二模北京压轴题试题汇编

1、20XX年北京各城区压轴题一模二模试题汇编例 1】(20XX 年昌平二模理科)20 ) (本小题满分 14 分)n1已知数列an的各项均为正数，记 A(n) ai a? L 务，B(n) a2 as L aC(n) a3 a4 Lan 2，n 1，2，L .(I)若ai 1,a2 5，且对任意n N，三个数A(n), B (n ),C( n)组成等差数列，求数列an 的通项公式 .(n)证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 n N，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.【例 2】(20XX 年东城二模理科)设a是一个自然数,20.(本小题共 14 分)

2、f (a)是a的各位数字的平方和，定义数列an : a1是自然数,anf(an 1)(n N*，n 2 )(I)求 f (99),f (2014) ；(n)若 ai 100，求证：ai a?；2m(川)当a1 1000时，求证：存在 m N*，使得a3m a例 3】(20XX 年海淀二模理科)20. (本小题满分 13 分)对于自然数数组 (a,b,c) ，如下定义该数组的 极差：三个数的最大值与最小值的差 (a,b,c)的极差d 1，可实施如下操作 f :若a,b,c中最大的数唯一，则把最大数减 余两个数各增加1;若a,b,c中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2,.如果2，其此为

3、一次操作，操作结果记为fi(a,b,c)，其级差为di.若di 1，则继续对f1(a,b,c) 实施操作f，实施n次操作后的结果记为 fn(a,b,c)，其极差记为dn.例如:f1(1,3,3)(3,2,2) ，f2(1,3,3) (1,3,3).(I)若(a,b,c)(1,3,14)，求 di,d2 和 的值;(n)已知(a,b,c)的极差为d且a b c,若n 1,2,3,L时，恒有dnd，求d的所有可能取值；(川)若a,b,c是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足 dn 0【例41 （20XX年顺义二模理科）20.（本小题满分13分）已知集合A 682,03, an

4、,(0aia2a3an,n N ,n 3)具有性质P ：对任意的i, j （1 in), ajai,aj ai至少有一个属于 A.（I）分别判断集合M 0,2,4与 N 1,2,3是否具有性质P;(川)设 ap q , a1 a? Lap A，求 d b? L bq 的值.(用 p,q, A 表示)（n）求证：qa,a?nan2 an ；（川）当n 3,4或5时集合A中的数列an是否一定成等差数列？说明理由.【例51 （20XX年西城二模理科）（20）（本小题共13分）在无穷数列an中，a1 1,对于任意n N ,都有an N , an an 1.设m N ,记使得an < m成立的n的

5、最大值为bm .(I)设数列an为 1, 3, 5, 7, L，写出 b, , b2, b3的值;（n）若bn为等差数列，求出所有可能的数列 an；20XX年北京各城区压轴题一模二模试题汇编答案解：(I )因为对任意n【例1】(20XX年昌平二模理科)20.(本小题满分14分)N，三个数A(n), B(n),C(n)是等差数列,所以B(n)A(n) C(n) B(n).所以an 1a1an 232,即 an 2 an 1a2a14.所以数列 an是首项为1,公差为4的等差数列所以 an 1 (n 1) 4 4n 3.(n) (1)充分性：若对于任意n N ，三个数A( n), B( n),C

6、(n)组成公比为q的等比数列，则B(n) qA(n),C(n) qB(n).a2q(an 1 a1),所以 C(n) B(n) q B(n) A(n),得 an 2即 an 2 qan 1 a? qa1.因为当n 1时，由B(1)qA(1),可得a2qa1，所以 an 2 qan 10.因为an 0所以an 1鱼q. ai即数列 an是首项为31，公比为q的等比数列,必要性：若数列 an是公比为q的等比数列，则对任意 nN，有an 1anq -10分因为an 0 ,所以A(n), B(n),C(n)均大于 0-于是B(n)丽a2a3.an 1aa?.anq(a1a2. an)a1a?.anq,

