第19章第12课时正方形判定

1、正方形的性质【目标导航】1、掌握正方形的判定方法。进一步理解特殊四边形之间的内在联系与区别2、会用正方形的判定方法判定四边形是正方形。3、培养综合运用知识分析解决问题的能力。1 .正方形的定义：有一组2 正方形的识别：_邻边相等直角有一个角是直角且有一组邻边相等【要点梳理】 ，有一个角-是的平行四边形叫做正方形。的平行四边形是正方形；(定义) 的矩形是正方形的菱形是正方形有一组邻边相等有一个角是直角第8页【问题探究】1. (菱形、正方形的判定)四边形ABCDK AC BD相交于点0,能判别这个四边形是正方形的条件 ( )A. OA=OB=OC=ODC丄 BD B . AB/CD AC=BDC.

2、 AD/ BC / A=/CD . 0A=0C0B=0DAB=BC【练习】曰 定是.菱形.等腰梯形如图，已知平行四边形 ABCD中，对角线1对角线互相垂直平分且相等的四边形A.正方形BC.矩形D例2.(菱形、正方形的判定) 长线上的点，且 ACE是等边三角形.(1) 求证：四边形ABCDi菱形；(2) 若/ AED=Z EAD求证：四边形 ABCD是正方形.【练习】如图，A B C三点在同一条直线上， AB=2BC分别以AB BC为边作正方形ABEFF和正方形BCMN连接FN, EG 求证：FN=EC例3.(开放题)如图，以 ABC/ BAO 60(1) 求证：四边形 ADEFi平行四边形；(

3、2) 当 ABC分别满足什么条件时，四边形)的三边为边，分别作三个等边三角形。【练习】ADEF是菱形、是矩形、是正方形?1在 ABCD中, AC BD交于点Q过点0作直线EF GH分别交平行四边形的四条边于 四点，(1)(2)(3)(4)连结 EG GF FH HE如图， 如图， 如图，试判断四边形 EGFH勺形状，并说明理由; 当 EF丄GH时，四边形在(2)如图，在(3)的条件下, 的条件下,EGFH勺形状是;AC=BD四边形EGFH的形状是 ACIBDE、GF、HBGAF C图AEDHCBD GF图试判断四边形EGFH勺形状,并说明理由.【课堂操练】1 下列命题中，真命题有(1)邻补角的

4、平分线互相垂直(3)四边形的外角和等于 360°A. 1个B. 2个C.(2)对角线互相垂直平分的四边形是正方形(4)矩形的两条对角线相等3个D. 4个2. 有若干张面积分虽为 a2,b2,ab的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为 片( )A. 2张B. 4张C. 6张3. 在四边形ABCD中，点E, F, G H分别是边D . 8张AB BC CD DA的中点，如果四边形EFGH正方形，那么四边形 ABC是(只要写出一种即可)4 .已知正方形 ABCD中，点E在边DC上, DE=2, EC =1 (

5、如图4所示) 把线段AE 绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，贝U F、C两点的距离为a的正方形纸2b的正方形纸EC5如图，将正方形 M, GF交 BD于 N.ABCD中的 ABD绕对称中心 O旋转至 GEF的位置，EF交AB于 请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论.6.已知:(1)(2)如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别在 BC和 CD上, AE = AF . 求证：BE = DF;连接AC交EF于点Q 延长 QC至点M,使QM= QA 连接EM FM判断四边 形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.E7 观察控究，完成证明和填空.如图9-1,四边形 ABCD中，

6、点E、F、G H分别是边AB BC CD DA的中 点，顺次连接 E、F、G H,得到的四边形 EFGH叫中点四边形.（1）求证：四边形 EFGH是平行四边形；（2）如图9- 2,当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形， 请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是.当四边形当四边形当四边形（3）根据以上观察探究, 的？ABCD变成矩形时，它的中点四边形是;ABCD变成菱形时，它的中点四边形是;ABCD变成正方形时，它的中点四边形是;请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定An£12 9-1C【每课一测】45分钟，满分：100分）（完成时间：

7、一、选择题（每题 5分，共25分）1 下列命题中是真命题的是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形2 下列说法不正确的是（）B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等D.两边相等的平行四边形是菱形A. 组邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形3如图,把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）A. 60°B. 30 ° C. 45°4.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 然后，将其中

8、的一个正方形再剪成四个小正方形， 操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 三次操作；，根据以上操作，若要得到（）D. 90°4个小正方形，称为第一次操作； 共得到7个小正方形，称为第二次 10个小正方形，称为第2011个小正方形，则需要操作的次数是ACE1屈; S正方形 ABCD4 76 .A.B.C.D. 二、填空题（每题 5分，共25分）6 . 的平行四边形是是正方形（只填一个条件）.7 .如图，正方形 ABCD边长为1,动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为;当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为 （用含自然数n的式子表示）

9、.A(P)D L8 .如图.边长为 顺时针旋转45°1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 ，则这两个正方形重叠部分的面积是 .9.如图，正方形 则图中阴影部分的面积是ABCD的边长为1cm, E、F分别是 cm2.BC、CD的中点，连接 BF、DE,刁cEABBC10.若正方形 ABCD的边长为 射线BM交正方形的一边于点4, E为BC边上一点，F,且BF= AE,贝U BM的长为BE= 3, M为线段AE上一点,三、解答题（每题 10分，共11.已知：如图，在 ABC中，AB=AC AD丄BC,垂足为点 D, AN是 ABC外 角/ CAM的平分线，CE1 AN

