分类与整合思想、转化与化归思想专题

1、全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）分类与整合思想、转化与化归思想分类与整合思想、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类， 如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列an的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.1. 若一条直线过点（5, 2），且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为（）A. X + y 7 = 0B. 2x 5y= 0C. x + y 7 = 0 或 2x 5y= 0D. x + y+ 7 = 0 或 2y 5x=

2、0答案解析2=5x,设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a=0时，直线过原点，此时直线方程为 y即2x 5y= 0;当a丰0时，设直线方程为¥= i，求得a= 7,则直线方程为x+ y 7 a a=0.2. 已知Sn为数列an的前n项和，且Sn= 2an 2,贝y Ss S4的值为（）A.8B.10C.16D.32解析因为Sn = 2an 2,答案当 n= 1 时，ai = Si = 2ai 2,解得 ai = 2.当 n2 时，Sn 1 = 2an i 2,两式相减得 an= 2an 2ani，即卩 an= 2an i,则数列an为首项为2，公比为2的等比数列, 则 S5 S4=

3、 a5 = 2 = 32.2'3. 已知集合A= i, ； I B = x|mx i = 0, m R，若AA B= B,则所有符合条件的实数m全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）组成的集合是（）A.0，- 1, 2I 1B/t 2,0,dJ -1,bnx21<x<0,卄、,xU.若f（1） + f（a）= 2,则实数a的所有可能取值的集合是C. - 1, 2答案 Am= 0;解析 因为An B = B,所以B? A.若B为?,右 Bm ?，则一m 1 = 0 或m 1 = 0，解得 m= 1 或 2.综上，m 0 , 1, 2.故选 A.答案I爭，1解析 f

4、(1) = e0= 1，即 f(1) = 1.由 f(1) + f(a)= 2，得 f(a)= 1.当 a>0 时，f(a)= 1 = ea 1，所以 a= 1.当一1<a<0 时，f(a) = sin( a = 1,所以 n2 = 2kn+ 2(k Z),所以a2 = 2k + 1（k Z）, k只能取0,此时因为一1<a<0 ,所以a =警.则实数a的取值集合为 -爭,1二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系5.已知正三棱

5、柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为（）A. 呼 B.W3 C. D.W3 或呼答案 D1解析当矩形长、宽分别为 6和4时，体积V = 2 X1X 4= 4 3;全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）当长、宽分别为4和6时，体积6.已知变量X,y满足的不等式组jx> 0,iy> 2x,表示的是一个直角三角形围成的平面区域,Ikx y+ 1 > 0则实数k等于（1 1B. C.0D.0 或一1答案rx> 0,解析不等式组 y>2x,表示的可行域如图阴影部分所示 （含边界）,由图可知，若要I kx y+ 1> 0x> 0,使不等

6、式组 y> 2x,表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y= kx+ 1与直线xIkx y+ 1> 0=0或y= 2x垂直时才满足.结合图形可知斜率 k的值为¥/ 2.r-v=t)/J0-r0 或 2.7.设圆锥曲线C的两个焦点分别为Fi, F2,若曲线C上存在点P满足|P Fi| : IF1F2I ： |PF2|=2，则曲线C的离心率为解析答案 不妨设 |PFi|= 4t, |FiF2|= 3t, IPF2|= 2t,其中 t>0.若该曲线为椭圆，则有|P Fi|+ |P F2|= 6t = 2a,c 2c 3t 1|F1F2|=3t=2c，e=a=亦=2；若该曲

7、线为双曲线，则有|P Fi| | PF2|= 2t= 2a,c 2c 3t 3|F1F2匸 3t = 2c, e= a= 2； = 3.全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编(附详解)13综上，曲线C的离心率为-或-8抛物线y2= 4px(p>0)的焦点为F, P为其上的一点,则这样的点P的个数为O为坐标原点，若 OPF为等腰三角形,答案 4解析 当PO|= |PF|时，点P在线段OF的中垂线上,此时，点P的位置有两个；当|OP|= |OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|= |FP|的情形，点P不存在事实上，F(p, 0)，若设P(x,y),则 |FO|= p, |FP|=(X P

8、) + y2,若寸(X P 2+ y2 = p,则有 x2 2px+ y2= 0,2 2又 y = 4px, x + 2px= 0，解得 x= 0 或 x= 2p,当x= 0时，不构成三角形当x= 2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾符合要求的点P有4个三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全9.已知实数a, x, a>0且a* 1，则“ ax>1 ”的充要条件为()A.0<a<1, x<

