常微分方程初值问题答案

1、1.（10分）对常微分方程初值问题=一(lxy(0) = 1(0<x<l)取步长/? = 0丄 分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kuila法作数值讣算，写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。解：（1）改进的Euler方法：代入公式得儿4=0.905儿，即凡=0.905"2分(2)标准的四阶Runge-Kutta方法j儿+1 =凡 + 字& +2/C, +2*3 +匕)=0.9048375儿 0匕=一儿d = 一(儿 +0.05处)=一0.95 儿3=-(儿+0.05© = -0.9525 儿玄4=一(儿+0.虫)=一0.90475 儿

2、即儿=0.9048375"（4分）斗改进的Euler法儿经典四阶R-K法儿准确值y（xj0. 10.90500000.90483750.90483740.20.81902500.81873090.81873080.30.74121760.74081820.74081820.40.67080200.67032030. 67032000.50.60707580.60653090. 60653070.60.54940350.54881200. 54881160.70.49721020.49658560. 49658530.80.44997530.44932930. 44932900.90.

3、40722760.40657000. 4065697L00.36854100.36787980.36787942.对常微分方程初值问题(ly I=一一ydx 2y(0) = 1(0<x<l)取步长/? = 0丄 分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kuila法作数值讣算，写出公式和推导过程，并把结果填入表内。解：（1）改进的Euler方法：代入公式得儿4=0.95125儿，即儿=0.95125”（2分）（2）标准的四阶Runge-Kutla方法j=凡 + 字 & + 2*2 + 2匕 + 可=0.951219儿 0即儿=0.95145314"（4分）匕

4、=-儿/2込=_（几 + 0.05k|）/2 =-0.4875 儿匕=一（儿 + 0.05妬）/ 2 = -0.4878125儿jtq =-（儿+0"3）/2 = -0.47622儿斗改进的Euler法儿经典四阶R-K法儿准确值y（兀）0. 10.9512500.9512190. 9512290.20.9048770.9048180. 9048370.30. 8607640.8606970. 8607080.40. 8188020.8186950.8187310.50. 7788850.7787580. 7788010.60.7409140.7407700. 7408180.70.7

5、047950. 7046340. 7046880.80.6704360.6702610. 6703200.90. 6377520.6375650.6376281.00. 6066620.6064640.606531（10分）数值分析复习题一、填空题1. 绝对误差限=束位的一半+单位，相对误差限=绝对误追限/原值*100%1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为,相对误差限是O,测量的相对误差限2. 测量一支铅笔长是16cm,那么测量的绝对误差限是_是。,相对误差限3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为是O2. 利用平方差的方法 4在数值计算中，当"是较大的正数时

6、计算-石应变成.5.在数值计算中，计算6-后应变成来讼算。6.在数值计算中计算1-COS3应变为来讣算03f的位数与f(x)的垠高次柑同的话，就是最高位的常数，大于的话为0 7.若/Cr) = 2x'-7+9疋-2X + 100.则/1,44444'= /1333333"=&函数/(X)关于三个节点xz/2的拉格朗日二次插值多项式为.3f(x=f(xO)(xx 1 )(xx2/(xOx 1 )(x0x2l 4S,(/,%) = Lf <k/n) Pk(x)=x 9.当 fM = x时，B"x) =KX代数式“) = 1A + 2x + 31 O

7、Xj 3x 一 X3 = 1IL已知方程组-2%,+7x,+3x3=2 ,那么收敛的Jdco加迭代格式为:Xj + 一 11"丫3= 5,收敛的G-S迭代格式为:收敛理由是严格对角Ji优矩阵'3 -11 f"1"12.已知线性方程组9-3 2£=3_4 -I 8_尤34那么收敛的Jacobi迭代格式:12化为线性方程2调整排序收敛的GS迭代格式:收敛理由是严恪对角占优矩阵X它是插值型13.求积公式人=工4/(孔)至少有n次代数精度的充要条件是当n是偶数时，牛顿柯特斯公式人)至少有+1_P1O3次代 数精度:2n+l_P116次代数精度。高斯求枳公

8、式1 fx)p(x)dx Q若A/g)至少有,14 设 4 =杯，则矩阵A的特征值的界为 (22)与7的和、差为界,矩阵A"的特征值的界为界的倒数制L=max (l<=i<=n)£ (j(l,n) laij等价于每一列中最大值的和=max (l<=j<=n)L(iCl.n)|aij!等价于毎一行中最大值的和A,=作业第五章12PI16"3""-12,x =-1-35_4_15.已知A =,那么A服 III =其中相等的范数有.二、判断题1如果插值节点勺，环，人互不相同.则满足插值条件的"次插值多项式是存在且唯一

9、。2.迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。3. 区间匕切I:的三次样条插值函数SCO在仏切匕具有直到三阶的连续函数。(4已知A =-I 2.5一3 -3.55.求解的近似值，我们能用函数逼近的插值法，解方程的二分法以及迭代法中的牛顿法来完成。6.插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。7,&在使用松弛法(SOR)解线性代数方程组AX=b时，若松弛因子Q满足6?-1 >1.则迭代法一泄不收敛。9.求解单变量非线性方程/(%) = 0,弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛,1)牛顿法具有2阶收敛。10,常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒

