2018年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)(一)

1、2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）设U=R已知集合A=x|x>1,B=x|x>a,且（？uA）UB=R,则实数a的取值范围是（）A.（一0°,1）B.（oo,1c（1,+00）D.1,+00）2. （5分）若复数4,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且Z1=1-2i,则复数21在复平面内对应的点在（勺A.第一象限B.第二象限C第三象限 D.第四象限16页3. (5分)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=加合，b”的(A.充分

2、不必要条件B.必要不充分条件4.A.则sin2品勺值为（C.充要条件D.既不充分也不必要条件(5分)若2832a,/B."C，1D.；5. （5分）已知等比数列an的前n项和为&,且9S3=S6,a2=1,则a尸（A-B-C.二D.2226. （5分）已知曲线4=1（a>0,b>0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线ab的距离为血，则该双曲线的方程为（）A./2_yB=B，x2y2=1C.yD-jx2D.x2y2=27. （5分）我国古代名著庄子？天下篇中有一句名言尺之槌，日取其半,万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如

3、图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）A.一：.,、B.<',-：；,.-.：!11C.,一,一ID.<,一,一I8. （5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球Oi、6,这两个球相外切，且球Oi与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点&的三个面相切，则两球在正方体的面AAGC上的正投影是（）9. （5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2X2X3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（B二)D.710.（5分）函数v= W的

4、图象大致是（）11. （5分）抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA，PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：粕=2.24）（）A.-BJ2工C.DV；12. （5分）已知函数f（x）=4sin（2x=），戈E0,军,若函数F（x）=f（x）63-3的所有零点依次记为x1,x2,x3,，xn,且x1<x2<x3<<刈，则x1+2x2+2x3+2%1+%=()1276兀A.B.4457tC.4557tJ4填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. （5分）（x-y）10的展开式中，x7y3的系数与

5、x3y7的系数之和等于.5箕+3/1514. （5分）设x,y满足约束条件,y<x+l,且x,yCZ,贝Uz=3x+5y的最大Lx-5y3值为.2产，k<215. （5分）设f（x）='p、一，且f（f（a）=2,则满足条件的alog3（x-Dtx>2的值有个.16. （5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （12分）在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2cosBacosC+ccos

6、Q+b=0.（I）求角B的大小；（H）若a=3,点D在AC边上且BD±AC,BD=1卬3求c.1418. （12分）如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=4E是AD的中点.将ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB1平面BCDE如图2.（I）求证：平面PBCL平面PEC（II）求二面角B-PE-D的余弦值.19. （12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期问，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6,对服务的好

7、评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（I）完成下面的2X2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200(H)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:(1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列；(2)求X的数学期望和方差.附：P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(n(ad-bc),其中n=a+b+c+d)ta+b)(c+d)(

8、arf-c)(b+d)2220. (12分)给定椭圆C:%三=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为d/+b2的圆是椭圆C的准圆”.已知椭圆C的离心率已正，其准圆”的方程为x2+y2=4.3(I)求椭圆C的方程；(II)点P是椭圆C的准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线11,12交准圆”于点M,N.(1)当点P为准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线11,12的方程，并证明11112；(2)求证：线段MN的长为定值.21. (12分)已知函数f(x)=(t-1)xex,g(x)=tx+1-ex.(I)当tW1时，讨论f(x)的单调性；(H)f(x)<g(x)在0,+00)上恒成立

9、，求t的取值范围.选彳4-4-4:极坐标与参数方程22. (10分)已知直线1:3x-V5y-6=0,在以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C:p-4sin0=0(I)将直线1写成参数方程"=口(t为参数，代0,九)，)的形式，y=tsincl并求曲线C的直角坐标方程；(n)过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交1于点A,求|AP|的最化选彳4-5：不等式选讲23.已知关于x的不等式|x+1|+|2x-1|03的解集为x|m&x&n.（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n-m,求JL+L+L的最小值.