9、0B.a>1, x>0 C.(a 1)x>0 D.x 丰 0答案 C解析 由 ax>i 知，ax>a0,当 0<a<1 时，x<0 ；当 a>1 时，x>0故“ax>1 ”的充要条件为“ (a 1)x>0” 10若函数f(x) = ax2+ 4x 3在0 , 2上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为()A( s, 1B. 1 ,+s )C.( s, 0)D.(0 ,+s)答案 B解析 当a= 0时，f(x)= 4x 3在0 , 2上为增函数，最大值为f(2),满足题意当 a*0 时，函数 f(x) = ax2 + 4x

10、3 = aC*t 3 T,其对称轴为 x= K a/ aa当a>0时，f(x) = ax2 + 4x 3在0 , 2上为增函数，最大值为f(2)，满足题意当a<0时，只有当一22,即一1 W a<0时，f(x) = ax2 + 4x 3在0 , 2上为增函数，最大值为af(2)，满足题意.综上，当a1时，函数f(x)= ax2 + 4x 3在0 , 2上有最大值f(2).故选B.11.设函数 f(x) = x2 ax+a+ 3, g(x) = ax 2a,若存在 xoC R，使得 f(X0)<o 和 g(x0)<O 同时成立，则实数a的取值范围为()A.(7 ,+

11、s)B.( s, 2) U (6,+s )C.( s, 2)答案 AD.( s, 2)U (7,+s )解析 由 f(x) = x2 ax+ a + 3 知，f(0) = a+ 3, f(1) = 4.又存在 xo R,使得 f(x0)<0，所以= a2 4(a + 3)>0，解得a< 2或a>6.又g(x) = ax 2a的图象恒过点(2, 0),故当a>6时，作出函数f(x)和 g(x)的图象如图1所示，当a< 2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.由函数的图象知，当 a>6时，若g(X0)<O，则X0<2,a>6,要

12、使f(X0)<o ,则需$解得a>7.f2 <0,2a当a< 2时，若g(X0)<O，则X0>2，此时函数f(x) = x ax + a + 3的图象的对称轴 x= §< 1,故函数f(x)在区间(2，+ s并为增函数,又 f(1) = 4, f(xo)<O 不成立.综上，实数a的取值范围为(7,+s).转代与化归思想、特殊与一般的转化般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处 理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把

13、题中变化的量用特殊值代替，得到问题答 案或者思路.1.据统计某超市两种蔬菜A, B连续n天价格分别为ai,a?,a3,，an和bi,b2,b3，,一3bn,令M= m|am< bm, m= 1, 2,，n，若M中元素个数大于 承，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A< B,现有三种蔬菜 A, B, C,下列说法正确的是()A.若 Av B, Bv C,贝U A<CB.若A< B, B<C同时不成立，则 A<C不成立C. Av B, B< A可同时不成立D.A< B, B< A可同时成立答案 C解析特例法：例如蔬菜A连续10天价

14、格分别为1 ,2,3,4,10,蔬菜B连续10天价 格分别为10, 9,，1时，A< B, B< A同时不成立，故选 C.P, Q两点.若线段PF与FQ的长度分2.过抛物线y= ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于别为p, q,则p+ q等于()A.2aB；1 C.4a D.42aa答案解析抛物线y= ax2( a>0)的标准方程为x2=Ty(a>0), a隹占八、八、过焦点1 1F作直线垂直于y轴，则|PF|=QF|= 2a +亠3.已知函数f(x)= (a 3)x ax3在1, 1上的最小值为3,则实数a的取值范围是()A.( s, 1B.12 ,+s

15、)C. - 1, 12D.>3, 12答案 D解析当a= 0时,函数f(x)= 3x, x 1, 1,显然满足条件，故排除A , B ;3当a= 2时，函数f(x)= |x3 |x,f' (x)=2x2 29(x2 1),当一K xw 1时，f'(X)w 0,所以f(x)在1, 1上为减函数,全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）39所以f（X）min= f（1）= 3 9= 3，满足条件，故排除 C.综上，选D.4.在 ABC中，角A, BC所对的边分别为a，b, c,若a，b,c成等差数列，则1c；sco：AXC答案45解析 令a= b= 6则 ABC为等

16、边三角形，且 cos A = cos C =-,cos A+ cos C 2 T 24代入所求式子，得-11-5.1 + cos Acos C 1 I - 5 I十22二、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化5.由命题“存在xo R，使elxo4 mW 0”是假命题，得 m的取值范围是（ s, a），则实数a的值是（）A.( s, 1)B.( s, 2)C.1D.2答案 C解析 命题“存在XoC R,使m< 0”是假命题,可知它的否定形式 “任意x R,

