不等式的证明

1、全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)不等式的证明、基础知识1. 基本不等式定理1：如果a, b R,那么a求 M ； 证明：当a，b M时,+ b22ab,当且仅当a= b时，等号成立.a + b .(2)定理2：如果a, b0,那么一厂Vab，当且仅当a= b时，等号成立,即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.(3)定理3：如果a, b, c R+,那么a+ ；+ C abc,当且仅当a= b= c时,等号成立.2. 比较法(1) 作差法的依据是：a b0? ab.A(2) 作商法：若B0,欲证AB,只需证1.3. 综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知

2、条件出发，利用定义、公理、定理、性质等, 经过一系列的推理、论证而得出命题成立.(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等),从而得出要证的命题成立.考点一比较法证明不等式11x 2+x+2典例已知函数f(x) =，M为不等式f(x)v 2的解集.|a+ b|v|1 + ab|.全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）12x, x 2,1 1解(1)f(x)= 1, 2 x g当 x 1 时，由 f(x)2,得一2x 1;1 1当2 x2时，f(x)1 时，由 f(x)2,得 2x2,解得

3、x 1.所以 f(x)2 的解集 M = x 1x 1.（2）证明：由（1）知，当 a, b创时，一1a 1, 1b 1,2 2从而(a+ b) (1 + ab)2 2=(a 2=P (P 1)x + q(q 1)y +2pqxy因为 p+ q= 1,所以 p 1 = q, q 1 = p.所以(px+ qy)2 (px2 + qy2)=pq(x2 + y 2xy)= p q(x y)2. 1)(1 b2) 0.因此 |a+ b| |1 + ab|.专题训练1. 当 p, q 都是正数且 p+ q= 1 时，求证：（px+ qy）2px2 + qy2.解：(px+ qy)2 (px2 + qy

4、2)2222c,22、=p X + q y + 2pqxy (px + qy )全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)因为P, q为正数，所以一Pq(x y)2w0,所以(px+ qy)20, b0 时，aabb (ab) 2 aabL_但嘗 竽-b丿,当ab0时,b1, 0,阖 1,a a b伦当ba0时,。貸1, 丁1,a + b.aabb (ab) 丁 考点二综合法证明不等式典例(优质试题 全国卷n )已知a0, b0, a3+ b3= 2.证明:55(1)(a + b)(a + b) 4；(2)a + b 4.33223(2).(a + b) = a + 3a b + 3a

5、b + b3(a + b)=2 + 3ab(a + b) w 2 +4(a + b)3(a+ b3=2 + (a + b)38,因此 a+ bcd，求证：a+b讥 + d.证明：因为(W+ 血)2= a+b+ ab, (&+ /d)2 = c+d+ /cd.由题设 a+ b= c+ d, abcd 得(/a + /b) (a/C+寸d).因此 y/a+y/byjc+丽.2. (优质试题 湖北八校联考)已知不等式|x|+ |x 3|0, y0, nx+y+ m= 0,求证：x+y16xy.解：(1)由 |x| + X 3|x + 6,j0x3, 或$x+ x 3x+ 613x+ 6得厂3,jx

6、0,或*:x+ 3 XVX+ 6,解得1x0, y0,$+y)9x + y)= 10+ y+Y10+ 2/yx 9x= 16,当且仅当x= y,即x=吉，尸4时取等号,1 1匚+ y 16,即 x+ y16xy.考点三 分析法证明不等式典例(优质试题 长春质检)设不等式|x+ 1| x 1|1.2 x 1,解(1)由已知，令 f(x) = |x+ 1 |x 1|H 2x, 1x1,L 2, x 1 ,由f(x)|2，得一1x1，即 A= x| 1x1,只需证 |1 abc|ab c|,即证 1 + a2b2c2a2b2 + c2,即证 1 a2b2c2(1 a2b2),2 2 2即证(1 a

7、b)(1 c)0,由 a, b, c 3，得一1ab1, c 0 恒成立.h abcl综上，I|1.jabc I解题技法分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理 论.(2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(3) 注意恰当地用好反推符号“ ？”或“要证明”“只需证明”“即证明” 等词语.专题训练1 .已知 abc,且 a+b+ c= 0,求证：寸b2 acbc 且 a+ b+ c= 0,知 a0, c0.全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）只需证 b2 ac3a2.

8、2 2a+b+ c= 0,.只需证b +a(a+ b)0,即证(a b)(2a + b)0,即证(a b)(a c)0.abc,. a b0, a c0,(a b)(a c)0 显然成立,故原不等式成立.2.已知函数 f(x)=|x + 1|.(1)求不等式f(x) f(a) f( b).解：(1)由题意，|x+ 1|2x + 1| 1, 当x 1时,不等式可化为一X 1 2x 2,解得x 1 ；1 当一1 x 2时,不等式可化为X+ 1 2时,不等式可化为X+ 1 1.综上，M = x|x 1.(2)证明：因为 f(a) f( b) = |a+ 1| | b+ 1| f(a) f( b),只

