复数优质讲解

1、复数考试内容: 复数的概念.复数的加法和减法.复数的乘法和除法.数系的扩充.考试要求:(1) 了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.(2) 掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.(3) 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.15.复数知识要点1.(1)复数的单位为i，它的平方等于一1,即i2=-1.复数及其相关概念:复数一形如a + bi的数(其中a, bR );实数一当b = 0时的复数a + bi,即卩a;虚数一当b工0时的复数a + bi;纯虚数一当a = 0且bHo时的复数a + bi, 即卩bi.复数a + bi的实部与虚部一a叫

2、做复数的实部，b叫做虚部(注意a, b都是实数)复数集C全体复数的集合，一般用字母 C表示.两个复数相等的定义:a +bi =c +di U a =c且b =d (其中，a, b, c, d,，R)特别地 a + bi =0= a = b = 0 .两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小注：若Zi,Z2为复数，则1喏Zi +Z2卜0，则ZiA_Z2.（X）乙,Z2为复数,而不是实数2 若 Zi Yz2，贝J Zi Z2 Y0 . (V)若a,b,ZC ,则（ab）2+（bC）2 +（ca）2 =0是a=b=c的必要不充分条件.（当2 2(a 4) =i ，(b Y)2 =1, (c a)2

3、=0 时，上式成立)2.复平面内的两点间距离公式：d斗ZiZ其中Zi , Z2是复平面内的两点Zi和Z2所对应的复数，d表示Zi和Z2间的距离.由上可得：复平面内以Z0为圆心，r为半径的圆的复数方程:Zz0 =r( r 0).曲线方程的复数形式: |z-zo|=r表示以zo为圆心，r为半径的圆的方程.|z-zi|=|zp|表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程.|zZil牛引=2a （af且2a十间）表示以Z?为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2aTziZ2|，此方程表示线段Zi, Z2 ）.|z Zi| |z -z -2a (0 Y2a Y|ziZ2|),表示以Zi, Z2为焦点，实半轴长为a

4、的双曲线方程（若2a=|ziZ2|，此方程表示两条射线） 绝对值不等式: 设zi, Z2是不等于零的复数，则Z1Z2 Z1+ Z2 Z1 + Z2 .左边取等号的条件是Z2Z1 （讥R且0）,右边取等号的条件是Z2=)Zl(A亡 R A AO).Z1 Z2 Z1-Z2 =2,1 也 如2=0,3n4iKin+i&/卡=0(n Z)则5.复数z是实数及纯虚数的充要条件: zER二 z =z.若z工0 , z是纯虚数少z +z =0 .模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的, 而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为注: |z|#z|.6.复数的三角形式：z

5、=r(cos8+is in日).辐角主值：Q适合于OW0V 的值，记作argz.注：z为零时，argz可取0,)内任意值.辐角是多值的，都相差2兀的整数倍.、丿 L3设 a 亡 R T 贝J arg a =O,arg(-a)=兀,arg ai =, arg(-ai)= 兀 2 2复数的代数形式与三角形式的互化:a+bi =r(cos9 +i sin9) , r =va2 +b2 , cos9=a,sin=.77rr几类三角式的标准形式:r(cos9 -i sin 日)=rcos() +i sin( 日)-r（cos0 +i sin9） = rcos（兀 +日）+i sin（兀 +Q）r（cos

6、日 +isin9） =rcos（兀一9） +isin（兀一日）兀兀r（sin 0 +i COST） = rcos（二-日）+i sin（二-6）227.复数集中解一元二次方程:在复数集内解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aH0）时，应注意下述 问题:当a,b,ZR时，若A 0,则有二不等实数根xi2=g0 ；若心=0,则2a2a有二相等实数根X1,2=-R ；若心0,则有二相等复数根02=一&皿2a（xi,2为共轭复数）.当a,b,c不全为实数时，不能用A方程根的情况.不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立8.复数的三角形式运算: （cos +isin 02） t2（cos日2 +i sin日2） = r1r2cos1 +日2） + i sinCS + 日2）r1（cosj ：isin?）乞cos但 1 p）+ isin但1 -日2）r2（cos02 +1 SIn 日2）S棣莫弗定理：r（cos日 +isin 日）n =rn（cos n日+ i sinn日）更多试题下载：（在文字上按住ctrl即