圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案).

1、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一： 带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二： 平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】1如图所示， 在半径为 R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板 从圆形磁场最高点 P 垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为 m

2、，速度为 v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上B对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D 只要速度满足 vqBRMN 上，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在m2 如图所示，长方形abed的长 ad=0.6m ，宽 ab=0.3m ， O、 e分别是 ad、 bc的中点，以 e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以 O为圆心 Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场 )磁感应强度 B= 0.25T

3、。一群不计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量-32q=+2 ×10 C的带正电粒子以速度v=5×10 m/s沿垂直直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ad方向且垂）A 从 Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B 从 aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C从 Od 边射入的粒子，出射点分布在ab边D 从 ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3 如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O1（a， 0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a 的上方和直线x=2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小

4、为E，一质量为m、电荷量为 +q（ q>0）的粒子以速度v 从 O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O1 点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B 的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向、并与x 轴正方向夹角=300 射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间 t。4 如图所示的直角坐标系中，从直线x=- 2l0 到 y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿 y 轴负方向， x

5、 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。在电场左边界从A（ - 2l0，- l0）点到 C（ - 2l0 ，0）点区域内，连续分布着电量为+q、质量为 m 的粒子。从某时刻起， A 点到 C 点间的粒子依次连续以相同速度 v0沿 x 轴正方向射入电场。从 A点射入的粒子恰好从 y 轴上的 A （ 0，- l 0）点沿沿 x 轴正方向射出电场， 其轨迹如图所示。 不计粒子的重力及它们间的相互作用。（1）求从 AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间t 和匀强电场的电场强度E 的大小。（2）求在 A、 C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动？（3）为便于收集沿x 轴正方向射出电场的所有

6、粒子，若以直线x=2l 0 上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，使得沿x 轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后， 都能通过x=2 l0 与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B 是多大？5如图所示，在 xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x 轴、 y 轴相切，切点分别为 A、C；第四象限中，由y 轴、抛物线 FG（ y10 x2x0.025 ，单位： m）和直线DH （ y x 0.425 ，单位： m）构成的区域中，存在着方向

7、竖直向下、强度E=2.5N/C 的匀强电场；以及直线 DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量 m=1×10-6kg（重力不计） ，电量大小为 q=2×10-4 C，速率均为 20m/s 的带负电的粒子从A 处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y 轴夹角在 0 至 1800 之间。（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子经过x 轴时速度方向均与 x 轴垂直；（3）通过计算说明这些粒子会经过y 轴上的同一点，并求出该点坐标。6 如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy 内，存在着两个边长为L 的正方形匀强电场区域、和两个直径为L

8、的圆形磁场区域、。电场的场强大小均为E，区域的场强方向沿 x 轴正方向，其下边界在x 轴上，右边界刚好与区域的边界相切；区域的场强方向沿 y 轴正方向， 其上边界在 x 轴上，左边界刚好与刚好与区域的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为 2 2mE ，区域的圆心坐标为（0， L ）、磁场方向垂直于xOy 平面向外；qL2区域的圆心坐标为（0，LxOy 平面向里。两个质量均为m、电荷量）、磁场方向垂直于2均为 q 的带正电粒子M 、N，在外力约束下静止在坐标为 （3L，L ）、（3 L ，23 L ）2224的两点。在x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy 平面。将

9、粒子M 、N 由静止释放， 它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。 求：（ 1）粒子离开电场时的速度大小。（ 2）粒子 M 击中感光板的位置坐标。（ 3）粒子 N 在磁场中运动的时间。7如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 O1 在 x 轴上， OO 1 距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为 B1。虚线 MN 平行 x 轴且与半圆相切于 P 点。在 MN 上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿x 轴负向，磁场磁感应强度大小为B2 。 B1， B2 方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第 I 象限，其中沿 x 轴正方向

10、进入磁场的粒子经过P 点射入 MN 后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q（粒子重力不计） 。求：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。（2）若撤去磁场B2，则经过P 点射入电场的粒子从y 轴出电场时的坐标。（3）试证明：题中所有从原点O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。8如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强- 3x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度大小 B=2.0 ×10 T ，方向垂直于纸面向里，在度 L=0.5m 的匀强电场区域,电场强度E=1.5 ×103N/C ，

