参数方程典型例题分析

1、学习好资料欢迎下载分析参数方程典型例题分析fz = sin 肉在方程7x2 （才为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（(2, 7)由已知得_71代入上式得»9,).（B）（ 3 , 3）（ c）（ 2 , 2 ）（ D）（ 1,0）Z1X = sin -1可否定（A）又y =，分别将3,2,2 , 1,-0 , 2 ）是曲线上的点，故选（C）.JJT =坷 +Z COS 氓例2直线厂片+£sin a （f为参数）上的点A B所对应的参数分别为2 ,点P分 AS 所成的比为，那么点P对应的参数是（).(A)T"(B)1十STTi妇 + /hl分析将1, £分

2、别代入参数方程,得A点的横坐标致为州坤W塑,B点的横坐标为坷+ £ CQ$ 2 ,由定比分点坐标公式得P的横坐标为A +凡T+cos1 + ”(Zq +右cos亡+观0 + f空COE叨X =忑、1 +心+化可知点P所对应的参数是1+丿 故应选（C）.化下列参数方程为普通方程，并画岀方程的曲线.（f为参数，fT）ix = 2cos 碍(2)=（为参数）；代为参数，解：（1）V(f+1)+丄_(Ml)>2丿21或故普通方程为1=2 （21或 川3 ），方程的曲线如图. y = 2-(2c0s= 3-2cosXcos i7= 一2代入得|>+T03!J-3X '2），

3、方程的曲线如图.2 2Q r XXV = 3-2 - =-十3#42普通方程为"（3）两式相除得1+（与孟=厶01+F2 2普通方程为兀+-2x = Q（x0），方程的曲线如图.I点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法,参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给岀的 数方程等价.乘除消元法，三角消元法等；（2） y的范围，以保证普通方程与参例4 已知参数方程若（为常数,方程所表示的曲线是什么？若为常数,f为参数,方程所表示的曲线是什么？sin/?= cos 卜解：当f声±1时，由（1）得£ +-£，由（2 ）得,它表示中心在原点,21S +

4、 -21 f-长轴长为f，短轴长为1焦点在轴上的椭圆.当f = tl时，严0尸±2汕；,学习好资料欢迎下载2它表示在7轴上-22的一段线段.当2（上£2 ）时，由（1得 sin zf /丄十1丄-亠=4由（2）得COS if / .平方相减得sift cos F32即 4 sin % 4cos 泠它表示中心在原点，实轴长为伽彳，虚轴长为4焦点在J轴上的双曲线.当（kEz）时，x = 0，它表示丿轴;霓1当沪七腐+比Z）时，严0= ±（"7£ + -22V A£ + -£2y */（ fU 时）或 Z U 时）方程为厂0（x2

5、2）,它表示J轴上以（一2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线.点评 本题的启示是形式相同的方程, 意区分问题中的字母是常数还是参数.由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线， 因此要注例5 直线 I 直线的倾斜角卅为（X = tcos 氓7 = sin（/为参数）与圆X = 4 + 2co£ y = 25111 戸（带为参数）相切，则）.5近（A）6 或 6（B）_5 _5t（D）6 或 6分析将参数方程化为普通方程，直线为ri?=-当 2时不合题意.4fgiF- 0因为（x-4y+y = 4 ,它们相切的充要条件是 J1 +讨cr解得如士辛S,6或6 ,故选（A）.23丄

6、+丄=1例6 求椭圆25 81上的点到直线3A + 4 - 64 = 0的最大、最小距离.= 5cos 贰厂皿/（ 0<<2）,则椭圆任意一点 P的坐标可设为P（5co5；, 0血 扌），于是点P到直线3x + 4厂64丸的距离3x5cosi+4x9£in 宀64d39£in（卜韵-645d -空睑5，此时血（丹八1 ； d逊町，此时锁丹0 = 1点评利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题.例7 已知点P是圆C:上一动点，点 P关于点A （ 5, 0）的对称点为Q半径CP绕圆心

7、C按逆时针方向旋转 90°后得到点M,求QM的最大值和最小值.解如图，设点P（5 +心£#, 5 + r血化，学习好资料欢迎下载则点M为（f + rcos（丹9），5 +蚀（丹9），即 M(5-r$in5 + r5in又点A（5, 0）为PQ的中点，则点 Q%（ 5-FCOS化 5 + rcos#）.0M = (-sin 的 MOS 用十(10 + rcos 的 rsin= 2+wQ'$in(45°) + 50取得最大值加+5恵y =揪尸+册取得最小值如对W卜碉点评 此题根据圆的参数方程是利用转角#作参数，由点P坐标求点M坐标，再把与坐标J ,的最值转化成

8、 泡贰4亍） 的最值来求解.y相关的IQM例8直线!: y = 2x + b与椭圆32 交于A, B两点，当i变化时，求线段ab中点M的轨迹.解设AB中点M （则，月），X = Xf+tZOS厂几+皿夕虻2,为参数）（瓦+fc阳再2丄0。+f血於代入椭圆方程有32中可得(2co娱 3sin 加 + 2(2心 cos f + 3丹 sm+ 2彳 + 琉-6 M设A, B对应的参数值分别为1, £ ,则有1 + r °_ 2(2心co£ 沪+3%£血 又 I '2co£ 丹 3sin 咅. 2xoCO$/+3%$nf=Q，又畑=2,故2坷+6” = Q,即X +毎0.兰+丄1所以M点的轨迹是直线 X + 3 严 0 在椭圆32 内部的一条线段.例9已知线段册r 4 ,直线】垂直平分 肪交肪于点0,并且在1上0点的同侧取两 点P, F, 使 OP'OP二9，求直线BP与直线月P的交点M的轨迹.解如图，以0为原点,X为X轴,HF为y轴， 建立直角坐标系 xoy,依题意，可知B（0，(0，- 2),又可设P （Q，0），9F(7,0），其中a为参数，可取任意非零的实数.直线BP的方程为a 2亍即1直线B'P'的方程为a(4)2x + ay -2a = 0,两直线方程化简为仏m1如工二,9 +/* -