必修2、选修1-1解析几何

1、解析几何一、直线与直銭方程（一）直线的斛率与倾斜角1、直线倾斜角的定义当直SU与X轴相交昭 取X轴作为基准，乂轴正向与直线/向上方向之间所咸的角a叫做直线/的倾斜角;特别地，当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0直线倾斜角的范ffl： |o0；4、直线斜率的表达形式 适用范ffl：k = tan 0当ff e tt）时，kvo；当ff = F时，k不存在.巳知直践倾斜角求斜*n-yi适用范S：k =k = f ()巳知函数y = /W在X = ”0处的导数巳知两点坐标（乂_九）和（勺，yi）f并且AT勺形式确定条件方程说明点斜式过点Po（*（p Jo） 斜率k存在y-yo=k(x -

2、 Xo)1、当直线1的斜角为90时，直线的斜率不存在， 这时直线1的方程为乂 = Xo；2、当直线啲倾斜角为0时，其方程为y = yo.斜裁式斜率k存在，纵裁 距为0y = kx + b直线I的横*距为-纵裁距为b两点式过点Pi(xi，yj、 Pl (2 n)，且 yiyiy-yi _ x-Xiyi -71“2 一1、斜率存在且不为雾.斜率为g.才 1 X22、当X1=#X2, Ji =力时，P丄P/x轴，这时直线的 方程为y = y久或y =力；3、当；ti = xi，yi工山时，P/z丄X轴，这时直线的 方程为* = 乂丄或X = Xj.距式横#距为 , 纵裁距为b , a W 0, b

3、0X y- + r=i a b1、与A：轴交点为（fib 0）;与y轴交点为（0, b）.2、斜率存在且不为零,且直线不过原点斜率为-2.O一般式A, B不同时为* (” + M H 0)Ax + By + C = 0当B时，其斜率为在y轴上的截距为-7； 当B =0, AHO时，崔乂轴上的截距为一?适用范围：（二）直线方程的表达形式 1、直线方程的五种表达形式2、四种常用：t践系(1) 定点直线系方程:经过定点Po(*yo)的直线系方程为y-yo = kO-乂0)(除直线乂 = ),其中/e是持定的系数；经 过定点Po(xo ,yo)的直线系方程为(x-Xo)+B(y-yo) =0.其中川，

4、B是待定的系数.(2) 共点直线系方程：经过两直线1丄；iX + Biy+Ci = O, h： +=0的交点的直线系方程为G4m+B* +C+AA2x+B2y+a (除Z?),其中持定的系数.(3) 平行直线系方程：与直fty =幻+如平行的直线系方程为y = /fix + /j2,其中Bl丰叽;表示平行直线AxBy + C = 0 系的方程为4x + By + A = 0,其中久为参变量，入丰C(4) 垂直直线系方程：与直y=kM+久垂直的直线系方程为卩=一存+儿 其中Ae K;表示与直践处+ By+f = 0垂 直的直线系方程为Bx-i4y+ = 0,其中4为參变量.(三) 两直线平行与垂

5、直的判定1两直线交点的判断：巳知直线【174- Bly + C = 0与 / AiX + Biy + Cj = 0;(1) 若方程组有且只有唯组*,那么这一组解年为交点坐标；(2) 若方程组无解，则G/A;同理，若W 则方程组无解；(3) 若方程组有无数组解，则比与乂重合；同理，若与4重合，则方程组无解.2、两直线平行或垂直的判定：(1 )若直线丄；y kX + bjL,直线【2 ； y ,则 /1/2 0心=2，b 丰 b 1、/丄丄【O= 1,(2)若直线 h； /liX+Fiy + Ci = 0 与 b：+=0,其中叭、均不为 0,则G/G Q 务=詈 H 各 S 丄 4 O 去力2 +

