宁波市等九所重点学校高一上期末数学试卷含解析

1、重点学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1（5 分）已知实数集R，集合 A= x| 1 x 3 ，集合 B= x| y= ，则 A（ ?RB）=（）A x| 1 x2 B x| 1 x 3 C x| 2x 3 D x| 1x22（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0， +）上单调递增的函数是（）2（x+3）By=2| x|+ 1 Cy=x2 1 D y=3| x|A y=log3（5 分）已知 ， ， ， 为非零向量，且 + = ， = ，则下列说法正确的个数为 （）（1）若|=| |，则 ?=0；（2）若? =0，则| | =| ；（3

2、）若 |=| |，则 ?=0；（4）若 ? =0，则| | =|A1 B2 C3 D44（5 分）三个数 0.993.3，log3，log20.8 的大小关系为（）A log20.8 0.993.3log3B log20.8 log30.993.3C 0.993.3log20.81log3 Dlog30.993.3 log20.85（5分）若角 （ ，），则=（）A 2tan B 2tan CD6（5分）若函数 y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A f（x）=Bf（x） =Cf（ x）=Df（x）=7（5 分）函数f（x）=sin（x+）（0，| | ）的最小正周期为

3、，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A关于点（， 0）对称 B关于点（，0）对称C关于直线x=对称D关于直线 x=对称8（5 分）若， 均为单位向量，且大值为（）? =0，（ ）?（ ） 0，则 |+ 2 |的最A 1BC1D2二、填空题（本大题共7 小题，多空每题6 分，每空 3 分；单空每题 4 分，共 36 分）9（ 6分）已知扇形的周长为30 厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角 =10（6 分）已知向量=（4，5cos ）， =（3，4tan ），若 ，则 sin =；若 ，则 cos（）+sin（ +）=11（ 6 分）设函数 f（ x）=，若

4、 a= ，则函数 f（x）的值域为；若函数 f（ x）是 R 上的减函数，求实数 a 的取值范围为12（6 分）在平行四边形 ABCD中，E，F 分别是 CD和 BC的中点，若 =x +y（x，yR），则 2x+y=；若= + （，R），则 3+3=13（4 分）已知函数 f（ x）=loga（ 0 a 1）为奇函数，当 x（ 2，2a）时，函数 f（ x）的值域是（， 1），则实数 a+b=14（4 分）函数 f（x）=3sin（x）， x 3， 5 的所有零点之和为15（4分）已知函数f（ ）（a0，bR，c0），g（x） =m f（x） 2n（mnx =0），给出下列四个命题：当 b=0

5、 时，函数 f（x）在（ 0，）上单调递增，在（函数 f（ x）的图象关于 x 轴上某点成中心对称；，+）上单调递减；存在实数 p 和 q，使得 pf （x） q 对于任意的实数x 恒成立；关于 x 的方程 g（x）=0 的解集可能为 3， 1， 0， 1 则正确命题的序号为三、解答题（本大题共5 小题，共 74 分）2 16（14 分）已知集合 A= x| m1x2m+3 ，函数 f（x）=lg（ x +2x+8）的定义域为 B（1）当 m=2 时，求 A B、（?RA） B；17（15 分）已知函数 f（x）=Asin（x+）（A0， 0，| | ）的图象与 y 轴的交点为（0，1），它在

6、 y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（ x0+， 2）（1）求函数 y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当 0x时，方程 f （x） m=0 有两个不同的实数根，试讨论 +的值18（15 分）已知函数 f（ x）=为偶函数（1）求实数 t 值；2（2）记集合 E= y| y=f（x），x 1，2，3 ， =lg2+lg2lg5+lg51，判断 与 E 的关系；（3）当 x a，b （a0，b0）时，若函数f（ x）的值域为 2， 2 ，求实数a，b的值19（15 分）如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A，点 B、P 在单位圆上，且 B（，）， A

7、OB=（1）求的值；（2）设 AOP=（），=+，四边形 OAQP的面积为 S，f（ ）=（?）2+2S2，求 f（ ）的最值及此时的值20（15 分）已知函数 f（x）=（x2）| x+a| （ a R）（1）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（2）当 x 2，2 时，函数 f（x）的最大值为 g（ a），求 g（a）的表达式重点学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）1（5 分）已知实数集R，集合A= x| 1 x 3 ，集合B= x| y= ，则A（?RB）=（）A x| 1 x2 B x| 1 x 3 C x|

8、2x 3 D x| 1x2【解答】 解：由 x20 得 x 2，则集合 B= x| x2 ，所以 ?RB= x| x2 ，又集合 A= x| 1x3 ，则 A（ ?RB）= x| 1x 2 ，故选 A2（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（ 0， +）上单调递增的函数是（）A y=log2（x+3） By=2| x|+ 1 Cy=x2 1 D y=3| x|【解答】 解：对于 A：函数不是偶函数，不合题意；对于 B：函数是偶函数，且 x0 时， y=2x+1 递增；符合题意；对于 C：函数是偶函数，在（0，+）递减，不合题意；对于 D：函数是偶函数，在（0，+）递减，不合题意；故选： B3

