优化探究高考数学一轮复习第八章第五节椭圆课时作业理新人教A版

1、【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第八章 第五节 椭圆课时作业理新人教A版A组考点能力演练221 .点F为椭圆£+(= 1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使得 AO两正三角形,那么椭圆的离心率为D.J31解析:由题意,可设椭圆的焦点F的坐标为(c, 0),因为 AO耽正三角形，则点乎c)在椭圆上,代入得22C3cr 一4a2+4b2=1，即e2+73e-2=4,得 e2=4 2。3,解得 e=J3- 1,故选 D. 1e-8 -答案:22x y2.已知椭圆E： 1+福=1(2此>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A, B两点.若AB的中点

2、为M(1 , 1),则E的方程为()22B.36+27= 122x y ,叫十r122A. y = 145 3622C.271+ 18 =10+11.斛析：kAB= - = -, k。后 一 1 ,3 1 2,b2 b2 12 c,2c 2 “kov a2, 得=， - a = 2b . c=3, - a = 18,2x2 y2b=9,椭圆E的方程为18+9=1.答案：D223. (2016 厦门模拟)椭圆E：与+y=1(a>0)的右焦点为F,直线y = x+m与椭圆E交于 a 3A, B两点，若 FAB周长的最大值是8,则m的值等于()A. 0B. 1C.3D. 2解析：设椭圆的左焦点

3、为 F',则4FAB的周长为 AF+ BF+ ABc AF+ BF+ AF' + BF' = 4a =8,所以a=2,当直线AB过焦点F' ( 1,0)时， FAB的周长取得最大值，所以 0= 1 + m所以m= 1.故选B.答案：B224.已知Fi, F2是椭圆 工+ y-=1的两个焦点，P是该椭圆上的任意一点，则 |PFi| |PF| 25 9的最大值是（）A. 9B. 1625C. 25D.-2解析：设 P(x, y),贝U | PF| = a ex, | PF2| = a+ex,| PF| I 困=(a ex)( a+ ex) = a2 -e2x2.当

4、x= 0 时，| PF| I PF2| 取最大值 a2= 25.答案：C5 .已知Fi, F2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P,使得PFXPB,则椭圆的离心率的取值范围是（）解析：设 P(x, y) , PF1 = (-c-x, y), PF2=(c-x, y),由 PFXPF,得 PF - PF2=0,即(一c x, 一 y) (cx, y) = x2+y2 c2= x2+b2 1 x 2cx. 222a21 c = a+bc=。，. x =c2-b22222/2_ 一-c2>0,c b 0,2c 'a ,e>)-.又e<1, ,.椭圆的离心率 e 的取值范围

5、是承I答案：B 226 . （2016 黄山质检）已知圆（x2）2+y2=1经过椭圆与+y2= 1（ a>b>0）的一个顶点和一个 a b焦点，则此椭圆的离心率e=.解析：因为圆（x2）2+y2=1与x轴的交点坐标为（1,0） , （3,0）,所以c=1, a=3, e=c 1a=3.答案：13227. （2015 泰安模拟）若椭圆2=1（a>0, b>0）的焦点在x轴上，过点（2,1）作圆x2 + a by2=4的切线，切点分别为A, B,直线 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为解析：设切点坐标为（m n）,则n-1 -= - 1,即 m+n2n2m= 0

6、. / n2+ n2= 4, 2m m- 2 m+ n-4= 0,即直线AB的方程为2x+ y 4=0直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2 2 2x2 y2 ,2c4 = 0, b4=0,斛得 c=2, b= 4,所以 a=b+c=20,所以椭圆方程为 20+16 = 1.林生 x2 y2日水：20+16= 1x228. （2016 保定模拟）直线l过椭圆C： -+y2=1的左焦点F,且与椭圆C交于P, Q两点，M为弦PQ的中点，O为原点，若 FMO以线段OF为底边的等腰三角形，则直线 l的斜率为解析：因为 FMO!以线段OF为底边的等腰三角形，所以直线OM与直线l的斜率互为相1 2反数.

7、设直线l的斜率为k,则有k - （-k）=-2,解得k=±+.答案：土 -222，一 ，,一 x y ,一，9. 如图，椭圆 C：孑+$= 1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、以上顶点分别为 A, B,且IABmIBF.:(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P, Q两点，OPL OQ求直线l的方程及椭圆C的方程.解：(1)由已知 |AB=|BF,即.a2 + b2 = 2a, 4a2+ 4b2 = 5a2,4a2+ 4( a2 c2) = 5a2,e=2=史a 2 .22(2)由(1)知 a2 = 4b2, 椭圆 C： -x-2

8、+y2=1.4b b设 P(x1, y1), Qx2, v4，直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.'2x y+2= 0,由 fx2 y2消去 y,得 x2+ 4(2x+2)2-4b2=0,行十1，即 17x2+ 32x+ 16-4b2=0.A = 322 + 16X 17( b2 4)>0 ,解得 b>2-17.一一 ,2X1+X2= , X1X2=-二 .opl oqOp- Oq= 0,1717即 X1X2+ y1y2= 0, X1X2 + (2 Xi + 2)(2 X2+ 2) = 0,5x1X2+4( X1 + X2) +4= 0.伯 4b2128