17、ex1一 m>0”是真命题,可得m的取值范围是（一s, 1），而（s, a）与（s, 1）为同一区间，故 a= 1.6.如图所示，已知三棱锥 P ABC, FA = BC = 254, PB = AC= 10, PC = AB = 2f41 ,则三棱 锥P ABC的体积为()A.40D.240C.160答案 C解析因为三棱锥P ABC的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编(附详解)(如图所示)，把三棱锥P ABC补成一个长方体 AEBG FPDC ,K可知三棱锥P- ABC的各棱分别是此长方体的面对角线不妨令 PE= x, EB=

18、 y, EA = z,2 2jx + y = 100,则由已知，可得 x2 + z2= 136,解得4 y= 8,y2 + z2= 164,1| x= 6,lz= 10.从而知 Vp ABC = VaEBG FPDC Vp AEB Vc ABG Vb PDC Va FPC = VaEBG FPDC 4Vp AEB =6X 8X 10 4X 6X 6X 8x 10= 160.67.对于满足 0W pW 4的所有实数 p,使不等式X2+ px>4x + p 3成立的x的取值范围是答案( s, 1) U (3,+ )解析设 f(p) = (x 1)p+ x2 4x + 3,则当x= 1时，f(

19、p)= 0，所以xM 1.f(p)在0 , 4上恒为正等价于讯'f(4>0,即匸"1>0，解得x>3或x< 1.|x 1>0,8.如果实数x, y满足等式(x 2)2+ y2= 1,那么x1的取值范围是答案y+ 32 2解析 设k=，则y表示点P(1 , 3)和圆(x 2)2 + y2= 1上的点的连线的斜率(如图).从图x 1中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kP，其中函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟=1,解得k= 3,所以3X 1”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式

20、的协作9. 已知函数f(x)= Ig(X +2)若对任意x 2 ,+s)，恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是5当2x+ 5<0，即x< 2时，上式恒成立.当 2x+ 5>0，即 x> - 2时，(2x + 5)2w 50- x2,解得Iw xw 1,故 xw 1.同理可得P(X,-寸50-X2)时，xw 5.又一5承w xw 52，所以一52w xw 1.故点P的横坐标的取值范围为/2, 1.方法二设P(x, y),则PA= ( 12 x, y), PB = ( x, 6 y)./ PA PB w 20, ( 12-x) ( x) + ( y) (6 y) w

21、 20,即 2x- y+ 5 w 0. . 2 2如图，作圆 O: x + y = 50,直线2x-y + 5= 0与O O交于E, F两点,/ P在圆O上且满足点P在EDF上.jx2+ y2= 50,由1得F点的横坐标为1,2x y+ 5= 0又D点的横坐标为一5我 P点的横坐标的取值范围为5返，1.11. 已知函数 f(x)= X3+ 3ax 1, g(x) = f' (x) ax 5,其中 f(x)是 f(x)的导函数.对满足1 w aw 1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为 .答案 解析 由题意知，g(x)= 3x2- ax+ 3a- 5,2令 0(a)

22、 = (3 x)a+ 3x 5( 1 w aw 1).对一1w a w 1,恒有 g(x)<0，即(Ka)<0 ,3x x 2<0 ,2$2解得3<x<1.|3x + x 8<0,-故当x ( 3, 1 )寸，对满足1waw 1的一切a的值，都有g(x)<0.1 ，12. 已知函数 f(x)= ln X.若不等式 mf(x) >a + x 对所有 m 0 , 1, x - , eLe2，则实数a的取值范围为 答案( S, e2g,讣成立,令 H(m)= In x m x, m 0 , 1, xe e2 *关于m的一次函数,因为xe e2,所以一1

23、 W ln xw 2,(in x 0 x>a,faw x,所以$所以$in x 1 x>a,aw ln x x,fa w e , 所以1aw (In x x min.令 g(x)= ln x xgw xw e2，所以 g (x) = x所以函数g(x)在e 1 n是增函数，在1 , e2上是减函数,2 2 2所以 g(x)min = g(e )= 2 e，所以 aw 2 e .2综上知aw e .養学素养专练1.如杲a1, a2,，a8为各项都大于零的等差数列，公差W0，那么()A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5C.a1 + a8> a4 + a5D.a

24、1a8= a4a5答案 B解析 取特殊数列1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,显然只有1 X 8<4X 5成立，即a1a8<a4a5.解析由题意得，aW mln x x对所有的m 0 , 1, x 3x 1, x<1,f(a)一2.设函数f(x)= 5 x贝y满足f(f(a) = 2f的a的取值范围是()2x, x> 1,A.号，1j B.0 , 1违P，+T D.1答案 C解析 由 f( f(a) = 2f得 f(a) > 1.当 a<1 时，有 3a 1> 1,2 2a3, 3= a<1 ； 当 a> 1 时，有 2a>