6、 11 = 0.(四) 点到直线的距离1、两点何距离公式：已知两点坐标PjL(Xji，yj、P&z，y)则PiPi = Jg-e + S-班)2;特别地，平面直角坐 标系内的某一点Pq (xq , yo)到原点的距离|OPol = J对+ y；2、点到直线的距离公式：巳知某一点Po(N(,o)和某一直线匕 血+ By + f = O, 点/到直线啲距离d = U；2；T3、两平行线R的距离：两条平行直线R的距髙是指夬在两条平行直线间公垂戋段的长.二、圆与圆的方程(一)圆的方程1、圆的定义：(1) 圆的第一定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圓.这个定点叫做圓的心.(2) 19的

7、第二定义：平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个不为1的常数，则此动点的轨逹是圆.2. 圆的一般方程：以仇0)为H心，以I为半径的圆的一般方程可表示为仗一口)2 + 0甥=宀3B的标准方程：J + h + D乂+ Ey+F=O (D，+ EZ-4FO)農示的是以(一#, 一)为IB心.以r =沖乂 +G-4F为半径的圓.对于圆的标准方程以+护+ Dr + Ey + F = 0：当DU0_4FO时，其表示的轨迹是圆；当d+0_4F=O时，其表示的轨迹是点(% -)；当D2+2_4FvO时，方程不表示任何图形.(1)(2)(3)4、圆的直径方程：以A(xi，y)yj为直径端点的IB的方程为(X

8、-xi)(x -+ (y -yi)(y- yz) = 0.5. 圆的參数方程：以(S 0)为圆心，以厂为半径的圆的参数方程可表示为gz；囂0(8为參数，且ee 6、圆系方程：(1 )过定点月(X1，yi)、B(xi，yj 的圆系方程是(x-xi)(x-x2)+ (y-yi)(y-yi) + 一 xlyl-y2-y-ylxl-x2=0,或可以農示为mzXr玖七NrpX+C，其中 表示的是S过点A和点B的直找.(2) 以b)为B心的同心BB系方程为(x-y + -b)2 =护0 0)；与圓y + yZ + D乂 + Ey + F = 0同心的圓系方程为以+ Dr + Ey + 2 = 0.(3)

9、过直线k力x+By + C= 0与圆 r 点P在圆外；(2)rf = F点P在圆上；(3)rf点P在圆内；2、直线与H的位置关系：直1: Ax+ By + f = 0与圆C.仗一)2+ (y - b)2 =厂2的位置关系有三种，定义rf =为圆 心到直线的距离，则：(1) rf r 相离 od0; ( 2 ) d = r 相切 od = 0; ( 3 ) rf r 相交 od0;3. 圆与ffl的位*关系：设两圆H心分别为5、6,半径分别为厂口，设两BW心的距离101021= d,则：(1) d Il + rj 外离Q 4条公切线；(2) d = 7丄+厂2 外切 3条公切线；(3) -口|

10、vd vr丄+口 O相交0 2条公切线；(4) d = ki-nl 内切Q 1条公切线；(5) 0 V d V Iri-rJ Q内含o无公切线.(三)圆的切线方程1、巳如圆H+：/+Dx+ F = 0:(1)若巳知切点p(xo ,yo)在圆上，则圆在该切点处的切线方程只有一条，其方程是xH + yoy +警2 +警2+尸=0,当点P(X0,yo)在圆外时，直线乂+ yoy +窖 +警艺+ F=o表示过两 切点的切点弦方程z.(2)过圆外一点的切线方程可设为y-yo = Kx-xo),再利用相切条件求，这时必有两条切线，注 意不要掉平行于y轴的切践，同样也可以根据条件设斜率&为切线方Sy = f

11、cx + b的斜率，再利用相切条 件求b2、已知HF +护=宀(1) 过圓上一点P(xo ,yo)的切践方程是畑r + yoy =凡(2) 斜率为k的圆的切线方程为y = kxryfT+l?.3、巳知00(工一 a)，+ (y-b)=广，IS上一点为P (xq , yo),则过此点的切线方程为(x(, -a)(x- a) +S-b)(y-b)圆懐曲线一圆(一)橢0的定义和椭圓方程1、圆的定义：平面内与两个定点F丄，F,的距离的和等于常数(大于|F丄Fj)的动点P的轨迹叫做椭B,这两个定点 叫做楠圓的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.若iPFj + PFr = |F丄F，则动点P所表示的轨迹为践段&

