复数代数形式地加减运算及其几何意义(教案设计)

1、实用标准新授课 :3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标重点 : 复数代数形式的加法、减法的运算法则难点 : 复数加法、减法的几何意义.知识点 : 1. 掌握复数代数形式的加、减运算法则;2 . 理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.能力点 : 培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法, 提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力教育点 : 通过探究学习, 培养学生互助合作的学习习惯, 培养学生对数学探索和渴求的思想.在掌握知识的同时 , 形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.考试点：会计算复数的和与差; 能用复数加、减法

2、的几何意义解决简单问题.易错易混点：复数的加法与减法的综合应用.拓展点：复数与其他知识的综合.一、引入新课复习引入1. 虚数单位 i ：它的平方等于1, 即 i 21;2 . 对于复数 za bi a, bR ：当且仅当 b0时 , z 是实数 a ;当 b0 时 , z 为虚数 ;当 a0 且 b0时 , z 为纯虚数 ;当且仅当 a b0 时 , z 就是实数 0 .3 . 复数集与其它数集之间的关系： N Z QR C .4 . 复数几何意义：复数 z abi a,b R一一对应复平面内的点 Z a,b复数 z a bi a,b R一一对应复平面内的向量OZ = a,b我们把实数系扩充到

3、了复数系, 那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的 , 这节课我们就来研究复数的加减运算 .【设计意图】 通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识, 使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境, 为探究本节课的新知识作铺垫 .二、探究新知文档实用标准探究一 : 复数的加法1. 复数的加法法则我们规定 , 复数的加法法则如下:设 z1 a bi , z2cdi( a, b, c, dR ) 是任意两个复数, 那么：z1z2(a bi)( c di) (a c) (bd )i提出问题：( 1) 两个复数的和是个什么数, 它的值唯一确定吗?(

4、2 ) 当 b=0, d0 时 , 与实数加法法则一致吗 ?( 3 ) 它的实质是什么 ?类似于实数的哪种运算方法 ?学生明确 :( 1) 仍然是个复数 , 且是一个确定的复数 ;( 2)一致;( 3 ) 实质是实部与实部相加, 虚部与虚部相加 , 类似于实数运算中的合并同类项【设计意图】 加深对复数加法法则的理解, 且与实数类比 , 了解规定的合理性 : 将实数的运算通性、通法扩充到复数 , 有利于培养学生的学习兴趣和创新精神2 . 复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律, 复数的加法满足这些运算律吗?对任意的 z1 , z2 , z3 C , 有z1z2z2z1 （交换律） ,( z1

5、 z2 )z3z1( z2z3 ) （结合律） .【设计意图】 引导学生根据实数加法满足的运算律, 大胆尝试推导复数加法的运算律, 学生先独立思考, 然后小组交流 . 提高学生的建构能力及主动发现问题, 探究问题的能力3 . 复数加法的几何意义复数与复平面内的向量有一一对应关系, 那么请同学们猜想一下, 复数的加法也有这种对应关系吗?设 OZ1 , OZ2 分别与复数 abi, c di 对应 , 则有 OZ1(a,b),OZ2 (c, d) , 由平面向量的坐标运算有OZ1OZ2(a c,b d ) .这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)+(bd )i 对应的向量 . 因此 ,

6、 复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行 . 这就是复数加法的几何意义. 如图所示：yZ2 (c, d )ZZ1 (a ,b)Ox由图可以看出 , 以 OZ1 、 OZ2 为邻边画平行四边形OZ1ZZ 2 , 其对角线 OZ 所表示的向量 OZ 就是复数(a c)+( b d )i 对应的向量 .【设计意图】 通过向量的知识 , 让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则, 训练学生的形象思文档实用标准维能力 , 也培养了学生的数形结合思想 . 另外 , 当两复数的对应向量共线时 , 可直接运算 ; 当不共线时 , 可类比向量加法的平行四边形 , 也培养了学生的类比思想 .探究

7、二 : 复数的减法类比复数的加法法则, 你能试着推导复数减法法则吗?1. 复数的减法法则我们规定 , 复数的减法是加法的逆运算, 即把满足(cdi)(xyi)abi的复数 x yi 叫做复数 a bi 减去 c di 的差 , 记作(abi)(cdi) . 根据复数相等的定义, 有cxa, dyb ,因此xac, ybd ,所以xyi(ac)(bd)i ,即(a bi)(cdi)( ac)(bd )i .这就是复数的减法法则 , 所以两个复数的差是一个确定的复数.【设计意图】 复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的, 渗透了转化的数学思想方法, 是学生体会数学思想的素材. 让学生自己动

