直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系是高考重点考查的内容，涉及直 线与圆的位置关系的判断，弦长问题及切线问题，此部分知 识的考查往往有一定难度 .（ 1）直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆 与圆的位置关系 .（ 2）计算弦长、面积，与圆有关的最值；根据条件求 圆的方程 .（ 1）会用代数法或几何法判定直线与圆的位置关系.（ 2）掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切 线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代 数法处理几何问题的思想 .例 1 已知点 P （x0, y0）,圆 O: x2+y2=r2 （r>0）,直线I: x0x+y0y=r2，有以下几个结论

2、：若点P在圆O上，则直线I与圆O相切；若点P在圆O夕卜，则直线I与圆O相离； 若点P在圆O内，则直线I与圆O相交；无论点P在何 处，直线 I 与圆 O 恒相切 . 其中正确的结论是 .破解思路 判定直线与圆位置关系的两种方法:代数法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： >0?圳相交； r ?圳相离；d=r ?圳相切（主要掌握几何法） 答案详解 根据点到直线的距离公式有 d= ，若点 P 在圆O上，则x20+y20=r2, d=r，相切；若点 P在圆0外，则 x20+y20>r2, dr，相离，故只有结论正确 .例 2 已知圆 C1：（x-2） 2+（y-3） 2=1，圆

3、C2：（ x-3）2+（y-4） 2=9, M , N分别是圆 C1, C2上的动点，P为x轴上 的动点，则 PM+PN 的最小值为（ ）A. 5 -4 B. -1C. 6-2 D.破解思路 四种与圆有关的最值问题的求法如下： 圆 0 外一点A到圆上一点的距离的最小值为AO-r，最大值为AO+r；求ax+by（其中（x，y）为圆上的点）的取值范围转化为 直线与圆的位置关系；求（其中（x，y）为圆上的点）的最值可转化为求直线的斜率；形如（x-a） 2+（ y-b）2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题 .答案详解 两圆的圆心均在第一象限，先求 PC1+PC2的 最小值作点C1关于x轴的

4、对称点 C 1（ 2,-3）,贝（PC1+PC2 min=C 1C2=5，所以（PM+PN） min=5 - （1+3） =5 -4.故选 A.例3已知点E （-2, 0）, F （2, 0），曲线C上的动点 M 满足？ =-3,定点A （2, 1）,由曲线C外一点P （a, b）向 曲线C引切线PQ,切点为Q,且满足PQ=PA.（1）求线段PA长的最小值;(2)若以P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点，试 求半径取最小值时圆 P 的标准方程 .破解思路 本题的第一问实际是研究切线长的问题，勾 股定理是解决此问题的常用方法 . 第二问需考查圆与圆的位 置关系，此类问题通常利用圆心距与两圆半径的关

5、系求解 .答案详解 (1)设 M (x, y),则=(x+2, y), = (x-2, y),所以？ =( x+2, y) ?( x-2, y) =x2-4+y2=-3，即点 M 的 轨迹(曲线C)方程为x2+y2=1，即曲线C是圆O.如图2，连结OP,因为Q为切点，所以 PQ丄OQ,由勾 股定理有 PQ2=OP2-OQ2.又由已知，PQ=PA故PQ2=PA2.即 ( a2+b2) -12=( a-2) 2+( b-1 ) 2，化简得实数 a， b 满足的 等量关系为2a+b-3=0,即b=-2a+3.图2从而可得 PQ= = = = ,故当 a= 时, PQmin= . 即线段 PQ 的长的

6、最小值为 .(2)设圆P的半径为R,因为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1,所以R-1 < OPW R+1,即R> OP-1且R< OP+1; 而 OP=,故当 a=时，PQmin=,此时 b= -2a+3= , Rmin= -1.所以当半径取最小值时，圆P的标准方程为x- 2+y- 2= -12.1. 若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 有公共点，则 b 的取值范 围是( )A. 1-2 ， 1+2 B. 1- ，3C. -1， 1+2 D. 1-2 ， 32. 已知两圆相交于( 1， 3)和( m， -1)两点，两圆圆 心都在直线 x-y+c=0 上，且 m，c 均为实数， 则 m+c=3.