7、11分C(n)B(n)a3a4a2a3an 2an 1q(a2a3.an 1)a2a3.an 1q,12分即= q，所以三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.A(n) B(n)13分综上所述，数列 an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n N*14分三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.【例21 (20XX年东城二模理科)20.(本小题共14分)2 2解：(I)f(99)99162 ；f (2014)22 02124221 .那么可以设a1 bn 10n 1bn 1 10n 2 Lb3102b2 10其中0b 9 且 b N(1 i n )，

8、且bn0 .由a?f(a1)可得，a2bn2 bn12 Lb32b22bl2.a1 a2(10n1 bn)bn(10n 2 bn1)bn1 L(1CF b3)b3所以qa2(10n1 bn)bn (b11)b1 .因为bn0，所以(10n 1bn )bn 99 .而(bl1)bi 72,所以a1a20 ,即 a1a2 .由 a1 1000，即 a1 9992，可知a299292243 .同理an999，可知 an 1-2-2-2999243 .由数学归纳法知，对任意 n N*，有an999(n)假设a1是一个n位数3),(nbl,(10 b2)b,(1 b,)b1,(川)20.解：即对任意 n

9、 N* ，有 an1,2,3,L ,999 因此，存在 p,q N* (p q )，有 apaq 则ap1aq 1 ， ap 2aq 2，aq 1aq q p 1 ,可得对任意 n N* ， np ，有 an q pan 设qp T ，即对任意n P，有 an Tan 若Tp ，取 m T ， n2m，则有a3ma2m 若Tp ，由 an T an ，可得 an pTan ，取mpT , n 2m，则有 a3m a2m .3】（20XX年海淀二模理科）本小题满分 13 分）(I) di 10,d2 7,d20i4214 分(n)法一：当 d 2 时，则 (a,b,c) (a,a 1,a 2)所

10、以 f1(a,a 1,a 2) (a1,a 2,a) ， d1a2由操作规则可知，每次操作，小数 a 1分别变为次小数数组中的最大数a 1和最大数 a2变为最小数a，最小数a和次a2，所以数组的极差不会改变所以，当 d 2时， dnd(n1,2,3,L ) 恒成立 .当 d 3 时，则 f1(a,b,c)(a1,b 1,c 2)所以 d1 b1 (a 1) b ac a d 或 d1 c 2 (a 1) d 3所以总有 d1d.综上讨论，满足 dnd（n 1,2,3,L ）的 d 的取值仅能是2.8分法二：因为a b c ，所以数组(a,b,c) 的极差 d ca2所以f1 ( a, b, c

11、) (a 1,b1,c 2) ，2 为最大数，则 d1c 2 (a 1) c a3da 2变为最小数a，最小数a和次小 所以数组的极差不会改变 .若b 1c 2a1，则 d1(b1)(a1)b a c若b 1a 1c2，则 d1(b1)(c2)b c 3 ,当b c3 d E可得bc 32 ,即b 1c由b c可得b1c所以b1 c将c b1代入bc 3 ca得ba1所以当（a, b, c)(a,a 1,a2)时,dn2 ( n1,2,3丄每次操作，数组中的最大数）a d由操作规则可知，数a 1分别变为次小数a 1和最大数a 2，所以满足dn d（n 1,2,3,L ）的d的取值仅能是2.（川

12、）因为a,b,c是以4为公比的正整数等比数列的三项,所以a,b,c是形如m 4k （其中m N* ）的数,又因为 4k (3 1)k 3k Ck3k 1 L Ck 13 1所以a,b,c中每两个数的差都是3的倍数.所以（a,b,c）的极差do是3的倍数.法1设 fi (a,b,c) (ai ,bi ,ci)，不妨设 a3依据操作f的规则，当在三元数组fi(a,b,c)1,2,3,L , x，x N ）中，总满足c是唯一最大数,a是最小数时，一定有2x，解得x所以，当diai(c2) (ai 11)di 13 .(a,b,c)(3a c b c 2bdcb3-依据操作f的规则，当在三元数组