10、abc2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）设U=R已知集合A=x|x>1,B=x|x>a,且（？uA）UB=R,则实数a的取值范围是（）A.（一0°,1）B.（oo,1c（1,+00）D.1,+00）【解答】解：:U=R集合A=x|x11=1,+8）,B=x|x>a=（a,+00）,?uA=（-°°,1）,又（？uA）UB=R实数a的取值范围是（-8,1）.故选：A.2. （5分）若复数Z1,Z2在复平

11、面内对应的点关于虚轴对称，且Z1=1-2i,则复数受在复平面内对应的点在（）勺A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限【解答】解：.Z1=1-2i,且复数Z1,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,Z2=-12i,12=-l-2i二(-1-2i)(l+2i)_3_4.勺l-2i=(1-21)(1+21)工5复数在复平面内对应的点的坐标为（ 勺），在第四象限. 55故选：D.3. (5分)已知向量彳=(m1,1),b=(m,2),则7=加IkE”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：=；二（mT,1）,E=（m,2）,.lib?m（m-1）

12、-2=0.由m（m-1）-2=0,解得m=-1或m=2.“m=21ILE”的充分不必要条件.故选：A.A B C.【解答】解：若2cdw2a二sinf4. （5分）若2cg2UFin（5-仃），贝sin2品勺值为（）)s二-CL),即2(cos2a-sin2a)=cosor坐sin0422贝2(coso+sin4=,即coso+sina也,.1+2sinacosX=即sin2a=2sinacosa二248故选：C.5. （5分）已知等比数列an的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a尸（）AB=C.丁D.222【解答】解：设等比数列an的公比为qw1,.93=6,%=1,.9al_ai

13、（1-Q6）,/=,a1q二1.1-q1-q贝Uq=2,a1=-.故选：A.226. （5分）已知曲线三-4=1（a>0,b>0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线ab的距离为则该双曲线的方程为（）A.x2-y2=yB.x2-y2=1C./-/二亚D.x2-y2=2±1【解答】解：根据题意，若曲线%-4=1（a>°，b>°）为等轴双曲线，则a2=b2，a2b2c=U+，、：=.a,即焦点的坐标为（土a0）;其渐近线方程为x±y=0,若焦点到渐近线的距离为近，则有上经L=a=&,Vi+i22则双曲线的标准方程为二-二1,即x2-y

14、2=2;22故选：D.7. （5分）我国古代名著庄子？天下篇中有一句名言尺之槌，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）A.-.LIB.<'.-'I11C.TD._，-T22【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下工，第二次剩下士，由此得出222第7次剩下三，27可得为i<7?i=i+1故选：D.8. （5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球Oi、O2,这两个球相外切，且球Oi与正方体共顶点A的三个面相切，球

15、O2与正方体共顶点Bi的三个面相切，则两球在正方体的面AAiGC上的正投影是（）【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AAiGC上的正投影与正方形相切，排除C、D,把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A;B正确；故选B9. （5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2X2X3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（【解答】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路,共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次,.最近的行走路线共有：n=A1=5040,不能连续向上，

16、.先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列岛接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素,也就是As3,则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m=靖热=1440种，其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p用告需=1.n50407故选：C.10. （5分）函数y=Jf|>的图象大致是（）【解答】解：当x>0时，y=xlnx,y'=+1nx,即0<x<L时，函数y单调递减，当x>X,函数y单调递增，ee因为函数y为偶函数，故选：D11. (5分)抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点，若抛物线M上一点P满足

17、PA，PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据：巡-2.24)()A.B.C.D.一【解答】解：由题意，A(-1,0),F(1,0),点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上.设点P的横坐标为m,联立圆与抛物线的方程得x2+4x-1=0,m>0,m=-2+/s,点P的横坐标为-2+75,.|PF=m+1=1+娓，圆F的方程为(x-1)2+y2=(V5-1)2,令x=0,可得y=±d5-2&,.|EF=2勺5-2正二凶5二2义2.24=ViTL故选：D.12. (5分)已知函数f(x)=4sin(2x-L)，戈E0,卓；,若函数F(x)=f(x)63-

18、3的所有零点依次记为x1,x2,x3,xn,且x1<x2<x3<<刈，则x1+2x2+2x3+2%1+%=()A.1276 兀B. 4457tC. 455 7t【解答】解：函数f(x)二4sin(2K),0入门 n it , ZB 1 ji 令 2x- -=+k Tt # x=-k TT +,6 2231JTkCZ,即f(x)的对称轴方程为x/k兀F，kCZ.f(x)的最小正周期为丁=砥0&x0驾L,当k=30时，可得x=生,f(x)在0,粤口上有30条对称轴,根据正弦函数的性质可知：函数f(x)二4sin(2K)与丫=3的交点方,X2关于6对称，X2,X3关于