12、耳，着|PFj + iPFzl V IF小I，则动点P不表禾任何图形.2、圆的标准方程：当焦点在X轴上时，楠圆的标准方程为爲+吾=讼心0),其中c=a-b此时，楠圆 的焦点坐标为(G 0)和(一0)(2) 当焦点在y轴上时，H的标准方程为召+令_久S + aO),其中以一以一阱；此时，椭圆 的焦点坐标为(0, C)和(0, -C)(3) 对于楠E标准方程的M#：只有当楠Bl的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立的直角坐标 系时，才能得到楠B的标准方程；在楠的两种标准方程中，都有ab 0和d0)的參数方程为(2)中心为原点，焦点在y轴的|ftIH+g=l(ad0)的參数方程为2 2(二)椭0简单几

13、何性质(以椭圆牯+話=；1(0方0)的性质为例，另外一种形式的同理) 1、范H：楠圓上所有的点都位于直线x = fl和丁=所围成的矩形内，所以楠圆上的点的坐标都满足|x| S fl, y M b.2. 对称性:橢B是以乂紬P轴为对称紬的轴对称图形，并且長以原点为对称中心的中心对称图形.这个对陈中心 成为欄圓的中心.3.顶点：(Dilts的对称轴与#181的交点称为瀚圆的顶点；(2 ) J + =l(fli0)与坐标轴的四个交点即为楠W的四个顶点，分别为0), A(a, 0), B(Q, -b), fij(0, b)；(3)线段&“h，B辺2分别叫做椭的长轴和短轴，肉血I =2(1, I叭砒=2

14、,其中a和b分别叫做楠圓的长半轴长和短半轴长.4. 离心率：(1) 圆的焦距与长轴长度的比值叫做的离心率，用表示，记作e = = Jl-()其中 0 e 1.(2)当&越接近1,则c越接近n,从而0 =应二卫越小，因此楠圆越扁；当e越接近0,则C越接近0,从而 /, = &匸卫越接近Q,这时欄圆就越接近与H;当且仅当fl = b时，心0)焦点焦距范B对称性顶点Fi(c 0), Fz(c, 0)IF 丄 Fd=2c |x| S fl, lyl S b 于乂轴，y轴和原点对称(士e 0齐(0” 士 b)几(0,几(0. C|F 丄 Fd=2cM S b, y S a(Op 士 ( o)nB0长紬长

15、=2a,短轴长=2b离心*丹 J-G) W)准践方程焦半径|PFd = rt + exQ, PFi = a - exo|PF丄I = a + eyo，|PFj = a ey(,6、楠圆 + g = l(ab0)的图像中线段的几何特征:Ml(1) iPFil + |PFd = 2仇豐=船 = 0；KiAlMXK2(2) |PMd+|PMd =牛；(3 ) |Sfi| = IjBFiI = n, OFi =OFi = c, AiB =AiB = fa + Z；a + c.(4) I去Fj =|/hFd =fl-c, l/hFjil =|/UFd =a + c, rt-cS|PFdSfl+c(三)

16、橢圆中的常用结论1、椭m焦点三角形中，内点（在圖*点三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别为内点、 外点）到一焦点的距离与以该点为端点的焦半径之比为常数e （离心率）；2、圆焦点三角形中，内心将内点与非焦顶点连线分成定fee；则被Po所平分的中点弦的方程是诗+需=普+普;3、#0焦点三角形中，半焦距必为内外点到中心的比例中项；4、若P0（丸（）柱吉 + 牯= l（flb0）内，5、若Pq（Xq0）在楠H$+召=1（。 b 0）内,则过P。的弦中点的轨迹方程为若+苔=等+泄6、若P 0(K , yj在楠EB庐+寻=久(a A b 0)上,则过P。的欄圆的切线方程是芳+答=1；7、若Po

