二元一次方程组总结

1、学习必备欢迎下载、二元一次方程定义：方程中含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的等式般形式：ax+by + c=0(a=0,bH0卜任何一个二元一次方程经过处理都可以化成一般形式。满足3个条件：1、“二元”含有两个未知数2、“一次”未知数项的最高次数都是1.3、“方程”是整式方程.注意：(1)未知数的指数都是 1,即不含两个未知数乘积的形式的单个未知数的指数,xy+1=0，其中xy的指数为2，所以它不是二元一次次方程(2)方程中出现分数形式时，分母中不能含有未知数，如-是分式，所x1以一+ y = 0是分式方程，二不是整式方程x1.下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，请说明理由?2

2、x+3y=z x2-9y=0 丄+ y=7 2x+8=-43xxy = 02.已知3x + y -(2a -3 )xy =40，当a为何值时，它是二元一次方程3.若xm° 8yn =0是关于x, y的二元一次方程，求 m + n4.若2+(m+1 )y =3m1是关于x,y的二元一次方程，则 m为何值?二元一次方程的解含义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解1.方程x+2y=7的正整数解有2.二元一次方程3x 2y =1的解是()A.任何一个有理数对B.无数多个数对，但不是任意一个有理数对C.仅有一个有理数对D.有限个有数对3.如果Jx=2是方程ax_3

3、y =5的解，也是方程2x + by=1的解，试求a-b的值 y= -1二、二元一次方程组方程组含有两个未知数，并且含有每个未知数的项的次数都是1像这样的方程组叫做兀一次方程组特点：1、方程组中每一个方程都是一次方程2 、方程组中含有两个未知数，而不是每一个方程都必须含有两个未知数3、整个方程组中含有两个且只含有两个未知数如|x = 1x + y = 6iy = 5 x+1=22x + y =1 X + 2y = 43x+6y = 12是方程组，但J X十y = 6就不是二元一次方程组y+z = 24、方程组中相同的未知数在各个方程中所表示的意义是相同的我们把二元一次方程组中两个方程的公共解，

4、叫做二元一次方程组的解.即方程组中的解满足方程组中的任何一个方程。1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组?哪些不是，请说明理由(1) x + y=2:x + z =2(2M x=°ly = O(3)I1lx+ = 2 jyx - y = 1 Jx2yTlx2 =1|x + yly =5=6|2x + y = -6(X + y = 3 by =122.请写出一个二元一次方程组X = 2,使它的解是ly =1lx=3fx + 2v = m,n =3.若4是方程组4 y 的解，则m -y = -1gx - y = 4n4.2013(m + n) 的值已知尸3是方程组J2x +（m-1）y=

5、2的解，求 y =1nx + y =15.方程组crn和产+ y =8有相同的解，求x + 2y = mm n的值6.在下列方程组中,只有一个解的是（X +y =13x +3y =0B x»0； cpx+3y =-2X + y =1 jsx3y =4D xg3x+3y =3三、解方程消元思想：将方程中未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，就是消元思想 代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解前瞻:1.把2x7y=4中x用含有y的式子表示出来2.3.解二元一次方程组:x =3y -5j3y =

6、8-2x2x + m = 1由方程组«-可得出x与y的关系式是（7 3 = m1、代入法解方程组?x+3y=16/+ 4y =13分析：对于方程组中的 中，未知数x的系数为1,因此可以把 变形为x=13-4y,用代入法消去方程 中的未知数x,从而求出y的值.解：由得，x=134y 把代入，得2(13-4y )+3y =16-5y = -10y =2产x =5把y=2代入，得x=5，所以原方程组的解是«"变形为用含y的代数y =2点评：本题运用代入消元法求解，需运用等式的基本性质将方程式表示X的形式.2、加减法解方程组宀0l3x +2y =8分析:方程组式与式中未知

7、数y的系数互为相反数， 将式与式相加，可消去其中一个未知数 y,达到消元的目的.解： + 得 x-2y+3x+2y =0+8 即 4x=8,解得 x = 2,将X =2代入得,3 ”2+2y =8 解得 y =1，所以原方程组的解是fx =2yT3、常数项相同I5x y =110解方程组：i y-X =110解析：可以先消去常数项，再用代入法消元解：-得：5x-y-(9y-x) = 110-11056x=10y，即 x = 3y 5将带入得：59-心10解得心5从而“25(X = 25故方程组的解为ly=154、未知数的系数成倍数解方程组：!3x+2y=8Qx+ 9y =21分析：仔细观察x、

8、y系数之间的关系，便会发现中x的系数是中中的一般,再利用消元。X 2得6x+4y=16，这样x前面的系数就一样了,解：由 X2得6x +4y =16-得：6x+9y-(6x+4y)= 21-165y =5 y =1将y =1代入得：3X+2 1=8 即 X = 2513将其代入得:心代卜11413I X =2故方程组的解为ily =15、最小公倍数解方程组pEyiL3x-2y=4解：咒3，得6x+9y =3 X2，得 6x-4y =8一得：6x+9y-(6x-4y )= 3 8 即 y =r 14jx = 故方程组的解为/135I 13四、方程组的应用X = 12求(a +b ) -(a -b

