变载荷齿轮可靠性

1、1 变载荷下齿轮强度可靠性当齿轮在变动载荷下工作，并且载荷谱（如图1）可用时，校核其不同载荷水平下疲劳累积损伤的强度安全系数，通过安全系数计算可靠度，如式（1）： （1）式中：强度的变异系数；应力的变异系数；可靠安全系数。图1 工作载荷谱齿轮在一系列不同的重复应力水平下工作所造成的疲劳累积损伤度，等于每一个应力水平的应力循环次数与材料应力循环次数特性曲线（S-N曲线）上该应力水平对应的循环次数的比值之和。为了偏于安全，这里所谓的每一应力水平应取每一应力水平区间中的最大应力值。比如，在第级应力水平下工作的循环次数为，该应力水平所对应的S-N曲线的应力循环次数为，则有 （2）式中：第级应力水平下的

2、疲劳损伤度； 齿轮疲劳累积损伤度。为了保证齿轮强度安全系数，可靠度高，则要求1.0。各应力水平区间的接触应力和弯曲应力分别通过下式计算，大小轮应分别计算。 （3） （4）式中：应力水平区间内最大的小轮转矩，N·m； 小轮分度圆直径，mm； 工作齿宽，mm； 单对齿啮合系数与中的大值。 在载荷下的值详细见第4章计算方法。在计算各应力水平的和时，应取使用系数=1.0。在S-N曲线上有 （5）式中：S-N曲线上点1和点2处的应力，N/mm2； S-N曲线上点1和点2处的应力循环次数； 材料指数。对于接触疲劳；对于弯曲疲劳，值见表1。表1 材料疲劳曲线指数计算类别材料及热处理工作循环次数接触

3、疲劳结构钢；调质钢；球墨铸铁（珠光体、贝氏体）；珠光体可锻铸铁；渗碳淬火的渗碳钢；感应淬火或火焰淬火的钢、球墨铸铁允许有一定点蚀时<1076.77107<1098.78109<10107.08不允许有点蚀105<6.61<101016.3灰铸铁、球墨铸铁（铁素体）；渗氮处理的渗氮钢、渗碳钢105<5.71<101026.2氮碳共渗的调质钢、渗碳钢105<15.72<101026.2弯曲疲劳球墨铸铁（珠光体、贝氏体）；珠光体可锻铸铁；调质钢104<6.23<101049.91渗碳淬火的渗碳钢；火焰淬火、全齿廓感应淬火或的钢、球墨铸

4、铁103<8.74<101049.91灰铸铁、球墨铸铁（铁素体）；结构钢渗氮处理的渗氮钢、渗碳钢103<17.03<101049.91氮碳共渗的调质钢、渗碳钢103<84<101049.91因此，在变动载荷工况下且有工作载荷谱时可用时，齿轮的强度安全系数计算如下： （6）即对于接触强度，对于弯曲强度，根据公式可计算接触和弯曲疲劳可靠度。2 累积损伤求可靠度根据下面公式求得累积损伤建立以累积损伤为基础的功能函数式中：累计损伤因子，为随机变量，均值一般为1，标准差为(0.030.3)范围。3 安全系数与可靠性的关系1）均值安全系数在工程中变异系数因此，可推导出2

5、）概率安全系数（表达式1）假设应力和强度服从正态分布，是标准差，是均值，因此因此可以推导出工程中取累积概率95%（即a=95）的强度下限，取累积概率99%（即b=99）的Y应力上限，因此上式简化为3）概率安全系数（表达式2）安全系数S通常定义为结构的强度与应力的比值，是影响结构应力和强度的随机因素组成的随机向量 (1)显然安全系数S也是随机变量的函数，则概率安全系数评估相当于已知可靠度，求sR满足式(2) (2)式中：sR为概率安全系数，是一个确定量；为标准正态分布函数；为给定可靠度R对应的可靠度系数。从下图1中可以看出，概率安全系数sR实际上是安全系数的上R分位点。如果sR大于许用安全系数s

