直线与平面垂直

1、9.3直线与平面垂直【教学目标】掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题【知识梳理】1.直线与平面垂直的判定类别语言表述应用判如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直证直线和平面垂直疋如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面证直线和平面垂直如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于冋一个平面证直线和平面垂直2.直线与平面垂直的性质类别语言表述图示字母表示应用性质如果一条直线和一个平面垂 直，那么这条直线和这个平面 内的任何一条直线都垂直丿a_aa bb证两条直 线垂直如果两条直线冋垂直于一个 平

2、面，那么这两条直线平行aa bb证两条直 线平行3.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距 离.4.直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.【点击双基】1“直线I垂直于平面a内的无数条直线”是“ I丄a”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B2.给出下列命题，其中正确的两个命题是直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面直线m丄平面a,直线n丄m，则n /a a、b是异面直线，则存在唯一的

3、平面a,使它与a、b都平行且与a、b距离相等A.B.C.D.解析：错误.如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.正确.如下图，平面a /3 , Aa, Ca, D 卩，B 卩且E、F分别为AB、CD的中点，过 C作CG / AB交平 面卩于G,连结BG、GD.设H是CG的中点，贝U EH / BG , EH /平面3 , HF /平面卩.平面EHF /平面3 /平面a . EF / a , EF / 3 . 错误直线n可能在平面a内 正确如下图，设AB是异面直线 b'/ b，贝U a'、b '确定的平面即为与 唯一确定的.zC;SHF / GD.a、b的公垂线段，a

4、、b都平行且与E为AB的中点，过E作a'/ a, a、b距离相等的平面，并且它是a'答案：D3在正方形 SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，及EF把这个正方形折成一个四面体，使Gi、G2、G3三点重合,在四面体S- EFG中必有D是EF的中点，沿SE、SF 重合后的点记为 G,那么，A. SG丄平面EFG解析：注意折叠过程中，始终有 SGi丄GiE, SG3丄G3F，即SG丄GE, SG丄GF，所以SG 丄平面EFG .选A.答案：A4.在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，当底面四边形 ABCD满足条件 有AiC丄BiDi.(注：填上你认为正确的一种条

5、件即可，不必考虑所有可能的情况)AiB.SD丄平面EFGC.FG丄平面SEFD.GD丄平面SEF时,DiB答案：AiCi丄BiDi或四边形 AiBiCiDi为菱形等5.设正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为i,贝UncCi；Bi(1) A点到CDi的距离为(3) A点到面BDDiBi的距离为 (4) A点到面 AiBD的距离为 ;(5) AAi与面BBiDiD的距离为 答案:,6V(3)(5)丄2【典例剖析】例1已知直线AB与平面 相交于点B,且与 内过B点的三条直线 BC, BD , BE所成 的角都相等，求证：AB与平面垂直.证明：在上取 BC/ AB 与 BC、BD、 ABBCAB

6、 BDBD BE ,BE所成的角都相等,AB BE .则AB即AB(BCDCBD ) 0,0,从而AB丄CD .又AB 即 AB ECAB BE , AB (BC BE) 0,BC0，故AB丄CE.而 CD CE=C，所以 AB丄平面图廿.0例2.如图9-10,在正三棱柱 ABC-A iBiCi中,AiA=AB, D是CCi 的中点,F是AiB的中点求证：DF平面ABC; AF BD分析 要证“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；而证明“线线垂直” ，除考虑三垂 线定理及其逆定理外，还可由线面垂直证得证明(1)(方法1)取AB中点G,连FG,CG.1 F 是 AiB 的中点，

7、 FG/ AiA 且 FGA,A,2又D是CG的中点，于是FG与DC平行且相等，从而CDFG是平行四边形 FD/ CG.FD 平面 ABC, CG 平面 ABC, FD / 平面 ABC.(方法2)取A1A的中点M ,连FM , MD , Q F是A1B的中点，MF /AB. 从而MF/平面ABC,同理MD/平面ABC.Q MF,MD是平面DFM内的两条相交直线, 平面DFM /平面ABC .故DF/平面ABC.Q ABC ABG是正三棱柱, AA 平面ABC, AA AB.Q AiA AB,且 F 是 AB 的中点， AF AB.由知，CGAB,又 AA CG,CG 平面AAB,Q FD/C

8、G,DF平面 A AB ,由三垂线定理知AF BD例3如图，正方体ABCD-A 1B1C1D1中，EF是异面直线 AC , A1D 的公垂线，则EF与BD1的关系为()A.相交不垂直B.相交垂直C.异面直线D.平行直线证明：连结AB1，CB1/ DD丄平面ABCD/ DB是 DB在平面ABCDh的射影而AC 平面ABCD，且AC丄DB由三垂线定理有DB丄AC,同理可证DB丄B1C DB丄平面ACB (1)/ BC/ AD,而 EF丄A1D EF 丄 B1C又 EF丄 AC EF丄平面ACB(2)由(1) (2)及线面垂直的性质定理，知EF/BD1。说明了平行问题与垂直问注本题看似平行问题，但要

9、利用线面垂直的判定，性质定理, 题的紧密联系例4.如图，直三棱柱 ABC-ABQ中,ACB=90,AC=1,CB= . 2，侧棱AA=1，侧面 A A1 B1B的两条对角线交于点 D, BG的中点为 M求证：CD平面BDM证明：连结 AC,t ACB 90： BC AC，在直三棱柱 ABC ABG中CC1 AC , AC 平面 CB1 , AA11 , AC 1 AC 2, A1C BC , D是侧面AA1B1B的两条对角 线的交点， D是A,B与AB1的中点， CD BD，连结3C ,取BQ的中点O,连结DO，贝U DO/AC , AC 平面 CB1, DO 平面 CB1 , CO 是 CD 在 平面B1C内的射影。在 BB1C中，tan BB1C2在 BB1M 中，tan BMB12 , BB1CBMB1 BC BM , CD BM , BM I BD B , CD 平面