11、在 x=2m 处有一垂直x 方向的足够长的荧光屏，从O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷q1.0109 C / kg 带负电的粒子，粒m子的运动轨迹在纸面内。 一个速度方向沿 y 轴正方向射入磁场的粒子的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：M，恰能从磁场与电场（ 1）粒子 M 进入电场时的速度。（ 2）速度方向与 y 轴正方向成 30°（如图中所示）射入磁场的粒子 N，最后打到荧光屏上 ,画出粒子 N 的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。9 如图甲所示 ,质量 m=8.0 ×10-25kg，电荷量 q=1.6 ×10- 15C 的带正电粒子从坐标原点O 处沿

12、xOy 平面射入第一象限内，且在与x 方向夹角大于等于 30°的范围内，粒子射入时的速度方7xOy 平面向里的匀强磁场 ,向不同，但大小均为 v0=2.0 ×10 m/s。现在某一区域内加一垂直于磁感应强度大小 B=0.1T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏 MN 上,并且当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。( =3.14) 求：（ 1）粒子从 y 轴穿过的范围。（ 2）荧光屏上光斑的长度。（ 3）打到荧光屏 MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。（ 4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。参考答案当B时，粒子所受洛伦兹力充当向

13、心力，做半径和周期分别为Rmv 、 T2 m 的1vqBqB匀速圆周运动； 只要速度满足vqBR 时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径m相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上，选项D 正确。2由 Rmv0.3m 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa 入射qB的粒子，出射点一定在b 点；从 Od 入射的粒子，经过四分之一圆周后到达be，由于边界无磁场，将沿 be 做匀速直线运动到达b 点；选项 D 正确。3解析：（ 1）当粒子速度沿x 轴方向入射，从A 点射出磁场时，几何关系知：r=a；由 qvB m v2知： Bmvmvrqrqa（2）从 A 点进入

14、电场后作类平抛运动；沿水平方向做匀加速直线运动：vx2 Eq am沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0；粒子离开第一象限时速度与y 轴的夹角： tanvx2Eqavymv02（3）粒子从磁场中的P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO 1PO2 构成菱形，故粒子从 P 点的出射方向与 OO 1 平行，即与 y 轴平行；轨迹如图所示；粒子从 O 到 P 所对应的圆心角为1=60 0，粒子从 O 到 P 用时： tTa 。163v由几何知识可知，粒子由P 点到 x 轴的距离 Sa sin13 a ；2粒子在电场中做匀变速运动的时间：t22mv ；Eq粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：

15、t32(aS)(23) a；vv粒子由 P 点第 2 次进入磁场，从Q 点射出， O1QO 3 构成菱形；由几何知识可知Q 点在 x 轴上，即为（ 2a，0）点；粒子由 P 到 Q 所对应的圆心角0，粒子从 P 到 Q 用时：2=120T2 at43v；3tt1 t2t3a(23) a2mv粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：t4v。vEq2l04解析：（ 1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有tv0从 A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知l01 Eq ( t )22 m2解得 E8ml02mv02qt 2ql0（2）设距 C 点为y 处入射的粒子通过电

16、场后也沿x 轴正方向，第一次达x 轴用时 t ，有水平方向xv0 t竖直方向y1 qE (t )22 m欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x 轴正方向，有2l 0 n 2x（ n =1， 2， 3， ）解得：y1qE ( l0 )2l0n22m v0n2即在 A、C 间入射的粒子通过电场后沿x 轴正方向的y 坐标为 y12 l0 （ n =1，2，3， ）（3）当 n=1 时，粒子射出的坐标为y1l0n当 n=2 时，粒子射出的坐标为y21l04当 n3时，沿 x 轴正方向射出的粒子分布在y1 到 y2 之间（如图） y1 到 y2 之间的距离为Ly1 y25l0 ；y4x=2l0x=2 l0则

