华理线代作业答案第七册(可直接使用).doc

1、华东理工大学线性代数作业薄(第七册)任课教师5.1方阵的特征值与特征向量精选-1 1 01 2 2(1)A =-4 3 0；(2)A =2 1 2_ I 0 22 2 11 AI0解：(1：)ill-43-20102-兄解得A的特征值为：入=人二L 人=2,1.求下列矩阵的特征值与特征向量:=(2_兄)(1_兄)2 =0,-3 1 O""1 0 o""o"-4 100 1 0,得基础解系为血=0_ 1 0 0_0 0 0_1(A 2£)x = 0, tilA-2/ =故对应A =2的全部特征向量为切2伙MO).-2 1 O"

2、'1 0 fTA-f =-4 2 00 1 2,得基础解系为p,=2_ 1 0 1_0 0 0.-1当人=人=1时.解方程(A-/)x = 0, Itl故对应人=人=1的全部特征向量为伙H0); 当入=2时，解方程l-A22解:tlllA-ZZI=21-2 2=(2 + 1)2(5-/1) = 0,221-2解得A的特征值为:J =1, Aj=5,当人=2, =1时，解方程(A + /)x = 0. ill'2 2 2"1 11"-A + 1 =2 2 20 00,得基础解系为 P,=12 2 20 000Pl =kP +2/A(|2 HO)；当3=5时，解

3、方程：(A-5/)x = 0,山-422"'10 -1"TA-5/ =2-4201 -1,得基础解系为P,=122-400 01故对应=5的全部特征向量为炯伙工0).,故对应人=则=_1的全部特征向量为2.已知3阶矩阵A的特征值为=的特征值.3设矩阵A =且A的特征值为123.求兀y,z解：容易证明，当几是A的特征值时，则矩阵A的多项式丁(A)必 有特征值fW .设B = /(A) =屮-5人2 ,则B有特征值： /(1)=7 /(-!) =-6, /(2) = -12.1-2解：IA-z/l=Z1-/1= (l-/l)(l-/)(>'-A)-2x1

4、= 0,因为A有特征值为123得：q(l-2)a-2)(y-2)-2x| = 0(l_3)(l-3)(y-3)-2 刻=0存二二解得:二込无限制,故4设 A =4一3、且A有特征值人=6 “2 = 2 9则a=()(A) 2;(C)4;(D)-4.-1 1解：B. 一方面IAI= A,A.A,=24； 乂IAI=24«-3 -3 5=6(6 + a),所以得a =-2,5设向量a = 1A1 r是矩阵A =的逆矩阵犷的特征向量，试求常数&的值.解：设A'a = Aa,左乘A得a = /L4a-即T"2 1 fTk=AI 2 1kIJ I 21x = -hy

5、= 1,zR二d解睜入=1 人=1/4封右k 2 k、一 k=_2 或 £ = 16设歹2分别是矩阵A属于不同特征值人以2的特征向量试证: 小,不扁能是A的特征向量.解：冬是A的对应于特征值几。的特征向量，即有A© +生）=入（§1 +歹2）=入）歹I +人）歹2 *另一方面，乂有+ 歹2）=+ A© =人 + 易込 9综合得（y?y -入冷 + （儿-兄2）§2 = 0 '再山定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的J知必有 人一人=人，一 A=o.即得 人=几2.与已知条件人工人矛 盾，故命题得证.7.设AB为耳阶矩阵，证明

6、ABiBA有相同的特征根. 证明：只要证明的特征值都是34的特征值即可.如果0是AB的特征值，则得IABI=O,从而IBAMAIIBM ABI=O.故0也是BA的特征值；再设兄是AB的任意一个非零特征值，对应的特征向量为X, 即有(AB)x = Ax,两边左乘B得B(AB)x = /lBx,即(BA)(Bx) = /l(Bx),显然BxhO (否则有Ax = (AB)x = A(Bx) = Q,得到几=0,矛盾)， 故兄也是BA的特征值，对应的特征向量为Bv.8设A为实正交矩阵即AA = h证明：A的特征值的绝对值只 能是1或-1证明：设兄是A的特征值，X是对应兄的特征向量，即有Ax=Ax所以