17、（心小）在圓+益=10）外，則过Po作楠08的两条切线，切点分别为P丄.Pz，则切点SP丄Pz的直线方程为芳+労=1；8、橢H吕+甘=氓 0）的两个顶点为心（- 0）,力血，0）,与y轴平行的直线交椭H于P匕时,&样1与山Pz交点的轨建方程是吕一召=1：9、过楠圆 + =l（flb0）任意一点Po（xo小），任意作两条價斜角互补的直线交楠圆于C两点，则直线M有定向且kBC = 10、左右焦点分别为L F点P为椭0上的任意一点，且zFxPFj = r.则#圆的魚点三角形的面积taup PPiPPi =丄+“IIMB是楠圆吉+話=1（。 b 0）的不平行于对称轴的弦,M（Xo, y。）为?1B中点

18、，则om ab 扫12、若久B是椭略十召=l（ab0）的长轴的两端点，点P为上一点，PAB = a, PBA =0, aBPA = r. c, e分别为欄圆的半嘯距和离心率，则有：(2 ) tan a tan 0 = 1 e;（1）= ；?：；（2） tariatanfi = t-e;（ 3）= coty;13、设过ISH 个焦点F的直线与捕圆交于P. Q两点，力为楠圆长轴上的一个顶点，连接AP和月Q分别相 交于焦点F的楠B准线于M、N两点，则MF丄NF；14、若P为椭B若+卜10）上异于长轴端点的任一点，L Fz为魚点，zPFiF, = ff.F丹=0,则蔗=畑哈。冷 15、设圓 +菩=1（

19、0）的两个焦点分别为F丄、Fz，P （异于长轴端点）为椭上任意一点，在dPFiFz中，记iPF, = a,乙PF久Fz = , ZF丄F* =八 则蠶：“=討 g；16、巳知椭圓吕+g = lSb0), 0为坐标原点，P.上的两动点，且0P丄0Q,则有:儲严侖=占+右；(2)|OP| + |OQ卩的最大值为鶉；(3)”q的最小值是鶉;17、过楠b +菩=lSb0)的右焦点F作直线交于该楠IB右支于M. W两点，弦MN的垂直平分线交 18、&知構圆召+昔=1心0), A. B是椭H上的两点，线段朋的垂直平分线与乂轴相交于点P(Xq, 0),则一三VXoV 三丄;19、P为楠 + g=l(ab0)

20、任一点，啓Fz为楠IB的两个焦点，A为楠圆内一定点，则 2a -AF PA + |PFJ (“。+By0 + 521、椭略+益=l(ab 0)上任意一点P处的切裁T平分APF小在点P处的外角；22、PT平分APFiE在点P处的外角，则焦点在直线M上的射形H点的轨建是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点；23、以焦点半径PF丄为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；24、以圆焦半径的端点作楠IB的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切 线垂直；25、以焦点弦PQ为直径的必与对应准线相离；26、过楠圆一个焦点f的直线与楠圆交于两点P、Q,力久，金为楠圆长轴上的顶点，/hP和AQ

21、交于点M, AzP和血Q交于点N,则MF丄NF;27、过椭B焦半径的端点作楠M的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直；28、若欄+Il(ab0)的左右焦点分别为&、F”左准线为I, 06b 0),的右准线f与乂轴相交于点E,过楠圆右焦点F的直线与楠ffl相交于礼3 两点，点f在右准线I上，且BC轴，则直线4Cg过毀段EF的中点.(四) 解决椭圆问题时的方法和规律1、求楠ffl标准方程的常用方法：(1) #定系数法：由巳知条件确定焦点的位*,从而确定楠圆方程的类型，设出标准方程，再由条 件确定方程中的参数的值，其步麋是“先定型，再定*”；(2) 定义法：由已知条件判斷出动点