9、 Xa + b ) ly =1ax + bv = b1.若方程组4 y 的解是*jX-by =a2.若关于X、y的方程组JX+ 4y-7=0：2x + y-2b =03x + ay-13=0x-2y + 5 = 0:有相同的解，求a,b的值mx+ y = 53.小明和小华同时解方程组Q y2x + n y = 13小明看错了 m，解得卜专y = -2,小华看错了 n ,解得Jx = 3 ，你能知道原方程的解吗?=-74.关于X, y的二元IX + y = 1 m次方程组« y中，m与方程组的解中X或y相等，求m的X - 3y = 5 + 3m5.已知3x 中 y - 22+ (2x

10、+3y +1) =0 ,求 x,y 的值6.7.已知二元一次方程：(1) x + y=4 ; (2) 2x-y = 2 ; (3) x-2y =1 .请从这三个方 程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解.已知方程组x中5y-2+a，且x + y=7，求代数式a2-4a+5的值 2x +3y = 2aI x + y = 5k8、关于X、y的二元一次方程组4 y的解也是二元一次方程 2x + 3y = 6的解，则k,x - y =9k的值是2 2时，方程为- 元一 一次9、若已知方程（a -1）x +（a+ 1）x +（a-5）y = a +3,则当 a =方程；当a =时

11、,方程为二元一次方程.y =kx +b10、已知关于X、y的方程组4y=（3k-1）x + 2无解？分别求出k,b为何值时，方程组的解为：（1）唯一解；有无数多个解五、应用题1. 行程问题一列匀速行驶的火车通过一座160米长的铁路桥用了30秒，若它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了 32秒,求这列火车的速度和长度200id(160+y)iti30s<fr1IGOidC200+y)m32s<*示意图如上所示:解：设火车速度是xm/s,火车长为ym,根据题意列方程组得|30x = 160+yI32x = 200+ y解方程组得?"20y = 440答：火车速度是 20

12、m/s,火车长为440m甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米?汽车从甲地到乙地，若每小时行驶 45千米，就要延误 30分钟到达；若每小时行驶 50千米，那就可以提前 30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间?2. 工程问题等量关系：工作总量=工作时间X工作效率，常见的工作总量“ 1”某城市为了缓解缺水问题，实施一项饮水工程，就是把200km以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期50天，甲乙两队合作 30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队

13、加快速度，每天多修0.6km，10天乙队回来，为保证工期，甲队速度不变，乙队每天比原来多修0.4km，结果如期完成，问：甲乙两队原计划每天各修多少千米?解：设甲乙两队原计划的速度分别是x km/天、y km/天，由题意得I200解得C4lx +y =50j30(x + y )+20(x +0.6 )+10( y + 0.4) = 200某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原 来的生产能力，每天可生产这种服装 150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完200 套,4成订货的一；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服5这样不仅比规定

14、时间少用 1天，而且比订货量多生产 25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天?分析：设订做的工作服是 x套，要求的期限是 y天，依题意，得14|150y =-x5200(y -1 ) = x+25，解得产3375 片183. 数字问题常用关系：若两位数十位上的数字为x，个位上的数字为 y，则这个数可以表示为10x + y一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9 ;如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+ y10x + y= x + y + 9新两位数yx10y + x10y + x =10

15、x + y + 27分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示:解方程组0x+y=x + y+9，得肝1，因此，所求的两位数是14.10y + x =10x +y+27y = 44、配套问题某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺多少名工人生产螺母，才能使每栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓, 天生产出来的产品配成最多套?分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数X2=每天生产的螺母数X 1.因此

16、，设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓 25x个，螺母20y个，依题意，得x + y =120l50xX2=20yxiX = 20，解之，得iy=100故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好 配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是:问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，甲产品数 乙产品数- b问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品C件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是:

17、甲产品数_乙产品数_丙产品数5. 利润问题一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少?分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y ;打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组P9x"2°%y0.8x y =10x= 200，解得 1150，因此，此商品定价为 200元.点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价.禾U润的计

18、算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价X利润率(盈利百分数).特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念6、其他为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200平方米，在实施中为扩大绿地面积， 新建校舍只完成了计划的 80%而拆除旧校舍则超过了计划的10%结果恰好完成了原计划的拆、建总面积(1)求：原计划拆、建面积各是多少平方米?(2)若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米?某停车场的

19、收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为 4元/辆.现在停车场有 50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车 各有多少辆?销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（兀）100250450某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）全部直接全部粗加工后尽量精加工，剩余部分直接销售方式销售销售销售获利（元）（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格:（2）如果先进行精加工， 然后进行粗加工，要求在 15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间?中考链接（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆现在停车场有 50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆?（2012江苏南通）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元.若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（兀）100250450（2006年四川省眉山市）某