9、. _2屈从而2彳7 77-+4=0,解得 b=1,满足 b逐一,X22椭圆C的方程为4+y=1.x2 y2(1)求椭圆C的方程;I j且椭圆C的离心率为1(2)若动点P在直线x= 1上，过P作直线交椭圆 C于M N两点，且P为线段M时点,再过P作直线lLMN证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.10.已知椭圆C：孑+旨=1(2">0)过点力, 一，3 , , ,一 ， , 19 ，一 ，1 ' c 1 r解：因为点1, 2,在椭圆C上,所以孑+后=1.又椭圆C的离心率为2,所以即22a=2c,所以a2=4, b=3,所以椭圆C的方程为%.1.(2)设 P( 1,

10、yo) , yo £3x2+ 4 y2= 12,由 yy0=k x+1当直线 MN勺斜率存在时，设直线MN勺方程为y yo=k(X+1), M(X1, y1), N(X2, y2).得(3 + 4k2) X2 + (8 kyo+ 8k2) x+ (4 y0+ 8ky、+ 4k2 12) =0,28ky0+ 8k 所以 X1 + X2 = 一 2 .3+ 4k因为P为mN3点，所以Xv2x2=- 1,即一28kyo+ 8k3+4k2 2,一，3所以k=4y(因为直线l ±MfN所以kl =-芈，所以直线l的方程为y yo= 4p ( x+ 1),即y= 331,，一4 !；显

11、然直线l恒过定点14'当直线MN勺斜率不存在时，直线 MN的方程为x=1,此时直线l为x轴，也过点综上所述，直线l恒过定点14'1 . (20 15 高考福建卷)已知椭圆B组高考题型专练22E： |2 + y2=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为M直线l : 3x 4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF +| BF = 4,点M到直线l的距离不小4于二则椭圆E的离心率的取值范围是()5A. 0,B. 0，3D.解析：设椭圆的左焦点为 Fi,半焦距为c,连接AF, BF,则四边形AFBF为平行四边形,所以 | AF|+|BR| = |AF +| BF=4

12、.根据椭圆定义，有 |AR| + |AF +|BF| +|BF=4a.所以 8=4a,解得a= 2.因为点M到直线l : 3x- 4y = 0的距离不小于即蓝b>1,所以b2>1, 555所以a2-c2，,4-c2，解得。"，所以 哈里所以椭圆的离心率的取值范围为故选A.答案：AX22b2. (2015 高考浙江卷)椭圆与+E=1(a>b>0)的右焦点F(c, 0)关于直线y=°x的对称点 a bcQ在椭圆上，则椭圆的离心率是 b ，解析：设左焦点为F1,由F关于直线y = -x的对称点Q在椭圆上，得|OQ=| OF,又|OF| c= |OF,所以

13、FQ，QF 不妨设 |QF=ck,则 | QF = bk, | FF| = ak,因此 2c= ak.又 2a=ck+ bk,由以上二式可得 2c=k=b2ac，即2=占，即 a2=c2+bc，所以 b=c，e=2.答案：-22223. (2015 高考陕西卷)如图，椭圆 E：，+b2=1(a>b>0)经过点A(0 , - 1),且离心率为 喙(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P, Q(均异于点A),证明:(1)求椭圆E的方程;X22万十y直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)由题设知£=噂，b=1,结合a2=b2+c2,解得a=，2.所以椭

14、圆的方程为 a 2=1.2(2)证明：设直线 PQ勺方程为 y= k(x1) + 1( kw2),代入5 + 丫2= 1,得(1 + 2k2)x2 4k( k-1)x + 2k(k-2) = 0.由已知A >0.设 P(X1, y1), Q(X2, y2) , X1X2W0, 4k k-12k k-2则 X1 + X2= -1 + 2k2 -, X1X2= -1 + 2卜2从而直线AP AQ的斜率之和y1 + 1 y2+ 1kAP+ kAQ=+X1X2kX1 + 2- k kX2+2- k十X1X2= 2k+(2 -k)1.X 1= 2k+(2-k)X1 + X2X1X2. 4k kI_

15、= 2k+(2 -k)2k k_? =2k-2(k-1) = 2.4. (2015 高考天津卷)已知椭圆|2 + y2= 1( a>b>0)的左焦点为F( c, 0),离心率为点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆X2+ y2= 2截得的线段的长为 c, |FM = 4t343(1)求直线FM勺斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线 FP的斜率大于 ® 求直线OPO为原点)的斜率的取值范 围.C21. . O O OO斛：(1)由已知有a2 = 3,又由a=b+c,可得a =3c , b = 2c .设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(X+c).由已知，有(2)由(1)得椭圆方程为3c2+2c2=1,直线FM的方程为y =x + c),两个方程联立，消去 y,整理得 3x2 + 2cx5c2 = 0,解得 x= 5c,或 x= c.3因为点M在第一象限，可得 M的坐标为孚c .2所以椭圆的方程为x+y=i.322=433,解得 c=i,由 |FM=c+c设点P的坐标为(x, y),直线， 一 y -FP的斜率为 t ,得 t ,即 y=t(x+ 1)( xw 1),y=t x+i , 与椭圆方程联立得x2 y2I= 1,32'消去 V，整理得 2x2+3t2(x+1)2=6