第二课时：平面向量的基本定理及坐标运算

1、第二课时：平面向量的基本定理及坐标运算【学习目标】【学习重点】【学习难点】【学习过程】会用坐标表示向量加法、减法与数乘运算平面向量的正交分解及其坐标表示、用坐标表示向量加法、 减法与 数乘运算.平面向量的基本定理及坐标表示向量共线的条件.一、知识梳理：1、平面向量基本定理定理：如果e,、e2是同一平面内的两个4一对实数打，打使a =. 其中，不共线的向量向量的一组基底2、夹角(1)已知两个的夹角(2).向量夹角9的范围是 a与b反向时，夹角=_(3)如果向量a与b的夹角为时，则3、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个4、平面向量的坐标表示(1) 在平面直角坐标系中分别取与 对于平面内的一个

2、向量+ a，有且只有一对实数 做a的坐标，记作：a= 上的坐标I 彳 呻(2) 设OA =x+ y j，则向量OA的坐标(X, y)就是则点A的坐标为，反之亦成立(5、平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘的运算：4 4=, a - b =向量，那么对于这一平面内的任意向量a ,叫做表示这一平面内所有向量a和b ,作0=",则N AOB =9 ,叫做向量,a与b同向时，夹角9 =a与 b垂直，记作：的向量，叫做把向量正交分解x轴、，其中已知向量，4，几a =H 4y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底，X, y，使a =xi +yj ，把有序数对叫4一叫做a在X轴上的坐标，叫做

3、a在y轴的坐标，即若OA=(x,y),O是坐标原点)角“止“)和实数.那么a+bI(2 )向量坐标的求法：已知 A(X1,y1),B(X2,y2)，则 AB =标等于该向量 的坐标减去 的坐标6、平面向量共线的坐标表示彳片 斗珂(1) 若 a =(X1,y1),b =(X2,y2)(b 北0)则a/b的充要条件是 .(2) 线段中点坐标公式及推广：设(x1,y1),P2(x2,y2)；若 rp=apr，设 PXy)，则 x=则RP2的中点P的坐标为y =.二、激活思维41、已知点A( 2, 3)，B( 1, 5)，且AC = 3AB，求点C的坐标，即一个向量的坐2、设向量a, b满足I a|

4、= 2&, b= (2,1)，且a与b的方向相反，则 a的坐标为3、已知a 2 b = ( 3, 1), 2 a + b = ( 1, 2),求 a + b =4、已知向量 a = (cos 2，sin；)，b = (cos2，sin2)，'a -引=孝，求 cos( B的值.5、在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, m= &3b c, cos C), n = (a, cos A), m/ n,贝U cos A的值等于 三、例题分析题型一 平面向量基本定理的应用 例1、已知D为厶ABC的边BC上的中点， ABC所在平面内有一点 P,满足P

5、A + BP + CP=0,则题型二平行(共线)垂直向量的坐标运算例 2、(1)已知向量 a =(1,2),b =(x,1),u =a +2b,v =2a -b,且 u/v,求 x 的值;(2)在直角三角形 ABC中, AB = (2,3), AC = (1, k),求实数k的值.变式1、平面内给定三个向量a= (3,2), b= ( 1,2), c= (4,1).(1)求满足a = mb+ nc的实数 m, n;(2) 若(a + kc)/ (2b a),求实数 k；(3) 若 d 满足(d c)/ (a+ b),且 |d c|=75,求 d.4 4八、例3、设坐标平面上有三A, B,C ,

6、i, j分别是坐标平面上 x轴、y轴正方向上的单位向量, 若向量AB=i-2j, BC=i+mj，那么是否存在实数 m，使A,B,C三点共线。变式 2、向量 OA=(k,12)，OB =(4,5)，0C=(k,10)，且 A，B，C三点共线, 求k的值.变式3、已知向量6,©不共线，a =6, +2,© =20 +屁2,要使a,b能成为平面内所有向 量的一组基底,则实数入的取值范围是 题型三向量的坐标运算I 44 、在直角坐标系，xoy中，i, j分别是与 J轴、y轴正方向同向的单位向量，已知OA = 2i+3j , OB=4i+4j , OC=6i +kj，若 AB/ A

7、C，则实数 k =变式4：已知a, b, c分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，向量 m= (2cosC-1, - 2), n=(cos C, cos C+1).若m丄n,且a+ b= 10,则 ABC周长的最小值为 四、当堂练习：1、已知向量 二(1,1), b=(1,1) , c=(运 cosa, J2sina)(a迂R),实数m,n满足ma + nb= c则(m -2)2 +n2的最大值为 2、向量 a= (, 1) , b= (0 , -1) , c= (k , J3 ),若 a-2b 与 c 共线，贝U k=.3、在平面直角坐标系中,O为坐标原点，A、B、C三点满足OC =

8、 QA + 3OB ,则| Ag "=33|AB|五、课后练习1、与平面向量 a=(12,5)2、在 也ABC中，已知A? - 、若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则4、 MBC 的平行的单位向量为D是AB边上一点，若"AD = 2DB， cDcA*cB，则扌 .三个内角 A,B, C所对边的边长分别为a,b,c ,设向量P = (a + c,b),q = (b -a, c -a),若p / q ,则角C的大小为-1 X -5、已知向量a =(1,), b =(x1,1)，则a + b的最小值是X1)7Q,则点R的坐标45a6、已知两点P(3,4),Q(

9、12,7),点R在直线PQ上，且PR =7、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若：AD=xAB+yAC，则x="4 , y= . T8 已知向量 OA = (1, 3) , OB = (2 , 1) , OC = (m+ 1, m-2),若点 A、B、C 能构成三角形，则实数 m应满足的条件是.9、已知直线X+ y= a与圆x2 + 一 4交于A、B两点，且|OA + OB |= | OA - OB 其中O为原点，则实数a的值为 10、如图，在心ABC中,点O是 BC的中点，过点0的直线交AB,AC于不同的两点 M , N , 若 AB =mAM , AC = nAN ,求 m + n 的值。11、已知 a =(1,0),b =(2,1)。(1)求 a+3：；当k为何值时，ka-b与a+sb平行，平行时它们是同向还是反向？12、抛物线C : y=x2上两点M , N满足mN = 2 MP，已知"OP = (0, 2)，求I谕|。G是AABO的重心T T(1 )求 GA+ GB