22、的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定其方程.2、#圆标准方程中的三个量心h. C的几何意义：楠圓标准方程中，三个*的大小与坐标紬无关，是由欄本身的形状大小所确定的，分别表示#圆的 长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个*的大小关系为 h0, ac 0且Q =沪+以.3、确定的标准方程：任何有一个对称中心、两条对豚轴，当且仅当*圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴, 楠的方程才是标准方程形式，此时，楠圆焦点在坐标紬上;确定一个椭W的标准方程需要三个条件：两个定形条件g b; 一个定位条件是焦点坐标，由*点坐标 的形式确定楠W标准方程的类型.4、由楠圆标准方程判断焦点位*:椭的焦点总在长

23、轴上，因此已知圆标准方程，判断焦点位*的方法是：看护的分母的大小, 哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.5、方砂卫+ B护=C (儿B. C均不为尊)表示欄圆的条件：方程力Q + bF=C可化为学+孚=1,亦Bp4+4=1.所以只有月、C同号，且方程A B表示,当訂討，楠圆的焦点在X轴上；当风訓，楠IB的焦点在y轴上.6、求解与儀点三角形APF丄Fz有关的计算问题时，常要考虑椭圆的定义及余取定理(或勾股定理)、三角 形面积公式鬥PC =扌1卩&| - iPFJ -sinrfiPfi相结合的方法进行计算解题；将有关线段IPF小|PFd、|F/d，和有关角E、尸丄巧、结合起来，建立|小iPFzl、

24、iPFj + |PFd之何的关系.7、共焦点的楠H标准方程有在形式上的差异，由于共焦点，则诽同，与召+召=1(2 20)共焦点的楠B方程可设为;+ 鼻=l(ni -沪)，此类问题常用待定系数法解决.、UHI曲线双曲线()双曲线的定义和双曲线方程K双曲线的定义：(1) 双曲线的笫一定义：到两个定点F占氏的距离之差的绝对值等于定长(|fiFi|)的点的轨迹叫做双 曲线(IIPF1I -iPfzil =2a0. b0);(2) 当双曲线的焦点在y轴上时，标准方程为g-=l(a0. h0)：(3) 对于双曲践的标准方程的解释；在双曲线的标准方程中，= 0. bQ)的寥数方程为:工爲帥为参数)(2)中心

25、为原点，焦点在y紬的双曲线g-=l(fl0, h0)的参数方程为2 2(二)双曲1( 0, bQ)的简单几何性质1、范围：双曲线l(a0, b 0)的范围是|x| a, yR;2、对称性：关于X轴.y轴对称，关于原点成中心对称；3、顶点：轴端点月久(一, 0)、Ai(a, 0);4、离心率：定义e =才叫做双曲线的离心率，其中离心率的转化公式还有0 = Jl + 着,离心率的范围是 e e (1, + 00);5浙近线：(IX双曲线的方程为召一若=10, b0),则双曲鳗的渐近践方程为J- = 0.EPy = +x； (2诺双曲线的方程为J- = l(0. &0).则双曲线的渐近践方程为音一巻

26、=0,即卩=討 (3)双曲張的形状与离心*C的关系：fc = ?= 件史=JJ匚;=e期大，RP渐近线的斜率 的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开,即双曲线的离心率越大，它的开口就越 6、双曲线吕一炸=久(0, h 0)和若一召=10, b0)的性质比较：标准方程审务论0,)g-=l(a0, Z,0)定 义第一定义到两个定点Fx与Fz的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹叫做双曲线第二定义动点到一定点f的距离与它到一条定直践的距离之比是*数e(el)Bi，这个动点的轨建是双曲釵图形Xw / $一/J几 何 性 质焦点坐标&(一6 0),巧(G 0)&(0, c), Fi(o, -c

27、)儼点在实轴上，C = y/a + fa;焦距：= 2c顶点Ai(-a, 0), Ai(a, 0)1(0, a), Ai(o, -a)范围|x| a, ye R|y a，xeR对称性关于X轴.y轴对称，关于原点戌中心对称离心率厭+8), i,咦大则双曲践开口的开臟越大准方程fl*X = C准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：牛顶点到准线的 距离顶点毎)到准线山)的距离为4 -吕顶点九(如)到准贱4心)的距离为十7焦点到准线的儼点FjFz)到准线4(4)的距高为= T 焦点几(耳)到准巍4()的距离为t + W渐近线方程b八訐a尸士矿共渐近践双曲 践系方程*2y2厂計k(0)yl乂