25、 1, a>0, a> 1.2综上，a > 3，故选C.l交双曲线于A, B两点，若|AB|= 4,则这样的直线23.过双曲线x2 2 = 1的右焦点F作直线A. 1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 C解析 因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4,所以当直线I与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足要求;当直线I与实轴垂直时，由2y3 2 = 1，解得 y= 2 或 y= 2,所以此时线段AB的长度是4, 即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条.综上可知，有3条直线满足|AB| = 4.4.已知数列an的前n项和Sn= pn

26、 1（p是常数），则数列an是（）A. 等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案 D解析-春 pn 1, a1 = p 1， an = Sn Sn 1 = (p 1)p(n2)，当pM 1且P工0时，an是等比数列;当p= 1时，an是等差数列;当p = 0时，a1= 1，an= 0（n>2），此时an既不是等差数列也不是等比数列全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）5. 如图，在棱长为5的正方体ABCD AiBiCiDi中，EF是棱AB上的一条线段，且 EF = 2,点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体 PQEF的体积（）07；/ r

27、'Fl>. 1 JJi#h J=ii=里=4|/Ji ? r.£ f ffA.是变量且有最大值B. 是变量且有最小值C. 是变量且有最大值和最小值D. 是常数答案解析EF?点Q到棱AB的距离为常数，所以 EFQ的面积为定值.由CiDi / EF ,CiDi?平面EFQ,平面EFQ ,可得棱CiDi/平面EFQ ,所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数.x+ y 3W 0,x y+ 1 > 0,6. 设点P(X, y)满足约束条件1 x> 1,则:-x的取值范围是（）y> 1 ,A. J +T B.331 c卜3, 31 C

28、.D. 1 , 1答案解析r x y + 1 > 0,作出不等式组.x> 1 ,所表示的可行域，如图阴影部分所示（包括边界）,其中A(2, 1), B(1 , 2),标原点连线的斜率，连接y> 1令t=七f（t）=t1，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐xt1 1OA, OB,显然OA的斜率？最小，OB的斜率2最大，即tw 2.由于函数f（t）= t 1在d, 2h单调递增，故一2 w f（t）w 2，即；y的取值范围是全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编(附详解)F x, x>0,7. 已知函数f(x) = mI- x<0,lxA.(0,2e)C.(

29、0，1)若f(x) f( x) = 0有四个不同的实根，贝U m的取值范围是B.(0, e)D.(0, y答案解析若mW 0,那么f(x) = f( x)只可能有2个实根，所以 m> 0,若f(x) = f( x)有四个实根，根据对称性可知当x>0时，In x= m有两个实根，即m= xln x有两个实根，设y= xin X,贝U y = In x+ 1,令In x+ 1= 0，解得x =-，当x(0, e M,y' <0 ,函数单调递减，当 x>1寸，y' >0，函eV e Ze数单调递增，所以当 x= 1时，y= xln x有最小值一丄，即一-

30、<m<0,g卩0<m<，故选D.ee ee8. 已知函数f(x) = x(ex e x) cos x的定义域为3, 3,则不等式f(x2 + 1)>f( 2)的解集为( )A. 72, 1C. -应,1) U (1，込答案 CB. - 72, V2D.(V2, 1) u (1, 72)解析 因为 f( x) = x(e x ex) cos( x) = x(ex ex) cos x= f(x),所以函数 f(x)为偶函数,令g(x) = xX e)易知g(x)在0 , 3上为增函数，令h(x)= cos X,易知h(x)在0 , 3上为增函数，故函数f(x) = x

31、(ex e x) cos x在0, 3上为增函数，所以f(x2 + 1)>f( 2)可变形为f(x2+ 1)>f(2),所以 2<x2 + 1 W 3,解得迈W x< 1 或 1<xwp2,故不等式 f(x2 + 1)>f( 2)的解集为五1)U (1，逅.9.已知函数f(x)= ax+ b(a>0, a丰1)的定义域和值域都是1 , 0,贝U a + b =a + b= 1, 解析 当a>1时，函数f(x)= ax+ b在1, 0上为增函数，由题意得无解.la0+ b= 0,当 0<a<1时，函数f(x) = ax + b在1 ,

32、0上为减函数，由题意得P0 +b解得La0 + b= 1,卜1lb= 2,10设 Fi,2 2F2为椭圆？ + 4 = 1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P, Fi , F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PFi|>|PF2|,则|£|的值为答案7或2解析若/PF2Fi = 90 °2 2 2 则 |PFi|2 = |PF2|2 + |FiF2|2 ,又|PFi|+ |PF2|= 6, |FiF2|= 25,所以1PFi|= , |PF23，所以 |pf2| = ?.2 2 2若/FiPF2= 90 ° 则 |FiF2| =1 PFi| +|PF2| ,所以 |PFi|2+ (6- |PFi|)2= 20，且 |P