10、,垂足为点 E.求证：四边形ADCE为矩形.当 ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明.50分)EFy.lf(1)(2)DA. 669B. 670C. 671D. 6725.已知：如图，在正方形 ABCD外取一点E ,连接AE , BE , DE .过点A作AE的垂线交ED于点P .若AE AP 1 , PB.下列结论:APD AEB ;点B到直线AE的距离为J2 ； EB ED : Sapd Sapb其中正确结论的序号是正方形ABCD的对角线 AC和BD相交于点0, 0又是正方形 A1B1C1O ,0 A1交AB于点E, OC1交BC于点F.12.如图， 的一个顶点，

11、（1）求证： AOE BOF（2）如果两个正方形的边长都为 a,那么正方形A1B1C1O绕0点转动，两 个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？13.(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点0,/AOF=90°.求证：BE= CF.如图2,在正方形 ABCD中，点E,H,F,G分别在边 AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点 0/ F0H= 90：EF=4 .求GH的长.14 . (3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上, EF,GH交于点0,/ F0H= 90°,EF= 4.直接写出下列两题的答案

12、：如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示).15 .如图， ABC中，点P是边AC上的一个动点，过 P作直线 MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于 点E,交/ BCA的外角平分线于点 F .求证：PE=PF;当点P在边AC上运动时，四边形(1)(2)BCFE可能是菱形吗？说明理由;若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形，且N如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；【参考答案】【要点梳理】1一组邻边相等2.四条边相等 3.对角线互相垂直【问题探究】 例1.A证明：(1)v四边形ABCD是平行四边形， AO=CO变式：例2.又 AC

13、E是等边三角形， EOIAC,即DB丄AC平行四边形ABCD是菱形；(2) ACE是等边三角形，/ AEC=60 . / EOI AC, / AEO=_ / AEC=30 .2/ AED=2/ EAD / EAD=15 , / ADO2 EAD +/ AED=45 四边形 ABCD是菱形，/ ADC=2/ ADO=90 .四边形ABCD是正方形.变式：证明：FN=EC证明：在正方形 ABEF和正方形 BCMN中,AB=BE=EF BC=BN / FEN=Z EBC=90/ AB=2BC EN=BC FENA EBC FN=EC例 3. (1)证明：由"BDEB/E FC得到 DB=E

14、F=AD 由"BDEB/b AC得到 DE=AC=AF从而推出四边形 ADEF是平行四边形(2 )当AB=AC时，四边形 ADEF是菱形；当/ BAC=150时，四边形 ADEF是矩形；当AB=AC且/ BAC=150时四边形ADEF是正方形 变式：解：(1)四边形EGFH是平行四边形.证明： ABCD的对角线AC BD交于点O.点O是口ABCD的对称中心. EO=FO GO=HO四边形EGFH是平行四边形.菱形.菱形.四边形EGFH是正方形./ AC=BD； ABCD是矩形. 又 AC丄 BD ABCD是菱形. 第6页(2)(3)(4)证明： ABCD是正方形，/ BOC=90 ,

15、 / GBOM FCO=45 . OB=OC / EF丄 GH， / GOF=90 . / BOGM COF BOGA COF OG=OF - GH=EF由(1)知四边形EGFH是平行四边形，又 EF丄GH EF=GH四边形EGFH是正方形.【课堂操练】1 . C 2 . B 3 .答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求如：正方形、矩形.CE5.猜想：BM=FN证明：在正方形 ABCD中, BD为对角线，O为对称中心， BO=DO，/ BDA=/ DBA=45 GEFA ABD绕O点旋转所得 FO=DO, / F=/ BDA OB=OF / OBMW OFNOBMOBBOMOFNOFF

16、ON:. OBMA OFN BM=FN6. 证明：(1 )四边形 ABCD是正方形， AB= AD,/B = /D = 90° / AE = AF , Rt ABE Rt ADF BE= DF.(2)四边形AEMF是菱形. 四边形 ABCD是正方形，/ BCA/ DCA=45 , BC=DC/ BE= DF,.BC- BE=DC- DF.即 CE=CF OE=OF OM = OA 四边形 AEMF是平行四边形. AE = AF，平行四边形 AEMF是菱形.7. 解：(1)证明：连接BD E、H分别是AB AD的中点， £日是 ABD的中位线 EH= BD, EH/21同理得

17、FG=丄BD2 EH= FG EH/ FG四边形(2)-BD21FG/ BD2EFGH是平行四边形填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形 中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的.【每课一测】1 . C 2 . D 3.6 对角线互相垂直相等(3)第11页7 解析：本题考查正方形中的探索规律问题，由题意知，点 当运动的路程是 2008时，点P恰好回到点A, 从点A运动到点D运动的路程是3,当运动n8.P运动一周路程为4,点P从A点出发， 所以当运动路程为 2009时，点P所在位置是点B,点P 圈后，点P走的路程为4n+ 3，故填点B; 4n + 3.10.罷1235或12 .如下图是

18、其中的一种情况：因为25BFAE,且 AB=BC,则 ABEA BCF,则/ BAE=/ BFC第14页四边形ABEF这矩形，则对角线互相平分，则DAN=900, 四边形(2)条件： ABC是以/ BAC为直角的等腰直角三角形。当AD=CD寸，四边形ADCE是一个正方形。所以 ADC是等腰直角三角形。从而易证ABC也是等腰直角三角形。AOE AOEABOFBOF12则Z BME=90°，贝U ABX BE=AEX BM,贝U BM=.另一种情况如另一图形，此时可连接FE,则可证明5BM=5 .212. (1 )证明：在正方形 ABCD中, AO=BO/ AOB=9C° , / OAB2 OBC=45 / AOEy EOB=90 , / BOF+Z EOB=90/ AOEZ BOF在 AOEn BOF中OBFOAEOA OB1(2)答：两个正方形重叠部分面积等于-4因为 AOEA BOF11 2所以：S 四边形 OEBF=SEOB+SOBF=EOB+S AOE=S AOBS 正方形 ABC