10、展开。1L解单变量非线性方程/(%)=0,牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen迭代法，则为3阶收敛。三、il算解答题和证明题1、已知函数表如下:X0002040.608L00001.22141.49181.82212,2255构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求严2和/"的近似值。1 列出牛顿的插值表2Px=f (xO) +P322、用适当的二次插值多项式求Ink 14和lnl88,并估计误差，函数表如下:XLI13L51.719Inx0.09530.26240.40550.53060.64193、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据

11、如下:P75(1)7521-14、二分法求根作业第七章1(1)方程- 3 = 0在山2附近的根，使绝对误差不超过0.01 (绝对误差估计式:b-a<_ 2讪方程f(x) = x + x-3x-3在厲2附近的根，使绝对误差不超过001;方程+2兀-1 = 0在21附近的根，使绝对误差不超过O.Olo第六章5、用适当的方法解方程组:4X| + 22 + 4*3 = 4(1)« 2%| +10%2 +5%3 = 11；524X| +52 + 21兀3 =9"3 10""4"1 31Xq=5_0 13.4作业第四章146、写出复合梯形公式、复合辛

12、普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用 龙贝格方法il算积分,误差限不超过10-3。7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并讣算积 分Cos.Mx,已知7； =-34.778519, 7； =-17.389259, 7； =-13.336023 7； =-12.3821628、设方程组7x _牙，+2尤3_3兀,=_92x +X.+10%, -X, =6丁 CC，写出人"O仞迭代法和G-S迭代法的迭代格式._召 _8x,+3X3 _尤4 =03x, X2+2x -9%4 = 10并证明它们是收敛的。9、对常微分方程初值问题dy = _y

13、dxy(O) = I (0<x<l)</y _ 0=2 V Sdxy(0) = l (0<A<l)/v1 =ydx2y(0) = 1(0<x<I)取步长/? = 0丄 分别用Euler法和标准的四阶Runge-Kutla法作数值il算，列表写出结果,并与准确值比较。10、求屁？，至少用三种方法求值，并简要叙述求解过程。11、设A是正交矩阵，证明CM(A)2 = 1。12、(1)当 /(%) = % 时，B,f,x) = x :(Ag) = £Ag+gA/i(3如果A是正交阵，则cond(A),=.13、证明：适当选取待世参数4.求积公式/(兀

14、皿/(0) + /(力)+肿/(0)-/(力)的代数精度可达到川=3° j()214、试证明：适当选取待；4参数人门A，人2,求积公式£ /(Q厶y AJ(0) + ?VG) + A(2")的代数精度可达到用=2。15、证明Chebyshev多项式7；(x)满足微分方程(-x-)T(x)-xT(x) + n-T(x) = 0.16、已知方阵4 =(1) 证明：A不能分解成一个单位下三角阵厶和一个上三角阵U的乘积:(2) 试通过交换A的行.进行ZZ/分解。二课本习题1.每章的“复习打思考题” 2 P4& 24&16;P9471(U31619:P135

15、.L14:P1767&9J 0,139.20:P209.12P23&13712:P275.12P315.1410.1.(10分)对常微分方程初值问题dv = -y(IXy(0) = 1(0<x<l)取步长/? = 0丄 分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kuila法作数值讣算，写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。解：(1)改进的Euler方法：代入公式得y讪=0.905儿，即凡=0.905"2分<2)标准的四阶Runge-Kutia方法j儿+1 =儿 + 字& +2k, +2& +心=0.9048375儿 0k严-

16、儿£ =一(儿+00北)=一0.95 儿*3 =-(儿 +0.05© = -0.9525 儿玄4=一(儿+0讥3)= -0.90475 儿即儿=09048375"(4分)改进的Euler法儿经典四阶R-K法儿准确值y(兀)0. 10.90500000.90483750.90483740.20.81902500.81873090.81873080.30.74121760.74081820. 74081820.40.67080200.67032030. 67032000.50.60707580.60653090. 60653070.60.54940350.548812

17、00. 54881160.70.49721020.49658560. 49658530.80.44997530. 44932930. 44932900.90.40722760.40657000.40656971.00.36854100.36787980.36787942.对常微分方程初值问题2取步长/? = 0丄 分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kuila法作数值讣算，写出公式和推导过程，并把结果填入表内。解：(1)改进的Euler方法：代入公式得儿+严0.95125儿，即儿=0.95125"(2分)(2)标准的四阶Runge-Kutta方法j 儿+1 =儿 + 字 & + 2 匕 +R J = 0.951219儿0&=-川2即儿=0.95145314"(4分)柑=一(儿 + 0.05«) / 2 =-0.4875 儿ky = 一(儿 + 0.05£ )/2 = -0.4878125儿心=一(儿+0"3)/2 = -0.47622儿改进的Euler法儿经典四阶R-K法儿准确值y(兀)0. 10.95