13、63;3小2）（ i中，总满足qb是最大数，ai是最小数时，一定有b33ac bI3c b31,L2yc b3c 2b3，解得所以，当i1,L1 时，di3ciai (c 11)(ai 12)di 13.dcfa,b,c)(-3所以存在n甘，满足fn（a，b，C）的极差dn0 .13分法 2：设 fi(a,b,c) (ai，bi，Ci)，则当（a，b，Ci）中有唯一最大数时,不妨设aia 1ai 1,b 1 bi1,Ci 1 C所以 bi 1 ai 1 bi a,Ci 1 a 1Ciai3,Cbi 1qbi 3所以，若bi ai，Ci ai，Ci b是3的倍数,则biai 1 ,Ci 1 ai

14、 1 ,Ci 1 bi 1 是 3 的倍数.所以bi3Ci，则 di 3，Ci 1 bi 1Cibi所以ai 1bi 1 C 1所以di 1Ci 1 a 1Ciai3 di 311分当（a, b, Ci）中的最大数有两个时，不妨设ai bCi，则所以ai 2，b 1 b 1，Ci 1Ci1，bi 1 ai 1 bai3，Ci 1 ai 1Ciai3，Ci 1所以，若bi ai,Ci ai,Ci b是3的倍数，则bi 1 ai1 ,Ci 1ai 1 ,Ci 1 bi 1 是 3 的倍数.所以 ai 3 bi，则 di 3，bi 1 ai 1biai 3 0所以 di 1bi 1ai 1biai3

15、 di 3.12分13分所以当di 3时，数列dj是公差为3的等差数列.a b C当di3时，由上述分析可得di10，此时ai1bi1Ci13所以存在n ，满足fn（a,b,c）的极差dn 0.3【例4】（20XX年顺义二模理科）20.（本小题满分13分）2 02,422,404,解：（I） Q集合M具有性质P ,0 0 0,220,440,Q 3 3 6A, 3 30A,集合N不具有性质P.3 分（n）由已知0 a1a2ananan2anA,则anan仍由0 aia2an 知 ai0 ；anan anan 1 anan 2anaiQ anani an, (i1,2,3 n2),an an i

16、 A ，aianan , a2an an 1 ,an anai将上述各式两边相加得 a1 a2a3annan(a1a2an)n2(a1a2 a3a.)na.,即印a?%an-an；（川）当n 3时，集合A中的数列a1,a2, a3 一定是等差数列.由(n)知 a1 0，且 0 a1 a2 a3, a3 a2 a3故a3 a2A，而这里a3a?a3，反之若不然a?0ai这与集合A中元素互异矛盾，只能a3 a2 a2，即2a2a3 a30 a3a1ai,a2,a3成等差数列.当n 4时，集合A中的元素a1, a2,a3, a4不一定是等差数列.如A 0,1,2,3 , A中元素成等差数列,又如A

17、0,2,3,5 ， A中元素不成等差数列;11分当5时，集合A中的元素ai,a2,a3,a4,a5一定成等差数列证明：0印a5a5a5 a4a5a3a5a2a5令 a10, a2a5a4 a3a5 a3 a4a2a5,a4a3Aa4a3Aa4 a3a3a2as,a4a3a3a2a2a2 a1a4 ,a5a4a4a3a3a?a20a2a1,a4,a5成等差数列.13分a4a5Q a4a3ai,a2, a3又 a2a5有a4a3a3a：，且由a：例 5】(20XX 年西城二模理科)20. (I)解：bi1， b21， b32.3分(n)解：由题意,得1a1 a2 a3 LanL ，结合条件 anN，bm又因为使得an < m成立的n的最大值为bm ,使得an < m 1成立的n的最大值为所以 b11，bm<bm i(m N ).设a2k，则 k>2.假设 k2，即 a2 k >2 ，则当n2时，an 2；当 n3时，an> k 1.所以 b21 ， bk 2 .因为bn为等差数列,所以公差d b2 b10，所以 bn1 ，其中 nN.这与 bk2(k2) 矛盾，所以 a22.又因为a1a2a3 Lan L ，所以 b22，由bn为等差数列，得bn n ，其中 n N* .所以an< n ,由ann，得an