用向量法求二面角的平面角教案

1、第三讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。为

2、适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。教学目标1. 使学生会求平面的法向量；2. 使学生学会求二面角的平面角的向量方法；3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法教学难点求

3、解二面角的平面角的向量法教学过程I、复习回顾一、回顾相关公式：3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(化为向量问题)(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；(进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形)n、典例分析与练习例 1、如图，ABCD是一直角梯形，ABC 90 , SA 面 ABCD, SA AB BC 1,1AD -,求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值. 2分析分别以BA, AD,AS所在直线为

4、x,y,z轴，建立空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量n1,平面sba法向量n2,利用力从夹角求平面SCD与平面SBA的夹角余弦值。解：如图建立空间直角坐标系 A xyz,则- , ，、r , g、r -* *1*1*1易知面 SBA的法向量为 n- AD (0,- ,0) , CD (1, -,0),SD (0,-, 1)x - 0设面SCD的法向量为n； (x,y,z),则有 2 ，取z 1,得x 1,y 2, n2 (1,-,1) 义z 022又n；方向朝面内，n2方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向 量夹角即所求二面角的余弦值为也.3点拨求二面角的方法有两种：(1)利用

5、向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；(2)根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。练习1:正方体 ABCD AB1clD1的棱长为1,点E、F分别为CD、DD1的中点.求二面角F AE D的余弦值。1 1 一，11解：由题息知，F(0,1,-),E(3,1,0),则 AF (0,1,1) ,AE (- ,1,0)设平面AEF的法向量为n (x,y,z),则1n AF 0n AE 0y - z 02 ，取 y 1 ,得 x z 21x y 02又平面AED的法向量为AA (0,0,1)观

6、察图形知，二面角F AE D为锐角，所以所求二面角 F AE D的余弦值为-3练习2:如图，三棱柱中，已知 ABCCg边长为1的正方形,四边形 AAB B是矩形，平面AA B B 平面ABCD。试问：当AA的长度为多少时，二面角 D AC 解：如图建立空间坐标系 A xyz,则 DA'(A的大小为1,0,a)DC设面DAC的法向量为n1 (x,y,1)n1 0 得 n1(a,0,1)n10易得面AAC的法向量n2 ( 1,1,0)向量n1,n2的夹角为60：60 ?j j T T由 cos n1 ,n2|R |出|a2 1 2当AA = 1时，二面角 D ACA的大小为60，.设计说明

7、：复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况.练习3:正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为2 , P是侧棱 AA1上任意一点.当BC1 B1P时，求二面角C B1P Ci的平面角的余弦值.解：如图建立空间坐标系 O xyz ,设AP a则A,CB,P的坐标分别为(0,一一BC1(由 BC1 B1P ,得 BC1|BP 01,0),(0,1,0),( .3,0,2)(0, 1,a)V 3,1,2)即 2 2（a 2） 0 a 1又 BCi BiCBCi 面CBiPIBCi （疯1,2）是面CBiP的法向量设面CEP的法向量为n （i,y,z）,由jn °得n （ij3,273）, Bi Ci n °设二面角C BiP Ci的大小为 ，则cosBCjlnH 旭|BG|n|4in、小结与收获i、二面角的平面角的正弦值弦值:2、求平面法向量的方法90 ,点,ADLCD.IV、课后练习I、如图，已知四棱锥