17、磁场的最小半径为L5l0EAQR8O22O1若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子OPx的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），CC轨迹圆与磁场圆相交， 四边形 PO1QO 2 为棱A28mv0v0E形，由 qv0 Bmv0得： BR5ql0解析：（ ）由 qvB1 m v2知： R1mv0.1m51R1B1（2）考察从 A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K 点离开磁场， O1 和 O2 分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O1AO 2K 为菱形，离开磁场时速度垂直于O2K ，即垂直于x 轴，得证。（ 3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（ x， y1

18、） ,离开电场时的坐标为（ x， y2） ,离开电场时速度为 v2；在电场中运动过程，动能定理：Eq( y2y1 )1mv22 1mv 222其中 y110x2x 0.0025 ， y2x0.425解得 v2=100 x在 B2 磁场区域做圆周运动的半径为R2，有 qv2 B2m v22解得 R2=xR2因为粒子在B2 磁场区域圆周运动的半径刚好为x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上；又因 v2 的方向与 DH 成 45o，且直线 HD 与 y 轴的夹角为450，则所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达H 处， H 点坐标为（0， 0.425）。6解析：（ 1）粒子在区域中运

19、动，由动能定理得EqL1mv02解得 v02EqL2m（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，v2，又有 B22mEmv0L有 qv0 B m 0，解得 rqB2rqL因 M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M 在磁场中运动四分之一个周期后经过原点进入磁场，再运动四分之一个周期后平行于x 轴正方向离开磁场， 进入电场后做类平抛运动。假设 M 射出电场后再打在x 轴的感光板上，则M 在电场中运动的的时间tL （1分）v0沿电场方向的位移y1 at 21 Eq ( L )2L L （2分）22 mv042假设成立，运动轨迹如图所示。沿电场方向的速度vyatqEL2m速度的偏向角 tanvy1v

20、02LLL设射出电场后沿x 轴方向的位移x1，有 x124tan2M 击中感光板的横坐标xLLx1 2L ，位置坐标为（ 2L ， 0） （ 1 分）2（3） N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N 将从 b 点进入磁场，从原点O 离开磁场进入磁场，然后从d 点离开磁场，沿水平方向进入电场。轨迹如图。3 L在磁场中，由几何关系cos43L22则 =30 0，圆弧对应的圆心角=1800- 300=15002LmL粒子在磁场中运动的周期T2v02qE粒子在磁场中运动的时间t10 T5mL360122qE由对称关系得粒子在磁场、中运动时间相等；故粒子在磁场中运动的时间t2t15mL62q

21、E7解析：（ 1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有Eqqv0 B2解得 v0EB2粒子在磁场B1 中匀速圆周运动，有qv0 B1m v20Rmv0mE解得 RqB1qB1 B2由题意知粒子在磁场B1 中圆周运动半径与该磁场半径相同，即RmEqB1 B2（2）撤去磁场B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有水平方向匀加速 R1 Eq t 22 m竖直方向匀速yv0tE2mRmE2B2EqqB2B1B2从 y 轴出电场的坐标为yyRv0 tmE ( 12 )qB2B1B1B2（3）证明：设从O 点入射的任一粒子进入B1 磁场时，速度方向与x 轴成 角，粒子出 B1磁场与半圆磁场边界交于Q 点，如图所示

22、，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO 1O2Q 四条边等长是平行四边形，所以半径 O2Q 与 OO 1 平行。 所以从 Q 点出磁场速度与 O2Q 垂直， 即与 x 轴垂直，所以垂直进入 MN 边界。进入正交电磁场 E、B2 中都有 Eqqv0 B2 故做直线运动。8解析：（ 1）由沿 y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子 M 在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r =0.5m。粒子 M 在磁场中匀速圆周运动有：qvBm v2R解得 vqBR1106 m / sm（2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N 在磁场中转过120°角后从 P 点垂直电场线进入电场，运动轨迹如图所示。在电场中运动的加速度大小aEq1.51012 m / s2m穿出电场的竖直速度vyata L7.5105 m / sv速度的偏转角 tanv y0.75v在磁场中从 P 点穿出时距 O 点的竖直距离y11.5r0.75m在电场中运动沿电场方向的距离y21 at 21 Eq ( L