利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1、全国名校高考数学复习优质学案汇编(附详解)利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如 an* -an = f (n)型(1 )若f(n)为常数，即：an屮an=d,此时数列为等差数列，贝J an = ai+(n1)d.(2)若£(门)为n的函数时，用累加法.方法如下：由an卡-an=f(n)得:n 吕 2 时，anan= f( n1)，an一 an _2 = f ( n - 2), a3 - a2 = f (2)a2 ai = f(1)所以各式相加得 an - a1 = f (n -1) + f (n - 2) + + f (2) + f (1)n -1即：aa1 +2 f (k

2、).k i为了书写方便，也可用横式来写:n2 时，an-an4 = fS-1),an =(an -an) +(an4 an/) +(a2 aj +a1=f (n -1) + f(n -2) + + f(2) + f(1) + 印.例1.(天津文)已知数列 an满足a1 =1,an =3 +an4(n注),31证明宀例2.已知数列的首项为1，且an卄an+2n(n- N*)写出数列畀的通项公式.例3.已知数列an满足a. =3 , a.an A.+由2)'求此数列的通项公式-例4.已知数列an中，an>0 且 Sn+上)，求数列an的通项公式.an2.形如a = f(n)型an(1

3、 )当f(n)为常数，即:an十=qan(其中q是不为0的常数),此时数列为等比数列，an(2 )当f(n)为n的函数时，用累乘法.由 a = f( n)得nX2 时，亘=f( n-1),anan4竝 也”亞.ai=f(n)f(n-1)十(1) ai.an斗 an-2a1例1.设J堤首项为1的正项数列，且(n +ia2出-na； +an4ian =0 ( n=1 , 2,3，)贝S它的通项公式是an例2.已知an卅二nan + n-1,ai >-1,求数列仙的通项公式.3.形如 an+ +af (n)型(1)若anan =d(d为常数)，则数列an为“等和数列，”它是一个周期数列，周期为

4、2,其通项分奇数项和偶数项来讨论；n-h n(2)若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过构造转化为a计-an = f(n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得an+-an_i=f( n)-f(n-l),分奇偶项来分求通项.例1.数列an满足ai =O,an十+an =2n ,求数列an的通项公式.例2.(优质试题江西卷)已知数列an的前n项和Sn满足Sn - Sn 2=34严23),且S1 =1，S-|,求数列an的通项公式.4.形如 an+ 6 = f (n)型(1 )若an卅-a p(p为常数)，则数列an为“等积数列，”它是一个周期数列，周期为 2, 其通项分奇数项和偶数项

5、来讨论；(2)若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过逐差法得an曰2 = f(n-1),两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1.已知数列an满足.Sn (扩心*),求此数列的通项公式.5.形如 anHt =can +d,(cH0 ,其中 ai =a)型(1 )若C=1时，数列an为等差数列；(2)若d=0时，数列an为等比数列；(3)若c工1且d H0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设 an+ + A =C(an + A),得an卡=can +(c-1)几,与题设an十can +d,比较系数得plplpl(c 1)A = d ,所以 A ：= ,(

6、c 工0)所以有：an + = C(an JL +)因此数列an +±C 一1C 一1C 一1，构成以a 为首项，以c为公比的等比数列,c -1所以 an +=1 +) 'Cnd 即： an =佝 +-) V .C1C-1C-1C-1规律：将递推关系an =can +d化为an+ + -=C(an +),构造成公比为C的等比数列c-1c-1a从而求得通项公式an+= +cn(a1 +)c -11 -cc -1有时我们从递推关系an十can +d中把n换成n-1有an can+d，两式相减有an十-an =c(an -an_L)从而化为公比为c的等比数列a卄- an，进而求得通

7、项公式.an+ -an =cn(a2 -a)再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例1.已知数列6中，心"2七，求通项a".分析：两边直接加上±构造新的 等比数列。6.形如 an4i= pan +f( n)型.(1)若f (n) =k n +b(其中k,b是常数，且 2 0)全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）方法：相减法例1.在数列an中,al =1, an*H= 3an +2n,求通项a例2.在数列an中,3 cai = ,2an2-an=6n -3,求通项a若f（n） =qn（其中q是常数,且n工0,1)若 p=1 时，即：anHi

8、=an +qn，累加即可.若p 时，即：an卅=p -an +q求通项方法有以下三种方向: i.两边同除以pnj即:an 十 anpn+qr)n，令 bn =q二丄弹）n,然后类型1,累加求通项.P qii.两边同除以q即:令bn =¥，则可化为bn+ =卫炼十1.然后转化为类型5来解,qq q全国名校高考数学复习优质学案汇编(附详解)iii.待定系数法: 设a+qn+= p(a+A. pn).通过比较系数，求出a ,转化为等比数列求通项.例1.(优质试题天津理)+(-1)n ”2na0 ；设a。为常数，且an=322ann邛).证明对任意n羽,an J3n +(-1)n* ”257

9、.形如 an- Pan q 型ran +s(1) p,r,s H0,q =0 即 aP anran+s取倒数法.例1.已知数列中,ai = 2， a2a+1(n >2)，求通项公式an。log 2 n表示不超n = 2,3,4,例2.(湖北卷)已知不等式寸+十季心'其中n为大于2的整数,过log2 n的最大整数.设数列an的各项为正，且满足a1 =b(b A0),an <阿n *2(!)证瓶 MbgTr3,4,5，8.形如an+ = pan +qanM其中p,q为常数）型(1 )当 P+q=1 时用转化法例1.数列 a.中，若ai=8,= 2 ,且俩足 an42 4an出 + 3an =0,求 a(2)当 p2 +4q "时用待定系数法.例2.已知数列 an满足an七-5an十+6an =0，且a1, a5,且满足，求a9.形如an十pan（其中p,r为常数）型（1） p>0 , an>0 用对数法.例1.设正项数列£n 满足31 , an=2an（n支