28、1r W)过双曲践上一 点的切践方程等-罟=1或利用导数詈-等或利用导数(三)双曲线中的常见概念1、等轴双曲线：(1) 等轴双曲线的定义：&知双曲线-=1(0, fa0).当且仅当= 时，称该双曲线为 等轴双曲竣；(2) 等轴双曲线的性质：fl = b;离心率0 =血；两渐近践互相垂直，分别为y=x： 等 轴双曲线的方程为x-y = A(a丰0);等紬双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的 比例中项.2、共轨双曲线：(1) 共辄双曲线的定义：以巳知双曲践的崖轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共辄双 曲线，通常称它们互为共窥双曲线；双曲线召一若=论0, fc0)的共辄双曲线为

29、-=-1：(2)共$6双曲线的性质：共双曲线有共同的渐近线；共轨双曲线的四个焦点共18;它们的离心率 的倒数的平方和等于1.3、焦点弦：过焦点的直线割双曲践所形成的弦；4、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦，通径长为甞.(四)双曲线中的常用结论1、点与双曲线的位*关系：(1 )点P (% , y。)在双曲线寻一 g = 1 (fl 0, b 0)外部o 1;(2 )点P (xqo)在双曲线市 = l(a 0i b 0)内部 誥V 1；(3 )点P (xqq)在双曲线丽一話=l(a 0, b 0)上o计一普=1；2、直毀与双曲践的关系：巳知直线/; y = kx + m与双曲=h0)直线与双曲线

30、交于两点(左右支各有一点)(1)当加=0时? “ b “ b；I k2； k 0 时,(3)当m 0, &存在，沪一akHO时：机2+沪一0,直线与双曲线相交于两点；Av 0时，皿2 +沪一以以A=O0t, m* +，一 QQ=O,则Q = 罟克线与双曲践有一个交点； 其中 A= （2amk） 4（0，以以）（4）当mHO, k不存在时： -rtvmvfl时，直线与取曲线没有交点； m a或mv-a时，直线与双曲线相交于两点.3、过定点的直践与双曲线的位置关系：巳知直线I： y = kx + m过定点P（xo ,yo）与双曲线若一音=1（ 0, b0）（1）当P（Xo0）在双曲线内部时:时，直

31、线与双曲找两支各有一个交点;aak = 士討，直线并与双曲线相交于一点;k -或k聲0工）或；V上V瓷3。工）或*2或*32或k不存在时aaaa直线与双曲线没有交点；当P不为（0,0）时，=过点P（勺小）的直践与双曲线相切；当“土!时，直釵与双曲线只交于一点.4.与双曲线吕一益=10, b0）共渐近线的双曲线羡方程是吕一 g=k（kHO）;6.7.8.9.与双曲线咅一苔=10, b0）共焦点的双曲线系方程是吕一盘=1；弦长公式：若直线y = kx + b与双曲线相交于力、B两个点，且X勺分别为札B的横坐标，则AB = VTTPlxi-Xil;若y丄，”分别为札 B的纵坐标，则AB = J1 +

32、-yzl；以焦点半径PF丄为克径的IB必与以实轴为直径的H相切.（内切：P柱右支；外切：P在左支）； 过双曲践焦半径的端点作双曲线的切线，与以实轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直；眾曲找焦点三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的儼半径之比为常数e （离心率）；10、双曲线焦点三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非愿顶点连线分成定比e （离心率）；11、双曲线焦点三角形中，半焦距必为内外点到双曲线中心的比例中项；12、若点卩。(“小)在双曲线- = l(n0. 60)内，则%所平分的中点弦的方程是芳一备=寻一希 13、若点P.仏小)在双曲线卜IMqO, 6O)内，则