9、（5 分）已知， ， ，为非零向量，且 + = ， = ，则下列说法正确的个数为 （）（1）若| =|，则 ?=0；（2）若? =0，则| | =| ；（3）若| =|，则 ?=0；（4）若 ? =0，则 | | =|A1 B2 C3 D4【解答】 解： ， ， ， 为非零向量，且 +=，=，（1）若 | =| ，可知以， 为邻边的四边形的形状是菱形，则?=0；正确（2）若? =0，可得：（+ ）（ ）=0，即，则| | =| ；正确（3）若 | =| ，可知以， 为邻边的四边形的形状是矩形，则?=0；正确（4）若? =0，可知以 ， 为邻边的四边形的形状是矩形，则 | =| ，正确故选： D

10、4（5 分）三个数 0.993.3，log3，log20.8 的大小关系为（）A log20.8 0.993.3log3B log20.8 log30.993.3C 0.993.3log20.81log3 Dlog30.993.3 log20.8【解答】 解： 00.993.3 1， log3 1， log20.8 0， log20.80.993.3 log3，故选： A5（5 分）若角（ ，），则=（）A 2tan B 2tan CD【解答】 解： （ ， ，），第三象限，由=故选 C6（5 分）若函数 y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A f（x）=Bf（x） =

11、Cf（ x）=Df（x）=【解答】 解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B 排除函数图象在第三象限， x 0， D 排除根据指数函数和幂函数的单调性：2x 的图象比 x3 的图象平缓， A 对故选 A7（5 分）函数f（x）=sin（x+）（0，| | ）的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A关于点（， 0）对称 B关于点（，0）对称C关于直线 x=对称D关于直线 x=对称【解答】 解：函数 f（x）=sin（x+）（ 0，| | ）的最小正周期为=， =2若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin 2（ x+）+ =sin（ 2x+），再

12、根据 y=sin（2x+）为奇函数，+=k， k Z，即 =k，可取 =故 f （x）=sin（2x ）当 x=时， f （x）=0，且 f（x）=不是最值，故 f（ x）的图象不关于点（， 0）对称，也不关于直线x=对称，故排除 A、D；故 x=时，f（ x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，但关于直线 x=对称，故选： C8（5 分）若 ， ， 均为单位向量，且? =0，（ ）?（ ） 0，则 |+ 2 |的最大值为（）A1 BC 1 D2【解答】 解： ? =0，（ ） ?（ ） 0，?+ 0， （ +） 1，|+ 2 | 2 （ ）2+（ ）2+2（

13、）?（ ）=42（+）+2（ （+）=+1 =64（ + ） 64=2， | + 2 |的最大值故选： B二、填空题（本大题共7 小题，多空每题6 分，每空 3 分；单空每题 4 分，共 36 分）9（ 6 分）已知扇形的周长为30 厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角= 2【解答】 解：设扇形的弧长为l， l+2R=30，S= lR= （302R） R=R2+15R=（ R）2+，当 R= 时，扇形有最大面积此时 l=302R=15，=2，故答案为， 210（6 分）已知向量=（4，5cos ）， =（ 3，4tan ），若 ，则 sin =；若 ，则 cos（）+sin（ +）=【解答

14、】 解： ， 15cos+16tan =0，15（1sin2）+16sin =0，即 15sin2 16sin 15=0，sin 1，1 ，解得 sin = ，? =1220sin =0，解得 sin =则 cos（ ）+sin（ +）=sin sin = ，故答案为： ， 11（6 分）设函数 f（x）=，若 a=，则函数 f（x）的值域为R；若函数f（ x）是R 上的减函数，求实数a 的取值范围为，【解答】 解：若 a= 当 x1 时， f（x）=，当x1 时，函数0，故函数f（ x）=x23x= 2， +）；f （x）的值域为 2，+）（， 0 =R若函数 f（ x）=在 R 上单调递减

15、，则，求得 a，故答案为： R；， 12（6 分）在平行四边形ABCD中，E，F 分别是 CD和 BC的中点，若=x+y（x，yR），则 2x+y=2；若=+（ ， R），则 3+3= 4【解答】 解：如图所示，=+=+，与 =x +y （x，yR）比较可得： x= ，y=1则 2x+y=2由可得：=+，同理可得：=+，= +=（+） +（+）=+，又=，=1，=1则 3+3=4故答案为： 2，4（分）已知函数f（ x）=loga（ 0 a 1）为奇函数，当 x（ 2，2a）时，函数 f（ x）13 4的值域是（， 1），则实数 a+b=+1 【解答】 解：函数 f（ x）=loga（ 0 a