9、需证 |ab+ 1|a + b|,即证 |ab+ 1f2 |a+ b|2,即证 a b + 2ab + 1 a + 2ab + b ,即证 a2b2 a2 b2 + 1 0,即证(a 1)(b 1) 0.因为a, b创，所以a2 1, b2 1,所以(a2 1)(b21) 0成立，所以原不等式成立.课时跟踪检测1. 已知 ABC的三边a, b, c的倒数成等差数列，试用分析法证明：/ B 为锐角.证明：要证/B为锐角，只需证cos B0,所以只需证a2 + c2 b20,即 a2 + c2b2，因为 a2+ c22ac,所以只需证2acb2,由已知得2ac= b(a+ c).所以只需证b(a

10、+ c)b2，即a+ cb,显然成立.所以/B为锐角.2. 若 a0, b0,且a+ b=-(1) 求a3+ b3的最小值；(2) 是否存在a, b,使得2a+ 3b= 6?并说明理由. 1 1 2解: (1)由低二a+ b/Ob，得ab2,仅当a= b=/2时等号成立.故a3+ b32WV472,仅当a=时等号成立.所以a3+ b3的最小值为4迈.由 知，2a+ 3b 2yJ6jab4/3.由于4/36,从而不存在a, b,使得2a+ 3b=6.3. (优质试题 南宁模拟)(1)解不等式|x+1|+|x+ 3|4;若a, b满足(1)中不等式，求证：2|a b|v|ab + 2a+ 2b|.

11、解：当 XV 3 时，X+1I+X+ 3匸一X 1 X 3= 2x-4 4,所以4VXV3;当一3 XV 1 时，|x + 1|+|x+ 3|= X 1 + x+ 3= 24 恒成立,所以一3 1 时，|x+1|+ X + 3| = X +1 + X+ 3 = 2x+ 44,解得 xv0,所以一K XV0.综上，不等式|x+1|+|x+ 3|4的解集为x| 4VXV0.(2)证明：因为 4(a b)2 (ab + 2a+ 2b)22222=(a b + 4a b+ 4ab + 16ab)=ab(b + 4)(a + 4)0,2 2所以 4(a b) v(ab + 2a+ 2b),所以 2|a

12、b|v|ab + 2a + 2b|.4. (优质试题 武昌调研)设函数f(x) = X 2|+ 2x 3,记f(x) 1的解集为M.(1)求 M;当 X M 时，求证：xf(x)2 x2f(x) 0.jx 1, x2， 解：由已知，得f(x)=il3x 5, x2.当 x 2 时，由 f(x) = X K - 1,解得x 0,此时x2 时，由 f(x) = 3x 5 1,解得x 3,显然不成立.故 f(x) 1 的解集为 M = xx 0.14.(2)证明：当X刑时，f(x) = x 1,于是 xf(x)2 x2f(x) = x(x 1)2 x2(x 1)= X2 + x=令 g(x) = (

13、x 2 + 4,则函数g(x)在(一X, 0上是增函数,故 xf(x)2 x2f(x) 0.5. (优质试题 西安质检)已知函数f(x)= |2x 1| + |x+ 1|.(1)解不等式f(x)3;23记函数g(x) = f(x)+x+1|的值域为M，若t M，求证：t2+ 1+ 3t.r 3x, x 1 ,丨 1解：依题意，得 f(x) = 2 X, 1x2，|x 1,W 3? L 3x 3J-心1,2-x 3x- l3x 3,解得K x 1,即不等式f(x)w 3的解集为x| K x |2x 1 2x 2|= 3,1当且仅当(2x 1)(2x + 2) 0,即一Kx2时取等号,Q99t2+

14、 1 3t 5x+ 9, x2.作出函数f(x)的图象如图所示. 八 3t+1 3(t 3卩+ 12t 创，一 3 0, t2+ 10,2(t3it+1L 0,2 + 1 3 + 3t.6. (优质试题 长春质检)已知函数f(x)= |2x 3|+ |3x 6|.(1)求f(x)2的解集；若f(x)的最小值为T,正数a,1b 满足 a+ b= 2,求证：T.解：(1)f(x) = |2x 3|+ |3x 6|=I SJ I41 13 zji ft 25口 11、 由图象可知，f(x)2的解集为(5, 5丿.(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1,12,Va + VB/a+ b由基本不等式可

15、知7=7当且仅当a= b时，“=”成立，即+托=1= T.7. 已知函数 f(x)=|2x 1| |x+ 2|.(1)求不等式f(x)0的解集M ；当 a, b M 时，求证：3|a + b|ab + 9|.r 532 x, xV 2，131解：(1)f(x) = 3x 2， 2= x235当 XV 2时，f(x)v0，即 2x0,无解;31111当一2= x2时，f(x)v0，即一3x 20)，且 f(x 2)0 的解集为3, 1.求m的值;1 1 1(2)若 a, b, c都是正实数，且 a+2b+ sCm,求证：a + 2b+ 3c9.解：法一：依题意知f(x2)= m-|x + 2|0,即X+ 2| m? m 2x0的解集为3, 1,所以一 3, 1为方程f(x 2)= 0的两根，即一 3, 1为方程m X+ 2|= 0的两根,所以 PT一3+ 2|= 0,解得 m= 1.Im | 1 + 2| = 0,1 1 1(2)证明：由可知a + 2b+ 3C= 1(a, b, c0),(111)fa 2b、心