7、有(Ay)7 Ar = (Av)Zv =才x" x, 另一方面，乂有Axf Ax = x Ax = + /x = f , 结合上述两式得A- = l,即A = ±l.5.2相似矩阵1 已知A是“阶可逆矩阵, 题中，WABBA 相似，犷打8-1相似， 正确的命题共有(). (A)4;(B)3；如果A与矩阵B相似，则下列四个命屮与32相似,"与M相似,(C)2;(D)l解：A(2)、(3)、(4)显然；(1)成立是因为B-BAB = AB.(3) A =一3023-2解：(1)显然A有三个不同的特征值123.特征向量从而A相似于对角阵A =故A有三个线性无关的0202

8、A-AI =-2-2012-几103-/1III A-Al =_(2 /1)2(2+i)=o得A 的特征值人=心=2人=一1-40-4'101"101000101_000_知方程组再 III 4 一 2/ =(A-2I)x = 0有两个线性无关的特征向量;而单根=-1必有另一特征向量故A有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵A能够相似于对角阵3)A-AI =2-A5-12-3-/130 -2-2itl A-AJ =-(/l + l)3 =0得A 的特征值& =/U =/l3=-L2问下列矩阵能否与对角阵相似？为什么？'1 2 3"-2 0 -4(1)

9、A =0 2 3；(2)A =1 2 10 0 3103"3 -I 2""1 0 1"再 th A+i =5-230 1 1-1 0 -10 0 0知方程组（A + I）x = 0只有一个线性无关的特征向量即三阶矩阵A没有三个线性无关的特征向量故A不能相似于任何对角矩阵.4-3一33设矩阵力=6 0-5 0-6 1证明A可对角化；（2）讣算从00精选解：（1）山4一刀=_（2一1）2（2 + 2）,可得矩阵A的特征值位对应特征值人=人=1,有两个线性无关特征向量-2"ro'Pl =1,"2=00I对应特征值入=-2有一个线性无

10、关特征向量几=1因为A有三个线性无关的特征向量所以A可对角化.-2 0 -则有取戶=曲2门=1 00 1-2(2)山(1)知 A = PAP=而 PJ =-1-21 2/T =(PAP-)” =啟 P"-2 0j-1 -1 0"I 01r-1 -2 10 1 1 _(一 2)"_ I 20_2-(-2)"1 + (-2)"-1 + (-2/2 - 2(-2)”-1 + 2(-2)"-2 + 2(-2)"'2 0 o'"2 0 0"4.已知矩阵人=0 0 1与8 =0 y 001 X0 0-

11、1相似,2-2 0 02-A000 -Z 1=0y-/l001 X A00-1-/1(1)求x；(2)求一个满足P'AP=B的可逆阵P 解:(l)(ll-4相似于3.得即亦即(2-/l)/l(A-x)-ll = (2-/l)(A-y)U + l) 解之得x = 0, y = 1 ；(2)4打有相同的特征值人=2,/i, =1,/13=-1, 解方程组 解方程组解方程组取 P = ""23=(A-2/)x = 0,得特征向量 a=1A0 (A-/)x = O,得特征向量 宀=0丄0， (A + /)a- = O,得特征向量 几=0，-1匚10 00 1 10 1 一5

12、.3实对称矩阵1求正交矩阵2.将下列矩阵正交对角化.精选 2-20 "22-2"(1)A =-21-2；(2) A =25-40-20-2-45解：山|力一刘|=2-/1-20-2l-A-20-2-2= -(1 +2)(2-1)(/1-4),可得特征值为入=一24=1,人=4,当人=-2,解方程组(A + 2/)x = 0,得基础解系§1 =位化得q=t2当入=1,解方程组(A-/)x = O,得基础解系§2=1-2位化得42=1 一22当Aj = 4,解方程组A 4)% = 0,得基础解系§3= -22-2取2 =【务册2山/=亍23 222

13、1-2-21一2则有2-Z2-2(2) 11 A-aI=25-A-4-2-45-A特征值为A=2=1A =10,= -U-1)-(1-10),可得-2当A, = t解方程组(A-/)x = 0,得基础解系§1 =-2卩弋=再单位化得'=血£，“2 =厶=丄102135当人=10,解方程组(A-10/)x = 0,得基础解系§3= 2-22-2取2 =彳1畑03】 =7502754诙532亍2"3则有102.已知3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3,对应于特征值3的特 征向量为a, =-l,0J a,=I-2a求A的对应于特征值6的 特征向量及矩阵A.乜、"-11 f'3-11fA = P3P-* =0 -2 130-21< 6,1 1 16I11所以解：实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以 A的对应特