基本不等式(二)

1、最新高二数学优质课时训练（专题学案附经典解析） a + b基本不等式：Vab1）的最小值为（）A. - 3 答案 B2.已知点P（X, 2X+ 4y的最小值为（A. 2罷 存在 答案 B 解析 T点P（X, y）在直线AB上，C. 4y)在经过 A(3,0), )B. 4边B（1,1）两点的直线上，则C. 16二 x+ 2y= 3.D .不 2X+4y2寸22 = /2(x=2，y= 4时取等号). x2 4x + 53.已知 x 2，则 f(x) = 2x 455A .最大值2 B .最小值4小值1答案C.最大值1Dx2 4x+ 5x 2 2+ 1f(x) = 2x 4 = 2x 21x 2

2、 + x21.1解析当且仅当x 2 =七，即x= 3时等号成立.x 2x2 + 54. 函数y=寸2 + 4的最小值为B.rBC. 1D .不存在答案x2 + 5解析尸片x+ 4ix+4 1 1x2 +4 2,而寸2 + 4仝2,所以不能用基本不等式求最小1值，用函数的单调性求最值，函数y= x+-在(1 ,+8)上是增函x数，.在2,+)上也是增函数.当 px2+ 4 = 2 即 X= 0 时，ymin = .5. 已知 x0,y0,x+2y+ 2xy= 8，则 x+ 2y 的最小值是()9c 11Cd.2- 8 (x + 2y) = 2xy= x(2) 0, y0,.x+ 2y4.当x=

3、2, y= 1时取等号.1x+丄 2 +x+ 2y +6 .若xy是正数，b.2A. 3答案C. 41y+ 21x2的最小值是（）丄2X+ 2y +-1 1解析丄2y + 2x=x2+ y2+4 尹 y+y+y2121 x y=x2+衣 + y+ y+x1 +1+2=4.当且仅当x=或x= y=乎时取等号.二、填空题的最小值是x + 5 x + 27.设x-1，则函数y=n-答案 9解析 Vx 1,二 x+ 10, 设 x+ 1 = t0，贝y x= t 1, 工曰若 t+ 4 t+ 1t2+ 5t + 4于是有y=2寸 + 5= 9,4 当且仅当t= Y，即t = 2时取等号，此时x= 1.

4、当 x= 1 时，x + 5 x + 2 函数y= X+ 5 ：+ 2取得最小值为9.X+ 18.已知正数a, b满足a + b ab+ 3= 0,则ab的最小值是答案 9解析 T a+ b ab+ 3= 0,二 ab = a + b + 32 寸 ab + 3.令倔=t,贝y t22t + 3.解得 t A 3（tw 1 舍）.即Jab 3. ab9.当且仅当a= b = 3时，取等号.9.建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如 果池底和池壁的造价每平方米分别为 120元和80元，那么水池 的最低总造价为元.答案解析1 760设水池的造价为y元，于底面积为4 m2,所以另一边

5、长为长方形底的一边长为x m,由4-m.那么x44y= 120 +2 - 802x + 2 - = 480 + 320 x + -x480 + 320 -2-4= 1 760(元).当x= 2,即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元.10.函数y= loga(+ 3) - 1 (a0,1)的图象恒过点 A,若1 2点A在直线mx+ny+ 1 = 0上，其中mn0，则帚+的最小值为答案 8 解析 VA(-2,- 1)在直线 mx+ny+ 1 = 0 上,I 2m n+ 1 = 0, 即 2m+n= 1, mn0，二 m0, n0.n 4mm n=2 + - + 4m + 2

6、 4 + 2m n12 2m+n 4m+ 2n_ + _= +m n mn1n= 2时等号成立.=8.当且仅当m =字即哙4，1 2故一+ 2的最小值为8.m n三、解答题1911. 已知x0, y0，且x + y = 1,求x+ y的最小值.19解方法一 V x + -= 1,人 y,、19 y 9x x+ y= (x+ y) ； + y = 10+x+GC C y 9xy 9x C/x0, y0,.+ A2、-= 6.x y j x y 当且仅当y=孑，即y= 3x时，取等号.19又x+ 厂 1，二 x= 4, y= 12.当x= 4, y= 12时，x+ y取最小值16.方法二 由 +

7、9 = 1,得x=冬,x yy 9Tx0, y0,. y9.yy 9 + 99,x+ y=古+ y=y+T =y+口 +1=（y 9）+y9+10.y9, . y 90,9/9.y9+ y9+10A 2 冷 y9 9+10=16,当且仅当y 9=七，即y= 12时取等号.y 一 919又一+ -= 1,贝y x= 4,x y.当x= 4, y= 12时，x+ y取最小值16.12. 某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年 2千元, 第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐 年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算（

8、即使用多少年的年平均费用最少）?解 设使用x年的年平均费用为y万元.0.2x2 + 0.2X10+ 0.9x+2由已知，得y=x,入即 y= 1 +10+ 10（x N*）.由基本不等式知 y1 + 2 即X= 10时取等号.因此使用吋乎=3，当且仅当10=10,10年报废最合算，年平均费用为3万元.I能力提升】M，则对任2 M,O?M13. 若关于x的不等式（1 + k2）xw k4+ 4的解集是 意实常数k,总有（）A . 2 M,0 MB . 2?M,0?MD. 2?M,0 Mk4 + 4答案 A解析 T (1 + k2)x k4 + 4,二 xw 1+ k2.k4 + 41 + k22-2 1 + k2 + 5 51+ k21+旷 +k2)+-2. xw 25 2, M = x|xw 25 2，二 2 M,0 M.14. 设正数x, y满足g+gw a x+ y恒成立，则a的最小 值是.答案返廿成立y,.a/2解析.气应 &+ Ww 电x +1. 利用基本不等式求最值必须满足 “一正、二定、三相等” 三个条件