19、至可对称，6即Xi+X2=ZLx2,X2+X3=2Lx2,，Xnl+Xn=2X(经nJL)6623将以上各式相加得：X1+2X2+2X3+2X28+X29=2("+3三十+且匹)=(2+5+8+89)666ITX=455几3贝UXl+2X2+2X3+，,+2xn-l+Xn=(Xl+X2)+(X2+X3)+X3+，+Xn-1+(Xnl+Xn)=2)=455阳故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. (5分)(x-y)10的展开式中，X7y3的系数与X3y7的系数之和等于-240.【解答】解：因为(x-y)10的展开式中含X7y3的项为Cio3X103y3(-1)

20、3=-Go3X7y3,含X3y7的项为C107x107y7(-1)7=-C107X3y7.由C103=G07=120知，x7y3与x3y7的系数之和为-240.故答案为-240.3yte1514. (5分)设x,y满足约束条件"v<k+1,且x,yCZ,贝Uz=3x+5y的最大x-5y3值为13.5x+3y<15【解答】解：由约束条件作出可行域如图，X-5y<3作出直线3x+5y=0,x,yCZ,平移直线3x+5y=0至(1,2)时，目标函数z=3x+5y的最大值为13.故答案为：13.2产，x<215. (5分)设f(x)=-、，且f(f(a)=2,则满足条

21、件的alog3(x-1),x>2的值有4个.2亡【解答】解：f(x)=，口-，且f(f(a)=2log3(x-Dtx>2当a<2时，f(a)=2ea1,若2ea1<2,则f(f(a)=2e2e''L1=2,解得a=1-ln2；若2ea112,贝Uf(f(a)=iog(Se3-1)2-l=2,解得a=lnS+1,成立；J2当a2时，f(a)=log3(a21),若10g3(a2-1)<2,则f(f(a)=2/口三3"1卜1=2,解得a=2,或a=-2,与a2不符，若1og3(a21)>2,则f(f(a)=1og3(1og3(a21)=

22、2,解得a2=310+1,a=J31口+或a=_3，。+1与a?2不符.由此得到满足条件的a的值有1-1n2和1W叵+1和2和石可1，共4个.2故答案为：4.16. （5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为3.一3一【解答】解：二.在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动,小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a,则内切球的半径为夸a,外接球的半径是5纸盒的内切球半径是返乂5&,1212设小正四面体的棱长是x,则W6.V6.二小正四面体的棱长的最大值为12

23、 45W，故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (12分)在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2cosBacosC+ccosQ+b=0.(I)求角B的大小；(H)若a=3,点D在AC边上且BD±AC,BD匹叵，求c.14【解答】解：(I)在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,且2cosB(acosC+ccosA)+b=0.贝U:2cosB(sinAcosC+sinCcosA+sinB=0,整理得：2cosBsin(A+C)=-sinB,由于：0<B<砥则：sinBw0,解得：cosb=，所以：b=2IL.3

24、(H)点D在AC边上且BD±AC,在直角BCD中，若a=3,BD=1,14解得：CD2=32-(y-)解得：CD-y1,则：sin/DBC，所以：cos/ABD=-T-二RC产则：在RtAABD中，但今二,cosZABD14 141SV314_l=二,14故：c=5.18. (12分)如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=4E是AD的中点.BE折起使A到点P的位置，平面PEB1平面BCDE如图2.(I)求证：平面PBCL平面PEC(II)求二面角B-PE-D的余弦值.【解答】(I)证明：:AD=2AB,E为线段AD的中点，b, c,将 ABE沿AB=AE取BE中点O,连接PO,则P

25、OLBE,又平面PEBL平面BCDE平面PEET平面BCDE=BE.PO,平面BCDEWJPO±EG在矩形ABCD中，.AD=2ARE为AD的中点，.BE!EC,WJECL平面PBE，EC!PB,又PB±PE,且PEAEC=EPB,平面PEC而PB?平面PBC平面PBCL平面PEC（R）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，.PB=PE=2则B（&，0,0）,E（一&,0,0）,P（0,0,比），D（-272,阻,0）,瓦二（打0,-近）,直二O,而=（-2加，而，-行）.设平面PED的一个法向量为左（