8、手推导减法法则, 有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯. 考查学生的类比思想, 提高学生主动发现问题 , 探究问题的能力2 . 复数减法的几何意义设 OZ ,OZ分别与复数 a bi, c di 对应 , 则这两个复数的差z1 z2 与向量 OZOZ （即ZZ）对应,121221这就是复数减法的几何意义. 如图所示 .yZ1Z2Ox【设计意图】两个复数的差z1 z2 （即 OZ1OZ2 ）与连接两个终点Z1 , Z2 , 且指向被减数的向量对应, 这与平面向量的几何解释是一致的; 它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能, 也使数和形得到了有机的结合 注意 ：只有将差向量平移至以原点

9、为起点时, 其终点才能对应该复数.三、理解新知1. 复数的加减法法则:设 z1abi , z2cdi( a,b, c,dR) 是任意两个复数, 规定：z1z2(ac)(bd)i ;z1z2(ac)(bd )i .文档实用标准2 . 复数加、减法的几何意义：( 1) 复数的加法按照向量加法的平行四边形法则;( 2 ) 复数的减法按照向量减法的三角形法则.3. 几点说明 :( 1) 复数的加 ( 减 ) 法法则规定的合理性: 它既与实数运算法则, 运算律相同 , 又与向量完美地结合起来;( 2 ) 复数的加 ( 减 ) 法实质是 : 复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;( 3 ) 多个复数相加

10、减 : 可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减( 4 ) 复平面内的两点间距离公式: d z1 z2 .其中 z1 , z2 是复平面内的两点Z1 和 Z2 所对应的复数 , d 为点 Z1 和点 Z2间的距离 .即两个复数差的模的几何意义是 : 两个复数所对应的两个点之间的距离【设计意图】 加深对复数加 ( 减 ) 法法则的理解 , 从不同的角度总结, 既学到知识 , 又学到了数学方法, 使知识更加系统化 , 学生的思维将上升到一个更高的层面, 为准确地运用新知, 作必要的铺垫 . 培养学生的归纳概括能力 , 使学生对所学的知识有一个整体的认识, 解决问题时可以信手拈来.四、运用新知

11、例 1. 计算：(1)( 23i)(5i) ;(2)(12i)(12i) ;(3)(23i)(52i) ;(4)(56i)(2i)(34i) ;解 :(1)(23i)(5i)( 25)(31)i32i ;(2)(12i)(12i)( 11)(22)i0 ;(3)(23i)(52i)(25)(32)i35i;(4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i .【设计意图】 直接运用复数的加、减法运算法则进行, 就是将它们的实部、虚部分别相加、减, 实数范围的运算律在复数范围内仍然成立 .变式训练 :计算 (1 2i) ( 23i)(34i)( 45)i(19992000i)( 20

12、002001i).解：（解法一）原式(12345619992000)(2 34 562000 2001)i10001000i .（解法二） (12i)(23i)1i ;(34i)(45i)1i ;(19992000i)(20002001i)1i .将上列 1000 个式子累加 , 得1000( 1i) 1000 1000i.【设计意图】 复数的加减法 ,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手 , 抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点, 适当地进行组合, 从而可简化运算. 进一步巩固复数加减运算 , 并带有一定的规律性 .文档实用标准例 2.(1)设 O

13、Z ,OZ分别与复数 z1 53i, z214i 对应 , 计算 z1z2 , 并在复平面内作出 OZOZ,1212(2) 设 OZ1,OZ2分别与复数 z113i, z22i 对应 , 计算 z1 +z2 , 并在复平面内作出OZ1OZ2 .解：yyZZ2Z 1Z1Z 2OxOx图 1图 2(1)z1z2 =(5+3i)(14i)(51) (34)i 4i . （如图1所示） ;(2)z1 +z2(1 3i)(2i)(12) (3 1)i 34i. （如图2所示） .【设计意图】 由复数的几何意义知 , 复数 1 ,2 所对应的的点分别为12 .OZ1OZ2就是表示向量Z2Z1, 而zzZ

14、, ZOZ1OZ2 可利用平行四边形法则作出 .变式训练 :已知复数 z1 a23( a 5)i , z2 a1(a22a1)i(aR) 分别对应向量OZ1, OZ2 （ O 为坐标原点） , 若向量 Z1Z2 对应的复数为纯虚数, 求 a 的值 .答案： a1.例 3 . 已知关于 x 的方程： x2(6i) x9ai0(aR ) 有实数根 b .(1)求实数 a,b 的值 ;(2) 若复数 z 满足 zabi2 z0 , 求 z 的最小值解：(1) 由题意 , 得 b2(6i) b 9ai0, 即 (b26b 9)(ab)i0 .由复数相等的定义得b26b90,解得 ab3 .ab0(2)