33、过P。的弦中点的轨迹方程是诗罟:;14、若点P。)在双曲线-召=1(0, 20)上，则过P。的双曲线的切线方程为等-器 715、若点Po(o.y)在双曲线- = 1(0. b0)外，则过P。作双曲线的两条切线，切点为匕.Pz，则切点弦P迂2的直线方程碍-器=1；sin ac= (sin y- sin p)a16、设双曲线- = l(a0. b0)的两个焦点分别为F久、Fz，P (异于实轴端点)为双曲线上任意一点，飪P T中，记乙f久PF2 = a, FH=p, zF丄巧P=F，则17、设双曲线ZjaO)的左右焦点分别为&、心，左准践为I,则当le0, h0)上的任一点，几、Fz为两焦点，4为双

34、曲线内部的一定点，W |4FJ-2fl0)的左右焦点分别为F1、几，点P为双曲线上的任意一点，且iPFi = y,则双曲线的焦点三角形的面积孔1&PF严bUotf , |PFj|PFd =一。220、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P. Q,规，金为双曲线实轴上的頂点，九P和金Q交 于点M,力zP和A1Q交于点则MF丄NF;21、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，为双曲践实轴上一个顶点，连结4P和力Q分别 交相应于焦点F的双曲域准线于M, W两点，则MF丄NF;22、是双曲线b0)的不平行于对称柚的弦，M( 九)为中点，则koM = 瓷，即化*8 = 議；23、双曲线- =

35、 1(0, h0)的两个顶点为如(一0，0), A(a, 0),与y轴平行的直线交双曲线于P丄.Pz时，&丄P丄与血Pz交点的轨迹方程是+=1；24、过双曲线吕一召=1(20, t0)上任意一点P。(勺*0),任意作两条倾斜角互补的直线交双曲 线于B, C两点，则直线毗有定向且*肌=一驚；25、若P为双曲线吕一石=论0, d0)右(或左)支上异于顶点的任一点，&、心为焦点,厶PFjFi = a, PiFi = pt 則-=tancot (或匚=仙170碍);c+az2c十az226、过双曲线菩_g=l(a0, bQ)的右焦点F作直线交于该双曲线右支于M、N两点，弦MN的垂直平分張交*轴于点F,

36、则gf = f； 27、巳知双曲线l(a0. b0), A. B是双曲线上的两个点，线段AB的垂直平分线与乂轴相交于点P0),则 年丄或乂0 S料；28、点P处的切线PF平分P/Vz在点P处的内角；29、M平分APFiF,在点P处的内角，则焦点在直线PF上的射形H点的轨逹是以实轴为直径的圆，除去 实轴的两个端点；30、双曲咯一召=10, bQ)与直线处+ By+C = 0有公共点的充要条件丹一少从 0. h0). O为坐标原点，P、Q为双曲践上的两动点，且OPJLOQ,则有:扁+為=吉右；(2)|OP卩+|0卯的最大值为骞；(3)叽的最小值是暮;32、若久B是双曲线- = l(fl0. h0)

37、的实轴的两端点，点P为双曲线上一点，AB = , PBA =趴aBPA = r，c c分别为椭的半焦距和离心率，则有：(2 ) tan a tan p = 1 -e；(3) SpAB =必円黑譌；33、巳知双曲蚪一苔=1(20, h0)的右准线猪;r轴相交于点E,过双曲践右焦点F的直线与双曲 线相交于虫、B两点，点C在右准如上，且BC丄X轴，则直践M经过线段EF的中点；34、过双曲线焦半径的竭点作双曲践的切线交相应准线于一点，则该点与焦点连线必与焦半径互相垂直; 以焦点SPQ为直径的圆必与对应准线相交；36.双曲线吕一若=1(0, h0)与直践&x + By + 0. b0)的焦半径公式:(1)当M(Jto*o)在双曲找的右支上时，iMFj =eo + a, |MFd =6乂0-硏(2) 当 M (xo , yo)在双曲线的左支上时，iMFj =-e;ro+m | AfFJ =-e