26、x,4公,fm*PE=/2x/2z=0由，- *m * PD=-2-1/2 x+/2y/2 2=0，令 z=- 1,则需3 1. T）又平面PBE的一个法向量为口 .1, 0），贝UCOS<卬，口）=-pz;q-=历乂1-linl-lnlV3X13二面角B-PE-D的余弦值为亨.19. （12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期问，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出

27、好评的交易为80次.（I）完成下面的2X2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关?对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200(H)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:(1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列;(k2=(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)(2)求X的数学期望和方差.P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附:,其中n=a+b+c+d)n(adHoc)2【解答

28、】解：(I)由题意可得关于商品和服务评价的2X2列联表如下:对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200K2=；1635,故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关.(n)(1)每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为g且X的取值可以是50,1,2,3.(X=1)二一三,豆其中P(X=0)=1)3喘,)125,(X=2)=。迢)2管)畸,(X=3)气那尸脸，X的分布列为:X0123(2);XB(3,2),5.E(X)=3乂春55D (X) =3X53-185 2522J20. (12分)给定椭圆C:2+%=1(a>b>0),称圆心

29、在原点O,半径为行了ab的圆是椭圆C的准圆”.已知椭圆C的离心率巳至,其准圆”的方程为x2+y2=4.3(I)求椭圆C的方程;(II)点P是椭圆C的准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线11,12交准圆”于点M,N.(1)当点P为准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线11,12的方程，并证明11112；(2)求证：线段MN的长为定值.【解答】解：(I)由准圆方程为x2+y2=4,则a2+b2=4,椭圆的离心率e=1/ 3 '解得：a=M, b=1椭圆的标准方程:(H)证明：(1) 准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为 设过点P (0, 2)且与椭圆相切的直线为y=kx+2,尸kx+2P (0

30、, 2),K _L 21LT+y =1,整理得(1+3k2) x2+12kx+9=0.=0,解得 k=± 1,11斜率不存在,直线y=kx+2与椭圆相切，=144k24X9(1+3k2).11,12方程为y=x+2,y=-x+2.kn=1,k1=-1,.k？蚂=1,则11-2.(2)当直线11,12中有一条斜率不存在时，不妨设直线贝li:x=±7s,当li：X=、/5时，li与准圆交于点(如,1)-1),此时I2为y=l(或y=-1),显然直线li,12垂直；同理可证当li：X=V5时，直线li,l2垂直.当li,l2斜率存在时，设点P(Xo,yo),其中Xo2+yo2=4

31、.设经过点P(xo,yo)与椭圆相切的直线为y=t(x-xo)+yo,尸t(箕笠o)+y口1 .由,2得(i+3t2)/+6t(y0tx0)x+3(y0tx0)23=0.k+y=1由二。化简整理得(3-x。2)t2+2x0yot+i-yo2=O,xo2+yo2=4.,.有(3-xo2)t2+2xoyot+(x。2-3)=0.设li,l2的斜率分别为ti,t2,2 .li,l2与椭圆相切，ti,t2满足上述方程(3-xo2)t2+2xoyot+(xo2-3)=0,ti?t2=-i,即li,l2垂直.综合知：li,l2经过点P(xo,yo),又分别交其准圆于点M,N,且li,l2垂直.线段MN为准

32、圆x2+y2=4的直径，|MN|=4,线段MN的长为定值.21. (i2分)已知函数f(x)=(t-i)x。g(x)=tx+i-ex.(I)当twi时，讨论f(x)的单调性；(H)f(x)<g(x)在。，+00)上恒成立，求t的取值范围.【解答】解：(I)由f(x)=(ti)xex,彳#f'(x)=(ti)(x+i)ex,若t>i,则x<i时，f'(x)<o,f(x)递减，x>i时，f'(x)>o,f(x)递增，若t<i,则x<i时，f'(x)>o,f(x)递增，x>i时，f'(x)<o,f(x)递减，故t>i时，f(x)在(-oo,-i)递减，在(i,+00)递增，t<i时，f(x)在(-8,i)递增，在(-i,+00)递减；(2)f(x)<g(x)在。，+00)上包成立，即(t-i)xex-tx-i+ex<o对？x>o成立，设h(x)=(t1)xextx1+ex,h(0)=0,h'(x)=(t-1)(x+1)ex-t+ex,h'(0)=0,h(x)=ex(t-1)x+2t-1,t=1时，h(x)=ex>0,h'(x)在0,+oo)递增，