15、 设 zx yi( x, yR) ,由 z a bi 2 z0 , 得 (x 3) ( y 3)i2 z ,即 ( x 3)2( y3)24(xy) 2 , 整理得 ( x 1)2( y1)28 ,即复数 z 在复平面内所对应的点Z( x, y) 的轨迹是以 C(1,1)为圆心 , 半径长为2 2的圆 .文档实用标准又 z 的几何意义是Z( x, y) 与原点 O(0,0) 的距离 ,如图 , 由平面几何知识知, z minCACO2222 .【设计意图】 在问题 (1) 中由复数相等的概念, 列方程组求出两个参数值, 把复数问题实数化, 既复习了概念 ,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力

16、;在问题 (2) 中由z(x0) 2( y0) 2 , 把 z 转化为复数 z 所对应的点与原点的距离, 解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形, 在图形中寻求答案,把数转化成形, 利用数形结合思想解决即可变式训练 :复数 z 的模为 1, 求 z1i 的最大值和最小值.答案 :2+1,21.【设计意图】 通过变式训练, 便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题, 提高学生理解、运用知识的能力.五、课堂小结(一)知识:1. 复数代数形式的加法、减法的运算法则;2. 复数加法、减法的几何意义 .3. 几点说明 :( 1) 复数的加 ( 减 ) 法法则规定的合理性: 它既与实数运

17、算法则 , 运算律相同 , 又与向量完美地结合起来 ;(2 ) 复数的加 ( 减 ) 法实质是 : 复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;(3) 多个复数相加减 : 可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减(4) 复平面内的两点间距离公式 : d z1 z2 .其中 z1 , z2 是复平面内的两点Z1 和 Z2 所对应的复数 , d 为点 Z1 和点 Z2 间的距离 . 即两个复数差的模的几何意义是 : 两个复数所对应的两个点之间的距离( 二 ) 思想方法 : 类比的思想、转化的思想、数形结合的思想【设计意图】 通过课堂小结, 增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的

18、理解, 及时查缺补漏 , 从而更好地运用知识, 解题要有目的性, 加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用深化对知识的理解 , 完善认识结构, 领悟思想方法 , 强化情感体验, 提高认识能力 . 引导学生自我反馈、自我总结, 并对所学知识进行提炼升华, 使知识系统化 . 让学生学会学习, 学会内化知识的方法与经验, 促进学习目标的完成 .文档实用标准六、布置作业必做题：1. 计算： (1)(24i)(34i) ;(2)(3 4i) (2 i) (15i) .2. 复数 6+5i 与3+4i 对应的向量分别是OA 与 OB , 其中 O 是原点 , 求向量 AB , BA 对应的复数 , 并指出

19、其对应的复数位于第几象限 .3. 复平面上三点A, B, C 分别对应复数1,2i,5 2i, 则由 A, B, C 所构成的三角形ABC 是三角形 .4. 求复数 2 i , 3i 所对应的两点之间的距离5. 已知复数 z 满足 z+ z 2 8i , 求复数 z .6. 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O, A,C 对应的复数分别为0,3 2i, 2 4i,试求 :(1) AO 表示的复数 ;(2) CA 表示的复数 ;(3)B 点对应的复数 .答案: 1. (1)5 ;(2)2 2i .2. 9i , 位于第三象限 ;9 i , 位于第一象限 .3. 直角三角形 .4 .5 .5.

20、 z158i .6. (1)3 2i ;(2)5 2i ;(3)1 6i选做题：1. 在复平面内 , 求满足方程 z+iz i4的复数 z 所对应的点的轨迹2 . 复数 z1 ,z 2 满足 z1 z2 1 ,z1 +z22 , 求 z1 z2 .答案：1. 提示 : 方程可以变形为 z ( i)z i4 |, 表示到两个定点(0, 1) 和 (0,1) 距离之和等于4 的点的轨迹 , 故满足方程的动点轨迹是椭圆2 . 提示 : 法一 : 数形结合思想 , 构造边长为1的正方形 , 则其中一条对角线的长度为2 , 则所求的另一条对角线的长度也等于2 .法二 :( 向量法 ) 设 z1 ,z 2 所对应的向