16、 1）为奇函数，f（ x）=f（ x），即 f （ x）+f（ x）=0，loga+loga=loga?=0，即?=1，4x2 =b2x2，2即 b =4，解得 b= 2，当 b=2 时，函数f（x）=loga=f（x）=loga（1）无意义，舍去当 b=2 时，函数f（x） =loga为奇函数，满足条件 =1+，在（ 2，+）上单调递减又 0a1，函数 f（ x）=loga在 x（ 2， 2a）上单调递增，当 x（ 2，2a）时，函数 f （x）的值域是（， 1）， f（ 2a）=1，即 f （2a） =loga=1， =a，即 1a=a+a2，a2+2a1=0，解得 a=1 ，0a1，a=

17、 1， a+b= 1+2= +1，故答案为： +114（4 分）函数 f（x）=3sin（x）， x 3， 5 的所有零点之和为8【解答】 解：设 t=1x，则 x=1t，原函数可化为： x 3， 5 ，g（ t）=2sin（ t） =2sin t ，其中， t 4， 4 ，因 g（ t ）=g（t ），故 g（t ） 是奇函数，观察函数y=2sin t（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在 t 3，3 上，两个函数的图象有8 个不同的交点，其横坐标之和为0，即 t1+t 2+ +t 7+t 8=0，从而 x1+x2+ +x7+x8=8，故答案为： 815（4分）已知函数f（ ）（a

18、0，bR，c0），g（x） =m f（x） 2n（mnx =0），给出下列四个命题：当 b=0 时，函数 f（x）在（ 0，）上单调递增，在（函数 f（ x）的图象关于 x 轴上某点成中心对称；，+）上单调递减；存在实数 p 和 q，使得 pf （x） q 对于任意的实数x 恒成立；关于 x 的方程 g（x）=0 的解集可能为 3， 1， 0， 1 则正确命题的序号为【解答】 解：对于， b=0 时， f（ x）=，因为 a 正负不定，所以单调性不定，故错；对于， f（ x）=是奇函数h（ x） =左右平移得到，故正确；对于，当 x0 时，函数 h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，函数

19、 f（ x）也存在最大、最小值，故正确；对于，关于 x 的方程 g（x）=0 的解 ? f（x） =的解，函数f（x）的图象关于x 轴上某点成中心对称，故解集不可能是 3， 1，0，1 ，故错；故答案为：三、解答题（本大题共5 小题，共 74 分）2 16（14 分）已知集合 A= x| m1x2m+3 ，函数 f（x）=lg（ x +2x+8）的定义域为 B（1）当 m=2 时，求 A B、（?RA） B；【解答】 解：（1）根据题意，当 m=2 时， A= x| 1 x 7 ，B= x| 2x4 ，则 AB= x| 2x 7 ，又?RA= x| x1 或 x 7 ，则（ ?RA） B= x

20、| 2x1 ，（2）根据题意，若 AB=A，则 A? B，分 2 种情况讨论：、当 A=?时，有 m 1 2m+3，解可得 m 4，、当 A?时，若有 A? B，必有，解可得 1 m，综上可得： m 的取值范围是：（， 4）（ 1，）17（15 分）已知函数 f（x）=Asin（x+）（A0， 0，| | ）的图象与 y 轴的交点为（0，1），它在 y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（ x0+， 2）（1）求函数 y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当 0x时，方程 f （x） m=0 有两个不同的实数根，试讨论 +的值【解答】（本题满分为 15 分）解：（1）由题意

21、可得： A=2，由在 y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（ x0 +， 2），可得：=（ x0+） x0 =，可得： T=，=2，可得： f （x）=2sin（x+），又图象与 y 轴的交点为（ 0，1），可得： 2sin =1，解得： sin =，| | ，可得： = ，函数 f（ x）的解析式为： f （x）=2sin（2x+） 4分由 2k 2x+ 2k+，kZ，可得： k x k+， kZ，可解得 f（ x）的单调递增区间是： k， k+ ，kZ 8分（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和 y=m（ mR）的图象，由图可知，当 2m0 或 1 m2

22、 时，直线 y=m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，当 2m 0 时，两根和为；当 1m 2 时，两根和为15分18（15 分）已知函数 f（ x）=为偶函数（1）求实数 t 值；2（2）记集合 E= y| y=f（x），x 1，2，3 ， =lg2+lg2lg5+lg51，判断 与 E 的关系；（3）当 x a，b （a0，b0）时，若函数f（ x）的值域为 2， 2 ，求实数a，b的值【解答】 解：（1） f（x）是偶函数，=，2（t 2） x=0，x 是非 0 实数，故 t 2=0，解得： t=2；（2）由（ 1）得， f（x） =，E= y| y=f（x）， x 1，2，3 = 3， 0， ，2而 =lg2+lg2lg5+lg51=lg2+lg51=0，E；（3） f（x）=1，f（ x）在 a，b 递增，函数 f（ x）的值域是 2， 2 ，ba0，解得： a=1，b=419（15 分）如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与圆上，且 B（，）， AOB=（1）求的值；（2）设 A