图形的运动与坐标

1、图形的运动与坐标几何变换是指把一个几何图形Fi变换成另一个几何图形 F2的方法。我们初中阶段学习的几何变换有四种：平移变换，旋转变换，轴对称变换和位似变换。几何变换虽然不改变图形的形状，但改变了图形的位置。那么，如何将图形的运动后的位置确切的表示出来呢？若将图形放在平面直角坐标系中，将变换前和后的坐标分别表示出来，就可知变换的具体规律。且我们知道图形是由点组成的，而图形的运动实质是点的运动。只要研究一对对应点的变化规律，其他的对应点横纵坐标同时作相同的变化，就可以得到图形在平面直角坐标系中如何运动了。现就探讨在平面直角坐标系中当图形作以上四种变换时，其中任意一对对应点点A到点B坐标变化规律及其

2、应用。一.平移变换1 .定义：图形的平行移动。平移是由平移的方向和平移的距离决定的。2 .性质：平移后的图形与原图形全等，对应线段平行或在同一直线上且相等， 对应角相等。3 .坐标的变换：(1 )A(x, y尸B(x +m, y户 点A沿x轴平移m价单位长度得到B点若m>0,则点A向右平移m单位长度得到B点，若m<0,则点A向左平移ml单位长度得到B点，(2).A(x,y H B(x,y+n上点A7&Y轴平移n个单位长度得到B点若n>0,则点A向上平移n个单位长度得到B点，若n<0,则点A向下平移n个单位长度得到B点，(3)A(x,y尸B(x+m,y+n六 点颂

3、沿x轴又沿y轴平移得到B点i若m>0,n>0,则点A先向右平移 若m>0,n<0,则点A先向右平移 若m<0,n>0,则点A先向左平移 若m<0,n<0,则点A先向左平移m件单位长度, m件单位长度, m件单位长度, m件单位长度,再向上平移再向下平移再向上平移再向下平移n个单位长度得到 n个单位长度得到 n个单位长度得到 n个单位长度得到B点,B点,B点,B点.例1说出下面的点是如何移动的：A 1,2> B -5.5,3解：-5.5 -1 - -6.5,3 -2 =1.点A移到点B是先向左平移了 6.5个单位长度，再向上平移了1个单位长度

4、例2.如图：ZXABC的顶点坐标如图所示，A(2,3), B(0,0), C(4,0),若A点经过平移到达点D(8,8),问：4ABC经过怎样平移得到 DEF,并求其它两点的坐标？解：由题意得： ABC经过向上平 移6个单位，向右平移5个单位得 到ADEF。平移后点E,点F的坐标 分别为 E (6,5), F(10,5)。二.旋转变换1 .定义：把平面图形 F1绕一定点旋转一个角度得到 图形F2,则由F1到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角。旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角度决定的。2 .性质：旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中 心的距离相等。对

5、应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。3 .坐标的变换：因旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角度决定的，这三个要素都具有随意 性，所以旋转变换中，点的坐标变化情况要具体问题具体分析。对图形的旋转中心在坐标原点，旋转角度是900, 1800, 2700,也是有一定规律可循的。若将点A绕坐标原点逆时针旋转900到点B,A x,y )B -y,x若将点A绕坐标原点顺时针或逆时针旋转1800到点B,即中心对称：A x,y > B -x, -y若将点A绕坐标原点逆时针旋转2700到点B,A x,y > B y,-x例3.如图：zOAB的三个顶点的坐标为，A(0,4), B(-3,0),

6、0(0,0)。(1)求将它绕点。逆时针方向旋转900后各顶点的坐标。(2)求将它绕点。逆时针方向旋转 180°后各顶点的坐标。(3)求将它绕点。逆时针方向 旋转270°后各顶点的坐标。解:如图A1(-4,0),B1(0,-3)A2（0,-4）,B2（3,0）;（3）A3（4,0）,B3（0,3）;三.轴对称变换1 .定义：如果把一个图形沿着同一平面内的一直线翻折180°,能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。2 .性质：两个图形关于某条直线对称，那么对称点的连线被对称轴垂直平分, 如果他们的对应点的连线或其延长线相交，那么交点必

7、定在对称轴上。3 .坐标的变换：若点A,B关于X轴对称：A(x,y尸B(x,-y)若点A ,关于Ytt对称：A x ,y B - x y ,若点A ,救于第一，三象限白平分线成轴对称 A: x,y B y x,若点A ,庆于第二，四象限的平分线成轴对称：A x , y B -y -x例4.已知 ABC的三个顶点的坐标为:A(2, 1), B(5, 1), C(3, 4),Ci (-3,4)。(1)求zABC关于Y轴的对称图 形AiBiCi的三个顶点的坐标。(2)求4ABC关于X轴的对称图 形4A2B2c2的三个顶点的坐标。解：如图：(1) AiBiCi的三个顶 点的坐标分别为Ai (-2,1)

8、, Bi (-5,1),(2) 4A2B2c2 的三个顶点的坐标分别为 A2 (2,-1), B2 (5,-1), C2(3,-4)o四.位似变换平移变换，旋转变换，轴对称变换都是只改变图形的位置，而图形的形状，大小都不发生改变的合同变换。位似变换只保持图形的形状不发生改变，位置和 大小都发生改变的变换。1 .定义：若两个图形相似且对应点的连线相交于一点， 像这样的相似叫做位似交点叫位似中心2 .性质：作位似变换可以将图形放大或缩小。3 .坐标的变换：因为图形作位似变换，位似中心可以取在图形的外部，内部，边上或顶点处, 且位似的图形可以与原图形在同一侧或在异侧，所以坐标变化的规律也比较难 找。

9、现以原点为位似中心，位似图形与原图形在位似中心的同一侧，将图形放大 m倍，对应点点A变化到点A,A x, y A' mx, my例5.已知 OAB的三个顶点的坐标为：A(2,4), B(6,0), O(0,0),(1)以O为位似中心，缩小到原图形的坐标；(2)以A为位似中心，缩小到原图形的的坐标；(3)以B为位似中心，缩小到原图形的的坐标，1 一-的包似图形 AiBiCi的三个顶点的21 一，的，包似图形4 A2B2c2的三个顶点211的，包似图形 A3B3c3的二个顶点2解：(1)如图：ZXO1A1B1的三个顶点 的坐标分别为 O1(0,0)A1 (1,2)B1 (3,0) 或。11(0,0) A11 (-1,-2)B11 (-3,0).(2)如图： O2A2B2的三个顶点的坐标 分别为 O2(1,2)A2 (2,4)B2 (4,2)或 O22 (3,6) A22 (2,4)B22 (0