测得D点和C点的仰角分别为 45°和60° ,且A, B, 7，1.73=BE15米，求这块广告牌的高度.，结果保留三点在一条直线上，若3整数）例17 如图28- 135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 AD =2.5m,B E F C图 28 - 135坝高4 m,背水坡的坡度是 1:1,迎水坡的坡度是 1: 1.5,求坝底宽BC.11例18如图28 136所示，山顶建有一座铁塔，塔高 C

23、D = 30m,某人在点D图 28 - 136CD的水平距离AB .(参考心 0.391 , cos 23° 弋 0.921 ,A处测得塔底 C的仰角为20。，塔顶D的仰角为23。，求此人距数据：sin 20° 弋 0.342, cos 20° 弋 0.940, tan 20° 弋 0.364 , sin 23 °tan 23° 弋 0.424)二、规律方法专题专题5公式法【专题解读】本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键.2 sinl ° 时，求的值. a < 90 例 19 当 0° < cos三、思想方法专题专题6 类比思想【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解 直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念.我们可以像解方程（组）一样求直角三角形中的未知元素._ 5, b,已知 a=caB90 = ° , / A, /, / C 的对边分别为， b, CABC Rt 例 20 在中，/215 =,解这个直角三角形.212专题7数形结合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一.例21 如图28 137所示，已