常微分方程习题(16)

1、常微分方程期末测试卷(22)一、填空题(30%)1. 若y=yg尸丸(0是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为.2. 方程 = x- + r满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx条件3. 连续是保证方程 = /(x,y)初值唯一的Av一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组= A(x)Y的一个基本解组的个数不能多于dv个，其中 xeR, Y e R5. 二阶线性齐次微分方程的两个解y = ®(x), y = 0(龙)成为其基本解组的充要条件是.6 方程 = sinx.cosv满足解的存在唯一性定理条件的区域 dv是.7.方程 = x- tany的所有常数解是.d

2、v&方程xsin ydv4- ycosxdy = 0所有常数解是.9. 线性齐次微分方程组的解组KCv), 丫2(x),y”(x)为基本解组的 条件是它们的M斯基行列式W(x)丰0 .个.10. ”阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为二、计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：虬上 + tadx X Xdv *>cosv-cosxsin" v = siny dx '°(2xy -cosx)dx + (%" 一)dy = 0dxdrdv2x + 3yIdz2.3.4.5.三、证明题(30%)1. 试证明：对任意兀及满足条件0儿 1的儿，方

3、程dy _ y(y-i)dx 1 + X" + y'的满足条件y(Xo)=儿的解y =0)在(-8,+8)上存在.2设/(;v)在0,+s)上连续，且lim f(x = 0»求证：方程+ y = /(x)的任 XTFctv恿:解v = y(x)均有Um v(x) = 03.设方程 = xf(y)中t f(y)在(-8, +8)上连续可微，且yf(y)<0 , dx(y工0).求证：该方程的任一满足初值条件yCv。)=几的解)0必在区间心+8)上存在常微分方程综合练习参考答案一.填空题1. C,>,(X)- 2M + >'j(X)2.加y平面

4、 3.充分 4. "5.线性无关 6. xoy 平面 7.£ = 0.±1,±28. y = /: = 0, ± 1, ± 2, ；JT或 X h /CTT, A = 0. ± 1, ± 2。29.充分必要 10. ZI二.计算题1.解，令“=上，则£ + +加XduX=tan “ dx当tan W H 0时等号两边积分f卫-訂竺+GJ tan/1 J Xliisinn =bix +lnC| C 工 0y厂sin = CvX2. 解5 4* Z = sin V » 则=cosy dx ” dx代

5、入方程得dz ，Z" COSX = Z dxdz今Z = Z COSX dx再令"=z",则得 + tt =-cosxAvf-Idv ffl(k_« =7 (I -cosxe'* gLv + C|)=e" (Jcosxe'dv + C,)所以=gcosv + sin X)+ CjC"2 _+ cosv + sinx = Ce ”sinx3.解 由于 = 2% = ,所以原方程是全微分方程. 勿dr取(心，几)=(°,°),原方程的通积分为j(2xy cosxdx jdy = Cxy-3inx-y =

6、 C4.特征方程为-A -2 1-/1A-A£ =即 特征根为"-21O_ 21-20人=2对应特征向量应满足可确定出如_Tb.2同样可算出儿=-1对应的特征向量为少2_所以，原方程组的通解为XL>'J=G2/-e5.解：特征方程为才一4/1 + 5 = 0 特征根为几门=2±ZX(2+Ofa=e_y_b_ -2 解得 2« = (!-/> 取 b = l + i,贝 y a =X=0于是Lyj=Ge"costcost -sin?+C2Jsin/cos/+ sin r三、证明题1-证： 山于 /(儿 刃=11 + % + y

7、、(2y-l)(l + x'+r)-.v(y-l)2.v fy(X，y)=liin y(x) = lim+ limx-»00XT»XT»0Un止x-*(»A%ei。r 若r/(s)eFds 收敛J心=0,若/(巧7曲发散(1 + F+),2)2在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定 理条件.乂显然y = 0,y = 1是方程的两个特解.现任取旺e(YO, + 8),儿(0,1), 记y = y(x)为过(弘几)的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，乂 上不能穿越y = l,下不能穿越y = 0,因此它的存在区间必为(-OO, + OO).2.证明设y = y(x)为方程任一解满足)仇)=儿，曲常数变易法有y(A)=儿严如+eTf 工/严d5于是由已知条件，方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展证明3.定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远.乂由已知条件，知y = 0是方程的一个解.且在上半平面(y>0),有/ = %7(>*)<0；在下半平面(y<0),有/ = %7(>*)>