6、(通常s=1)，则表明结构不会发生失效；如果给定可靠度R=0.95许用安全系数s=1时，sR=0.8，这意味着结构不满足可靠度指标，为达到给定的可靠度指标，则需要把强度增加25%(1/0.8-1)或把应力减小20%(1-0.8)。一般情况下安全系数S受众多随机因素影响，分布情况未知。因此，概率安全系数评估的基本问题是围绕式(2)求解概率安全系数，从而把给定的可靠度指标转换为结构的概率安全系数，然后通过概率安全系数与许用安全系数的对比来评估结构是否达到了给定的可靠度指标。图1 概率安全系数的几何意义概率安全系数计算方法不失一般性，设形如式(1)的功能函数变换到标准正态空间的表达形式为，为功能函数

7、中各随机变量变换到标准正态空间组成的随机向量，给定可靠度为。假设能够求得满足下式 (8)则根据式(2)有概率安全系数sR的计算公式为 (9)因此，概率安全系数sR的计算问题转化为给定概率下功能函数值的计算问题，即已知功能函数，能否求得满足。由解析几何可知，当常数c取不同值时，实际上代表了的一簇等值曲面，如图2所示。图2 给定概率下计算功能函数值根据逆可靠度分析的原理，给定概率下功能函数值的计算问题可表示为如下的数学优化问题，即确定满足式(10) (10)式(10)通常可以利用简单高效的改进均值法(AMV)计算，其迭代公式为 (11)迭代初值可以取标准正态空间中各随机变量的均值，当小于容许误差时

8、收敛，此时求得的即为设计点，将代入功能函数就得到 (12)式(12)就是给定可靠度下功能函数值的计算公式。综上所述，概率安全系数评估的主要步骤为：(1)确定影响结构应力和强度的所有随机变量的分布，并利用安全系数的表达式作为概率安全系数评估的功能函数，形如式(1)；(2)针对建立的功能函数利用式(11)进行逆可靠度分析，确定给定可靠度的设计点；(3)利用式(12)计算功能函数值。(4)利用式(9)即得到给定可靠度下的安全系数，即概率安全系数。可以看出，提出的方法由于直接把安全系数的表达式作为功能函数，因此在AMV迭代过程中不需要计算功能函数对概率安全系数的偏导数，进一步提高了概率安全系数计算的效

9、率。算例1设某零件的应力X和强度Y均为随机变量，分布参数见表1，安全系数计算公式为 (13)建立另一功能函数为 (14)式中为功能函数的概率功能度量。如果式(13)和式(14)的可靠度相同，则概率安全系数与概率功能度量之间的关系为 (15)下面利用提出的方法计算不同给定可靠度下的概率安全系数，然后利用式(15)计算并代入式(14)，再利用一次可靠度方法(First order Reliability Method, 简称FORM)计算式(14)的可靠度，如果计算出的可靠度与给定的可靠度相同，则说明方法的正确性，具体结果见表2。可以看出，概率安全系数的计算结果与预期符合的很好。表1 算例1的参数

10、变量名称分布类型均值标准差X正态1207Y正态15010表2 算例1的概率安全系数结果给定可靠度概率安全系数结果可靠度计算结果R=0.99990.8854R =0.99989995R =0.9990.9416R =0.998999R =0.991.0124R =0.989999R =0.91.1145R =0.90008R =0.81.1597R =0.79991R =0.51.25R =0.5算例2：悬索桥主缆的概率安全系数评估以6座悬索桥为例进行主缆概率安全系数的评估，并与其结果对比。悬索桥主缆极限拉力和最大拉力的计算公式分别为 (16)则有安全系数的计算公式如式(17)所示 (17)需要

11、把概率安全系数包含在功能函数中，建立如式(18)所示功能函数 (18)式(16)(18)中：w、p、Ac、c为随机变量，统计特征见表4，其他参数按表3取值。表3 6座悬索桥的基本设计参数主跨跨径l/m主缆矢高f/m主缆面积Ac/m2结构恒载w/kN·m-1均布活载p/kN·m-120002220.92306025002781.232586030003331.632916035003892.123316040004442.723796050005564.4851960表4 随机变量的分布参数均值变异系数分布类型Ac表1中设计值0.05对数正态w表1中设计值0.08正态p表1中设计值0.05I型极值c16780000.05正态直接利用式(17)作为概率安全系数计算的功能函数，利用提出的方法分别计算可靠度系数=3.5、4.0、4.5、5.0时的概率安全系数评估结果见表5和图3。表5 概率安全系数评估结果悬索桥0=3.50=4.00=4.50=5.0l =20003.49(5)3.35(5)3.22(5)3.09(5)l =25003.47(